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8.用一根长为80 cm的铁丝围成一个面积为$a\ \mathrm{cm}^2$的矩形，小亮说：“a的值可能是200.”小倩说：“a的值可能是300.”小强说：“a的值可能是400.”小英说：“a的值可能是500.”其中说法错误的是（）
A.小亮
B.小倩
C.小强
D.小英
A.小亮
B.小倩
C.小强
D.小英
答案
D
解析
【分析】
已知铁丝总长就是矩形的周长为80cm，要判断面积a的可能值，我们可以先设矩形的一边长为未知数，根据周长公式表示出邻边的长度，再建立面积关于边长的函数关系式，求出面积的取值范围，最后对比四人所说的a值，超出取值范围的就是错误说法。
【解析】
设矩形的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，由周长为80cm可知，矩形的邻边长为$\frac{80}{2}-x=(40-x)\ \mathrm{cm}$，其中边长需满足$0＜x＜40$。
矩形面积$a = x(40-x)$，整理得：
$a = -x^2 + 40x$
该式是开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得。对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入本题中二次项系数$-1$、一次项系数$40$、常数项$0$得：
$a_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×0 - 40^2}{4×(-1)}=\frac{-1600}{-4}=400$
即面积a的取值范围是$0＜a≤400$。
对比四人说法：200、300、400均在取值范围内，只有500超出最大值，不可能实现，因此小英的说法错误。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的实际应用 2. 二次函数的最值 3. 矩形周长与面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积计算考察二次函数的实际应用，解题核心是根据题意建立正确的二次函数关系式，求出面积的最大值，即可快速判断各说法的正误。
【难度系数】
0.75
已知铁丝总长就是矩形的周长为80cm，要判断面积a的可能值，我们可以先设矩形的一边长为未知数，根据周长公式表示出邻边的长度，再建立面积关于边长的函数关系式，求出面积的取值范围，最后对比四人所说的a值，超出取值范围的就是错误说法。
【解析】
设矩形的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，由周长为80cm可知，矩形的邻边长为$\frac{80}{2}-x=(40-x)\ \mathrm{cm}$，其中边长需满足$0＜x＜40$。
矩形面积$a = x(40-x)$，整理得：
$a = -x^2 + 40x$
该式是开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得。对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入本题中二次项系数$-1$、一次项系数$40$、常数项$0$得：
$a_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×0 - 40^2}{4×(-1)}=\frac{-1600}{-4}=400$
即面积a的取值范围是$0＜a≤400$。
对比四人说法：200、300、400均在取值范围内，只有500超出最大值，不可能实现，因此小英的说法错误。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的实际应用 2. 二次函数的最值 3. 矩形周长与面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积计算考察二次函数的实际应用，解题核心是根据题意建立正确的二次函数关系式，求出面积的最大值，即可快速判断各说法的正误。
【难度系数】
0.75
9. 如图,要建一个长方形养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙足够长),如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,要使养鸡场的面积最大,则养鸡场的长AB应为m.
答案
$\boldsymbol{25}$
解析
【分析】
这是一道二次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：1. 合理设未知数，可先设垂直于墙的边长为x m，结合篱笆总长度表示出平行于墙的边长AB的长度；2. 根据长方形面积公式列出面积关于x的二次函数表达式；3. 利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，求出面积最大时x的值，再代入计算AB的长度即可。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为x m，养鸡场的面积为S m²。
由题意得，平行于墙的边长$AB=(50-3x)\ \mathrm{m}$，
则养鸡场面积：
$S = x(50 - 3x) = -3x^2 + 50x$
$\because a=-3＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，S取得最大值。
代入$a=-3,b=50$得：
$x = -\frac{50}{2×(-3)} = \frac{25}{3}\ \mathrm{m}$
此时AB的长度为：
$50 - 3x = 50 - 3×\frac{25}{3} = 25\ \mathrm{m}$
【答案】
$\boldsymbol{25}$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；列函数关系式
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题核心是准确理解题意，找到变量间的数量关系，正确列出二次函数表达式，再结合二次函数的性质求解，注意最终结果要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道二次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：1. 合理设未知数，可先设垂直于墙的边长为x m，结合篱笆总长度表示出平行于墙的边长AB的长度；2. 根据长方形面积公式列出面积关于x的二次函数表达式；3. 利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，求出面积最大时x的值，再代入计算AB的长度即可。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为x m，养鸡场的面积为S m²。
由题意得，平行于墙的边长$AB=(50-3x)\ \mathrm{m}$，
则养鸡场面积：
$S = x(50 - 3x) = -3x^2 + 50x$
$\because a=-3＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，S取得最大值。
代入$a=-3,b=50$得：
$x = -\frac{50}{2×(-3)} = \frac{25}{3}\ \mathrm{m}$
此时AB的长度为：
$50 - 3x = 50 - 3×\frac{25}{3} = 25\ \mathrm{m}$
【答案】
$\boldsymbol{25}$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；列函数关系式
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题核心是准确理解题意，找到变量间的数量关系，正确列出二次函数表达式，再结合二次函数的性质求解，注意最终结果要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
10.(数形结合思想)如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,AC+BD=10,当AC=,BD=时,四边形ABCD的面积最大,为.
答案
解：设AC的长为x，则BD的长为$10-x$，四边形ABCD的面积为$S$。
由对角线互相垂直的四边形面积公式得：
$S=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}x(10-x)$
整理得：
$S=-\frac{1}{2}x^2+5x\quad(0＜x＜10)$
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，$S$有最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，$S$取得最大值。
此时$AC=5$，$BD=10-5=5$，
最大面积$S=-\frac{1}{2}×5^2+5×5=\frac{25}{2}=12.5$。
答案依次为：$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{\frac{25}{2}}$（或$12.5$）。
由对角线互相垂直的四边形面积公式得：
$S=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}x(10-x)$
整理得：
$S=-\frac{1}{2}x^2+5x\quad(0＜x＜10)$
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，$S$有最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，$S$取得最大值。
此时$AC=5$，$BD=10-5=5$，
最大面积$S=-\frac{1}{2}×5^2+5×5=\frac{25}{2}=12.5$。
答案依次为：$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{\frac{25}{2}}$（或$12.5$）。
解析
【分析】
解题时首先根据四边形对角线互相垂直的特征，回忆其面积计算公式为两对角线乘积的一半；已知AC与BD的和为10，我们可以设AC的长度为x，将BD的长度用含x的代数式表示，进而把四边形面积表示为关于x的二次函数；再结合二次函数的最值性质，即可求出面积最大时AC、BD的长度及最大面积。
【解析】
设AC的长为x，则BD的长为$10-x$，四边形ABCD的面积为$S$。
根据对角线互相垂直的四边形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}x(10-x)$
整理为二次函数一般式：
$S=-\frac{1}{2}x^2+5x\quad(0＜x＜10)$
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，$S$存在最大值，
根据二次函数顶点横坐标公式，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，$S$取得最大值。
此时$AC=5$，$BD=10-5=5$，
代入函数得最大面积$S=-\frac{1}{2}×5^2+5×5=\frac{25}{2}=12.5$。
【答案】
$5$，$5$，$\frac{25}{2}$（或$12.5$）
【知识点】
1. 对角线垂直的四边形面积计算
2. 二次函数实际应用
3. 二次函数最值求解
【点评】
本题是几何与代数结合的基础综合题，考查了数形结合思想的运用，解题的核心是将几何面积问题转化为二次函数最值问题求解，有助于提升学生知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据四边形对角线互相垂直的特征，回忆其面积计算公式为两对角线乘积的一半；已知AC与BD的和为10，我们可以设AC的长度为x，将BD的长度用含x的代数式表示，进而把四边形面积表示为关于x的二次函数；再结合二次函数的最值性质，即可求出面积最大时AC、BD的长度及最大面积。
【解析】
设AC的长为x，则BD的长为$10-x$，四边形ABCD的面积为$S$。
根据对角线互相垂直的四边形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}x(10-x)$
整理为二次函数一般式：
$S=-\frac{1}{2}x^2+5x\quad(0＜x＜10)$
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，$S$存在最大值，
根据二次函数顶点横坐标公式，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，$S$取得最大值。
此时$AC=5$，$BD=10-5=5$，
代入函数得最大面积$S=-\frac{1}{2}×5^2+5×5=\frac{25}{2}=12.5$。
【答案】
$5$，$5$，$\frac{25}{2}$（或$12.5$）
【知识点】
1. 对角线垂直的四边形面积计算
2. 二次函数实际应用
3. 二次函数最值求解
【点评】
本题是几何与代数结合的基础综合题，考查了数形结合思想的运用，解题的核心是将几何面积问题转化为二次函数最值问题求解，有助于提升学生知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.7
11.海滩上，两根固定撑杆OA和OB的夹角为$30°$，工作人员在两根撑杆上分别取点$P$，$Q$，用绳索从$O$拉到$P$，从$O$拉到$Q$，两段绳索的总长为$60\ \mathrm{m}$，再在$P$，$Q$之间拉上第三根绳索，形成一个三角形区域，铺上帆布作为遮阳棚（如图所示），则三角形遮阳棚的最大面积是$\mathrm{m}^2$.
答案
解：
设OP = x m，则OQ = (60 - x) m，其中0 ＜ x ＜ 60。
△OPQ的面积S可表示为：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}· OP· OQ· \sin30°\\&=\frac{1}{2}· x·(60-x)·\frac{1}{2}\\&=-\frac{1}{4}x^2 + 15x\end{aligned}$
该二次函数中$a=-\frac{1}{4}＜0$，S存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{15}{2×(-\frac{1}{4})}=30$时，
S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{4}×30^2 + 15×30=225$
答：三角形遮阳棚的最大面积是$\boldsymbol{225}\ \mathrm{m}^2$。
设OP = x m，则OQ = (60 - x) m，其中0 ＜ x ＜ 60。
△OPQ的面积S可表示为：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}· OP· OQ· \sin30°\\&=\frac{1}{2}· x·(60-x)·\frac{1}{2}\\&=-\frac{1}{4}x^2 + 15x\end{aligned}$
该二次函数中$a=-\frac{1}{4}＜0$，S存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{15}{2×(-\frac{1}{4})}=30$时，
S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{4}×30^2 + 15×30=225$
答：三角形遮阳棚的最大面积是$\boldsymbol{225}\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
本题要求三角形OPQ的最大面积，已知∠O=30°，OP与OQ的长度和为60m。我们可以先设OP的长度为x m，那么OQ的长度就是(60-x)m，接着利用两边及其夹角求三角形面积的公式，列出面积关于x的表达式，该表达式为二次函数，最后利用二次函数的最值性质即可求出最大面积。
【解析】
解：设$OP = x\ \mathrm{m}$，则$OQ = (60 - x)\ \mathrm{m}$，其中$0 ＜ x ＜ 60$。
根据两边及夹角的三角形面积公式，$△ OPQ$的面积$S$可表示为：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}· OP· OQ· \sin30°\\&=\frac{1}{2}· x·(60-x)·\frac{1}{2}\\&=-\frac{1}{4}x^2 + 15x\end{aligned}$
该二次函数中二次项系数$a=-\frac{1}{4}＜0$，因此$S$存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{15}{2×(-\frac{1}{4})}=30$
将$x=30$代入面积表达式，得最大面积：
$S_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{4}×30^2 + 15×30=225$
【答案】
$225$
【知识点】
三角形面积公式，二次函数的最值，二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查几何与函数的综合应用，解题关键是正确选用面积公式列出函数关系式，再结合二次函数性质求解，能锻炼将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
本题要求三角形OPQ的最大面积，已知∠O=30°，OP与OQ的长度和为60m。我们可以先设OP的长度为x m，那么OQ的长度就是(60-x)m，接着利用两边及其夹角求三角形面积的公式，列出面积关于x的表达式，该表达式为二次函数，最后利用二次函数的最值性质即可求出最大面积。
【解析】
解：设$OP = x\ \mathrm{m}$，则$OQ = (60 - x)\ \mathrm{m}$，其中$0 ＜ x ＜ 60$。
根据两边及夹角的三角形面积公式，$△ OPQ$的面积$S$可表示为：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}· OP· OQ· \sin30°\\&=\frac{1}{2}· x·(60-x)·\frac{1}{2}\\&=-\frac{1}{4}x^2 + 15x\end{aligned}$
该二次函数中二次项系数$a=-\frac{1}{4}＜0$，因此$S$存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{15}{2×(-\frac{1}{4})}=30$
将$x=30$代入面积表达式，得最大面积：
$S_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{4}×30^2 + 15×30=225$
【答案】
$225$
【知识点】
三角形面积公式，二次函数的最值，二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查几何与函数的综合应用，解题关键是正确选用面积公式列出函数关系式，再结合二次函数性质求解，能锻炼将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
12.(新中考·生活应用)要修建一个圆形喷水池,在池中心O处竖直安装一根水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之上下平移,水柱落地点A与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高$\frac{9}{4}$ m时,喷出的抛物线形水柱在距离池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m.以O为原点,OA所在的直线为x轴,水管所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数解析式;
(2)求水柱落地点A到水池中心O的距离;
(3)若水池的半径为3.5 m,要使喷出的水流不落在池外,则喷头的最大高度为 m.
(1)求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数解析式;
(2)求水柱落地点A到水池中心O的距离;
(3)若水池的半径为3.5 m,要使喷出的水流不落在池外,则喷头的最大高度为 m.
答案
解：
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，设水柱高度$y$与水平距离$x$的函数解析式为$y=a(x-1)^2+3$。
将$x=0$，$y=\frac{9}{4}$代入解析式得：
$\frac{9}{4}=a·(0-1)^2+3$
解得$a=-\frac{3}{4}$。
因此所求函数解析式为：
$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3 \quad (x≥0)$
(2) 令$y=0$，则：
$-\frac{3}{4}(x-1)^2+3=0$
整理得$(x-1)^2=4$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$（不符合实际意义，舍去）。
所以点$A$的坐标为$(3,0)$，水柱落地点$A$到水池中心$O$的距离为$3\ \mathrm{m}$。
(3) 喷头上下移动时抛物线整体上下平移，二次项系数$a=-\frac{3}{4}$不变，对称轴仍为$x=1$，设平移后抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+k$。
要使水流不落在池外，当$x=3.5$时$y≤0$，将$x=3.5$，$y=0$代入得：
$0=-\frac{3}{4}×(3.5-1)^2+k$
解得$k=\frac{75}{16}$。
此时喷头高度为$x=0$时的函数值：
$y=-\frac{3}{4}×(0-1)^2+\frac{75}{16}=\frac{63}{16}$
即喷头的最大高度为$\frac{63}{16}\ \mathrm{m}$。
答：(1) 函数解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3\ (x≥0)$；(2) 水柱落地点$A$到水池中心$O$的距离为$3\ \mathrm{m}$；(3) $\frac{63}{16}$。
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，设水柱高度$y$与水平距离$x$的函数解析式为$y=a(x-1)^2+3$。
将$x=0$，$y=\frac{9}{4}$代入解析式得：
$\frac{9}{4}=a·(0-1)^2+3$
解得$a=-\frac{3}{4}$。
因此所求函数解析式为：
$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3 \quad (x≥0)$
(2) 令$y=0$，则：
$-\frac{3}{4}(x-1)^2+3=0$
整理得$(x-1)^2=4$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$（不符合实际意义，舍去）。
所以点$A$的坐标为$(3,0)$，水柱落地点$A$到水池中心$O$的距离为$3\ \mathrm{m}$。
(3) 喷头上下移动时抛物线整体上下平移，二次项系数$a=-\frac{3}{4}$不变，对称轴仍为$x=1$，设平移后抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+k$。
要使水流不落在池外，当$x=3.5$时$y≤0$，将$x=3.5$，$y=0$代入得：
$0=-\frac{3}{4}×(3.5-1)^2+k$
解得$k=\frac{75}{16}$。
此时喷头高度为$x=0$时的函数值：
$y=-\frac{3}{4}×(0-1)^2+\frac{75}{16}=\frac{63}{16}$
即喷头的最大高度为$\frac{63}{16}\ \mathrm{m}$。
答：(1) 函数解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3\ (x≥0)$；(2) 水柱落地点$A$到水池中心$O$的距离为$3\ \mathrm{m}$；(3) $\frac{63}{16}$。
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式时，已知抛物线顶点为(1,3)，故选用二次函数顶点式设解析式，再将喷头处坐标(0, $\frac{9}{4}$)代入即可求出系数a，结合x的实际意义标注自变量取值范围；
(2) 水柱落地时高度为0，即求y=0时x的正实数解，该值就是落地点A到O点的距离；
(3) 喷头上下移动时抛物线仅做上下平移，二次项系数a和对称轴保持不变，设平移后抛物线解析式，要使水流不落在池外，即x=3.5时y≤0，代入x=3.5、y=0求出解析式参数后，代入x=0得到的y值就是喷头的最大高度。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线顶点坐标为$(1,3)$，设水柱高度y与水平距离x的函数解析式为$y=a(x-1)^2+3$。
将$x=0$，$y=\frac{9}{4}$代入解析式得：
$\frac{9}{4}=a·(0-1)^2+3$
解得$a=-\frac{3}{4}$。
因此所求函数解析式为：
$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3 \quad (x≥0)$
(2) 令$y=0$，则：
$-\frac{3}{4}(x-1)^2+3=0$
整理得$(x-1)^2=4$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$（不符合实际意义，舍去）。
所以点A的坐标为$(3,0)$，水柱落地点A到水池中心O的距离为$3\ \mathrm{m}$。
(3) 喷头上下移动时抛物线整体上下平移，二次项系数$a=-\frac{3}{4}$不变，对称轴仍为$x=1$，设平移后抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+k$。
要使水流不落在池外，当$x=3.5$时$y≤0$，将$x=3.5$，$y=0$代入得：
$0=-\frac{3}{4}×(3.5-1)^2+k$
解得$k=\frac{75}{16}$。
此时喷头高度为$x=0$时的函数值：
$y=-\frac{3}{4}×(0-1)^2+\frac{75}{16}=\frac{63}{16}$
即喷头的最大高度为$\frac{63}{16}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3\ (x≥0)$；
(2) $3\ \mathrm{m}$；
(3) $\frac{63}{16}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数的平移
【点评】
本题结合生活中的喷泉水柱场景考查二次函数的应用，解题时需结合实际意义理解自变量和函数值的对应含义，合理选择解析式形式简化计算，第三问需灵活运用抛物线平移的性质，整体难度适中，侧重考察知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解函数解析式时，已知抛物线顶点为(1,3)，故选用二次函数顶点式设解析式，再将喷头处坐标(0, $\frac{9}{4}$)代入即可求出系数a，结合x的实际意义标注自变量取值范围；
(2) 水柱落地时高度为0，即求y=0时x的正实数解，该值就是落地点A到O点的距离；
(3) 喷头上下移动时抛物线仅做上下平移，二次项系数a和对称轴保持不变，设平移后抛物线解析式，要使水流不落在池外，即x=3.5时y≤0，代入x=3.5、y=0求出解析式参数后，代入x=0得到的y值就是喷头的最大高度。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线顶点坐标为$(1,3)$，设水柱高度y与水平距离x的函数解析式为$y=a(x-1)^2+3$。
将$x=0$，$y=\frac{9}{4}$代入解析式得：
$\frac{9}{4}=a·(0-1)^2+3$
解得$a=-\frac{3}{4}$。
因此所求函数解析式为：
$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3 \quad (x≥0)$
(2) 令$y=0$，则：
$-\frac{3}{4}(x-1)^2+3=0$
整理得$(x-1)^2=4$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$（不符合实际意义，舍去）。
所以点A的坐标为$(3,0)$，水柱落地点A到水池中心O的距离为$3\ \mathrm{m}$。
(3) 喷头上下移动时抛物线整体上下平移，二次项系数$a=-\frac{3}{4}$不变，对称轴仍为$x=1$，设平移后抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+k$。
要使水流不落在池外，当$x=3.5$时$y≤0$，将$x=3.5$，$y=0$代入得：
$0=-\frac{3}{4}×(3.5-1)^2+k$
解得$k=\frac{75}{16}$。
此时喷头高度为$x=0$时的函数值：
$y=-\frac{3}{4}×(0-1)^2+\frac{75}{16}=\frac{63}{16}$
即喷头的最大高度为$\frac{63}{16}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3\ (x≥0)$；
(2) $3\ \mathrm{m}$；
(3) $\frac{63}{16}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数的平移
【点评】
本题结合生活中的喷泉水柱场景考查二次函数的应用，解题时需结合实际意义理解自变量和函数值的对应含义，合理选择解析式形式简化计算，第三问需灵活运用抛物线平移的性质，整体难度适中，侧重考察知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.6
