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13.(综合与实践)学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为60 m的栅栏围成；兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一
如图1，围成一个面积为450 m²的矩形花圃。
方案二
如图2，围成矩形花圃，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3 m的进出口(此处不用栅栏)。
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度应为多少米？
方案一
如图1，围成一个面积为450 m²的矩形花圃。
方案二
如图2，围成矩形花圃，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3 m的进出口(此处不用栅栏)。
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度应为多少米？
答案
解：(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则与墙平行的边的长度为$ (60-2x) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程：
$x(60-2x) = 450$
整理得：
$x^2 - 30x + 225 = 0$
解得：
$x_1 = x_2 = 15$
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为$ x \, \mathrm{m} $，花圃的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意，垂直于墙的边的长度为$ \frac{60 - x + 3 × 2}{3} = \frac{66 - x}{3} \, \mathrm{m} $，则：
$S = x · \frac{66 - x}{3} = -\frac{1}{3}x^2 + 22x$
其中自变量取值范围为$ 0 ＜ x ＜ 66 $。
∵ 二次项系数$ -\frac{1}{3} ＜ 0 $，
∴ 当$ x = -\frac{22}{2 × (-\frac{1}{3})} = 33 $时，$ S $取得最大值。
答：(1) 方案一中与墙垂直的边的长度为15 m；(2) 要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度应为33 m。
根据题意列方程：
$x(60-2x) = 450$
整理得：
$x^2 - 30x + 225 = 0$
解得：
$x_1 = x_2 = 15$
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为$ x \, \mathrm{m} $，花圃的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意，垂直于墙的边的长度为$ \frac{60 - x + 3 × 2}{3} = \frac{66 - x}{3} \, \mathrm{m} $，则：
$S = x · \frac{66 - x}{3} = -\frac{1}{3}x^2 + 22x$
其中自变量取值范围为$ 0 ＜ x ＜ 66 $。
∵ 二次项系数$ -\frac{1}{3} ＜ 0 $，
∴ 当$ x = -\frac{22}{2 × (-\frac{1}{3})} = 33 $时，$ S $取得最大值。
答：(1) 方案一中与墙垂直的边的长度为15 m；(2) 要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度应为33 m。
解析
【分析】
(1) 求解方案一的垂直边长时，先设与墙垂直的边长为x m，因为靠墙一侧无需栅栏，总栅栏长60m，因此与墙平行的边长为(60-2x)m，再结合矩形面积公式和已知的面积450m²列一元二次方程，求解后验证解符合实际意义即可。
(2) 求解方案二面积最大时的平行边长时，先设与墙平行的边长为x m，首先明确垂直方向共有3段栅栏（两侧各1段+中间分隔1段），两侧各3m的进出口不用栅栏，相当于总可用长度（含进出口）为60+3×2=66m，减去平行边的长度x后，剩余长度平均分给3段垂直边，即可得到垂直边的长度，再列出面积关于x的二次函数，结合二次函数开口向下的性质，在顶点处取得最大值，用顶点横坐标公式计算即可。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则与墙平行的边的长度为$ (60-2x) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程：
$x(60-2x) = 450$
整理得：
$x^2 - 30x + 225 = 0$
解得：
$x_1 = x_2 = 15$，符合实际边长要求。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为$ x \, \mathrm{m} $，花圃的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意，垂直于墙的边的长度为$ \frac{60 - x + 3 × 2}{3} = \frac{66 - x}{3} \, \mathrm{m} $，则：
$S = x · \frac{66 - x}{3} = -\frac{1}{3}x^2 + 22x$，其中自变量取值范围为$ 0 ＜ x ＜ 66 $。
∵ 二次项系数$ -\frac{1}{3} ＜ 0 $，抛物线开口向下，
∴ 当$ x = -\frac{22}{2 × (-\frac{1}{3})} = 33 $时，$ S $取得最大值，符合取值范围。
【答案】
(1) 方案一中与墙垂直的边的长度为15 m；
(2) 要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度应为33 m。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生活中的花圃设计场景，分别考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，解题的核心是准确梳理栅栏的分段规则和进出口条件，正确建立对应的数学关系式，能够有效锻炼学生的数学建模能力和分析解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解方案一的垂直边长时，先设与墙垂直的边长为x m，因为靠墙一侧无需栅栏，总栅栏长60m，因此与墙平行的边长为(60-2x)m，再结合矩形面积公式和已知的面积450m²列一元二次方程，求解后验证解符合实际意义即可。
(2) 求解方案二面积最大时的平行边长时，先设与墙平行的边长为x m，首先明确垂直方向共有3段栅栏（两侧各1段+中间分隔1段），两侧各3m的进出口不用栅栏，相当于总可用长度（含进出口）为60+3×2=66m，减去平行边的长度x后，剩余长度平均分给3段垂直边，即可得到垂直边的长度，再列出面积关于x的二次函数，结合二次函数开口向下的性质，在顶点处取得最大值，用顶点横坐标公式计算即可。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则与墙平行的边的长度为$ (60-2x) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程：
$x(60-2x) = 450$
整理得：
$x^2 - 30x + 225 = 0$
解得：
$x_1 = x_2 = 15$，符合实际边长要求。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为$ x \, \mathrm{m} $，花圃的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意，垂直于墙的边的长度为$ \frac{60 - x + 3 × 2}{3} = \frac{66 - x}{3} \, \mathrm{m} $，则：
$S = x · \frac{66 - x}{3} = -\frac{1}{3}x^2 + 22x$，其中自变量取值范围为$ 0 ＜ x ＜ 66 $。
∵ 二次项系数$ -\frac{1}{3} ＜ 0 $，抛物线开口向下，
∴ 当$ x = -\frac{22}{2 × (-\frac{1}{3})} = 33 $时，$ S $取得最大值，符合取值范围。
【答案】
(1) 方案一中与墙垂直的边的长度为15 m；
(2) 要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度应为33 m。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生活中的花圃设计场景，分别考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，解题的核心是准确梳理栅栏的分段规则和进出口条件，正确建立对应的数学关系式，能够有效锻炼学生的数学建模能力和分析解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
