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1.矩形的周长为20，设矩形的一边长为x，则其面积S=。
答案
$\boldsymbol{-x^2+10x\ (0＜x＜10)}$
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据矩形周长公式，已知周长和一边长，先求出相邻另一边的长度；第二步，根据矩形面积公式，将两边长度代入，即可得到面积关于x的表达式；第三步，结合边长为正数的实际要求，确定x的取值范围，保证表达式有实际意义。
【解析】
解：
∵矩形的周长为20，一边长为x
∴矩形相邻的另一边长为 $\frac{20}{2} - x = 10 - x$
根据矩形面积=长×宽，可得：
$S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$
又
∵矩形的边长为正数，因此$x＞0$，且$10-x＞0$，即$0＜x＜10$
综上，面积表达式为$S=-x^2+10x\ (0＜x＜10)$
【答案】
$\boldsymbol{-x^2+10x\ (0＜x＜10)}$
【知识点】
矩形周长与面积计算，列二次函数解析式，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，解题核心是利用矩形周长与面积公式建立函数关系，易错点是容易遗漏结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.9
解题时可按三步思考：第一步，根据矩形周长公式，已知周长和一边长，先求出相邻另一边的长度；第二步，根据矩形面积公式，将两边长度代入，即可得到面积关于x的表达式；第三步，结合边长为正数的实际要求，确定x的取值范围，保证表达式有实际意义。
【解析】
解：
∵矩形的周长为20，一边长为x
∴矩形相邻的另一边长为 $\frac{20}{2} - x = 10 - x$
根据矩形面积=长×宽，可得：
$S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$
又
∵矩形的边长为正数，因此$x＞0$，且$10-x＞0$，即$0＜x＜10$
综上，面积表达式为$S=-x^2+10x\ (0＜x＜10)$
【答案】
$\boldsymbol{-x^2+10x\ (0＜x＜10)}$
【知识点】
矩形周长与面积计算，列二次函数解析式，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，解题核心是利用矩形周长与面积公式建立函数关系，易错点是容易遗漏结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.9
2.如图，用12 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，设AB长为x m，则BC长为m，矩形花圃的面积为m²，若墙的长度为4 m，则x的取值范围是。
答案
解：
由题意，篱笆总长度满足$AB + BC + CD = 12\ \mathrm{m}$，且$AB=CD=x\ \mathrm{m}$，
因此$BC = 12 - 2x\ \mathrm{m}$。
矩形花圃的面积为$AB· BC = x(12-2x) = (-2x^2+12x)\ \mathrm{m}^2$。
由墙的长度为$4\ \mathrm{m}$，得平行于墙的边$BC$满足$0 ＜ BC ≤ 4$，
即$0 ＜ 12 - 2x ≤ 4$，
解不等式$12 - 2x ＞ 0$，得$x ＜ 6$，
解不等式$12 - 2x ≤ 4$，得$x ≥ 4$，
因此$x$的取值范围是$4 ≤ x ＜ 6$。
答案依次为：$\boldsymbol{(12-2x)}$；$\boldsymbol{(-2x^2+12x)}$；$\boldsymbol{4≤ x＜6}$。
由题意，篱笆总长度满足$AB + BC + CD = 12\ \mathrm{m}$，且$AB=CD=x\ \mathrm{m}$，
因此$BC = 12 - 2x\ \mathrm{m}$。
矩形花圃的面积为$AB· BC = x(12-2x) = (-2x^2+12x)\ \mathrm{m}^2$。
由墙的长度为$4\ \mathrm{m}$，得平行于墙的边$BC$满足$0 ＜ BC ≤ 4$，
即$0 ＜ 12 - 2x ≤ 4$，
解不等式$12 - 2x ＞ 0$，得$x ＜ 6$，
解不等式$12 - 2x ≤ 4$，得$x ≥ 4$，
因此$x$的取值范围是$4 ≤ x ＜ 6$。
答案依次为：$\boldsymbol{(12-2x)}$；$\boldsymbol{(-2x^2+12x)}$；$\boldsymbol{4≤ x＜6}$。
解析
【分析】
解题时首先明确靠墙的是AD边，因此篱笆仅围AB、BC、CD三条边。第一步，利用矩形对边相等得到CD=AB=x，结合篱笆总长12m，即可用x表示出BC的长度；第二步，根据矩形面积=长×宽，将AB和BC的表达式代入即可得到面积的代数式；第三步，结合墙长限制，平行于墙的BC边长不能超过墙长4m，且边长必须为正数，据此列出不等式组，求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：由题意可知，篱笆围的是AB、BC、CD三边，矩形中AB=CD=x m，
∵ 篱笆总长度为12 m，
∴ $AB + BC + CD = 12$，即$x + BC + x =12$，
∴ $BC = (12 - 2x)\ \mathrm{m}$。
矩形花圃面积 = $AB × BC = x(12 - 2x) = (-2x^2 + 12x)\ \mathrm{m}^2$。
∵ 墙的长度为4 m，平行于墙的边BC需满足$0 ＜ BC ≤ 4$，
∴ 列不等式组：$\{\begin{array}{l}12-2x＞0\\ 12-2x≤ 4\end{array} $
解不等式$12-2x＞0$，得$x ＜ 6$；
解不等式$12-2x ≤4$，得$x ≥4$；
综上，x的取值范围是$4 ≤ x ＜ 6$。
【答案】
$12-2x$；$-2x^2+12x$；$4≤x＜6$
【知识点】
列代数式；矩形面积计算；不等式组求解
【点评】
本题是实际问题与代数式、不等式结合的基础题型，解题的关键是准确判断篱笆所围的边，同时不要忽略边长为正以及墙长对边长的限制条件，避免取值范围求解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确靠墙的是AD边，因此篱笆仅围AB、BC、CD三条边。第一步，利用矩形对边相等得到CD=AB=x，结合篱笆总长12m，即可用x表示出BC的长度；第二步，根据矩形面积=长×宽，将AB和BC的表达式代入即可得到面积的代数式；第三步，结合墙长限制，平行于墙的BC边长不能超过墙长4m，且边长必须为正数，据此列出不等式组，求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：由题意可知，篱笆围的是AB、BC、CD三边，矩形中AB=CD=x m，
∵ 篱笆总长度为12 m，
∴ $AB + BC + CD = 12$，即$x + BC + x =12$，
∴ $BC = (12 - 2x)\ \mathrm{m}$。
矩形花圃面积 = $AB × BC = x(12 - 2x) = (-2x^2 + 12x)\ \mathrm{m}^2$。
∵ 墙的长度为4 m，平行于墙的边BC需满足$0 ＜ BC ≤ 4$，
∴ 列不等式组：$\{\begin{array}{l}12-2x＞0\\ 12-2x≤ 4\end{array} $
解不等式$12-2x＞0$，得$x ＜ 6$；
解不等式$12-2x ≤4$，得$x ≥4$；
综上，x的取值范围是$4 ≤ x ＜ 6$。
【答案】
$12-2x$；$-2x^2+12x$；$4≤x＜6$
【知识点】
列代数式；矩形面积计算；不等式组求解
【点评】
本题是实际问题与代数式、不等式结合的基础题型，解题的关键是准确判断篱笆所围的边，同时不要忽略边长为正以及墙长对边长的限制条件，避免取值范围求解错误。
【难度系数】
0.7
3.如图，$□ ABCD$的周长为8，$∠ B=30°$，设$AB=x$，则$□ ABCD$的面积$y$与$x$之间的函数关系式是。
答案
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，周长为8，AB=x，
∴ $BC=\frac{8}{2}-x=4-x$。
过点A作$AH⊥ BC$于点H，
在$Rt△ ABH$中，$∠ B=30°$，
∴ $AH=AB·\sin30°=\frac{1}{2}x$。
平行四边形面积$y=BC· AH$，代入得：
$y=(4-x)·\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}x^2+2x$，
由边长为正可得自变量取值范围是$0＜x＜4$。
最终函数关系式为 $\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+2x\ (0＜x＜4)}$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，周长为8，AB=x，
∴ $BC=\frac{8}{2}-x=4-x$。
过点A作$AH⊥ BC$于点H，
在$Rt△ ABH$中，$∠ B=30°$，
∴ $AH=AB·\sin30°=\frac{1}{2}x$。
平行四边形面积$y=BC· AH$，代入得：
$y=(4-x)·\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}x^2+2x$，
由边长为正可得自变量取值范围是$0＜x＜4$。
最终函数关系式为 $\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+2x\ (0＜x＜4)}$。
解析
【分析】
要推导平行四边形面积y与x的函数关系式，首先回忆平行四边形面积公式为“底×高”，我们可以按以下步骤思考：第一步，根据平行四边形周长和AB的长度，先求出邻边BC的长度；第二步，过点A作BC边上的高，利用∠B=30°的特殊直角三角形性质，求出这条高的长度；第三步，将底和高代入面积公式，整理得到函数关系式，最后根据边长为正的实际要求，确定自变量x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，周长为8，$AB=x$，
∴ $BC=\frac{8}{2}-x=4-x$。
过点A作$AH⊥ BC$于点H，AH即为BC边上的高，
在$Rt△ ABH$中，$∠ B=30°$，
∴ $AH=AB· \sin30°=\frac{1}{2}x$（也可根据30°角所对直角边为斜边一半直接得出）。
根据平行四边形面积公式，可得：
$y=BC· AH=(4-x)· \frac{1}{2}x$，
整理得$y=-\frac{1}{2}x^2+2x$。
结合边长为正的实际意义，$x＞0$且$4-x＞0$，即自变量取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+2x\ (0＜x＜4)}$
【知识点】
平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，二次函数关系式推导
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，解题核心是通过作高将平行四边形面积计算转化为底乘高的形式，结合特殊角的性质求出高即可推导函数关系，解题时注意不要遗漏自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.7
要推导平行四边形面积y与x的函数关系式，首先回忆平行四边形面积公式为“底×高”，我们可以按以下步骤思考：第一步，根据平行四边形周长和AB的长度，先求出邻边BC的长度；第二步，过点A作BC边上的高，利用∠B=30°的特殊直角三角形性质，求出这条高的长度；第三步，将底和高代入面积公式，整理得到函数关系式，最后根据边长为正的实际要求，确定自变量x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，周长为8，$AB=x$，
∴ $BC=\frac{8}{2}-x=4-x$。
过点A作$AH⊥ BC$于点H，AH即为BC边上的高，
在$Rt△ ABH$中，$∠ B=30°$，
∴ $AH=AB· \sin30°=\frac{1}{2}x$（也可根据30°角所对直角边为斜边一半直接得出）。
根据平行四边形面积公式，可得：
$y=BC· AH=(4-x)· \frac{1}{2}x$，
整理得$y=-\frac{1}{2}x^2+2x$。
结合边长为正的实际意义，$x＞0$且$4-x＞0$，即自变量取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+2x\ (0＜x＜4)}$
【知识点】
平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，二次函数关系式推导
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，解题核心是通过作高将平行四边形面积计算转化为底乘高的形式，结合特殊角的性质求出高即可推导函数关系，解题时注意不要遗漏自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.7
4.有一个长为20 cm、宽为10 cm的矩形，四个角上分别剪去边长为x cm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为$y\ \mathrm{cm}^2$的无盖长方体盒子，则$y$与$x$之间的函数关系式为
（）
A.$y=(10-x)(20-x)(0＜x＜5)$
B.$y=200-4x^2(0＜x＜5)$
C.$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$
D.$y=200+4x^2(0＜x＜5)$
（）
A.$y=(10-x)(20-x)(0＜x＜5)$
B.$y=200-4x^2(0＜x＜5)$
C.$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$
D.$y=200+4x^2(0＜x＜5)$
答案
C
解析
【分析】
解题时先分析折成无盖长方体后底面的长和宽：原矩形长20cm、宽10cm，四个角各剪去边长为x的小正方形后，长的方向左右各减少x，宽的方向上下各减少x，因此底面长为(20-2x)cm，底面宽为(10-2x)cm。再根据矩形面积=长×宽得到底面积表达式，最后结合实际意义：边长为正，推导出自变量x的取值范围，即可对应正确选项。
【解析】
步骤1：确定无盖长方体底面的长和宽
四个角剪去边长为x cm的小正方形后，折成的长方体盒子底面长为$(20-2x)\ \mathrm{cm}$，底面宽为$(10-2x)\ \mathrm{cm}$。
步骤2：推导底面积的函数表达式
根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得底面积$y=(20-2x)(10-2x)$。
步骤3：确定自变量x的取值范围
由于边长必须为正数，因此：
$\begin{cases}x＞0 \\10-2x＞0\\20-2x＞0 \end{cases}$
解得$0＜x＜5$。
综上，$y$与$x$的函数关系式为$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算；实际问题的函数解析式；自变量取值范围确定
【点评】
本题是函数在几何实际问题中的基础应用，解题的关键是准确梳理图形裁剪前后的边长变化，同时要注意结合实际意义限定自变量的取值范围，避免因忽略取值范围误选。
【难度系数】
0.8
解题时先分析折成无盖长方体后底面的长和宽：原矩形长20cm、宽10cm，四个角各剪去边长为x的小正方形后，长的方向左右各减少x，宽的方向上下各减少x，因此底面长为(20-2x)cm，底面宽为(10-2x)cm。再根据矩形面积=长×宽得到底面积表达式，最后结合实际意义：边长为正，推导出自变量x的取值范围，即可对应正确选项。
【解析】
步骤1：确定无盖长方体底面的长和宽
四个角剪去边长为x cm的小正方形后，折成的长方体盒子底面长为$(20-2x)\ \mathrm{cm}$，底面宽为$(10-2x)\ \mathrm{cm}$。
步骤2：推导底面积的函数表达式
根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得底面积$y=(20-2x)(10-2x)$。
步骤3：确定自变量x的取值范围
由于边长必须为正数，因此：
$\begin{cases}x＞0 \\10-2x＞0\\20-2x＞0 \end{cases}$
解得$0＜x＜5$。
综上，$y$与$x$的函数关系式为$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算；实际问题的函数解析式；自变量取值范围确定
【点评】
本题是函数在几何实际问题中的基础应用，解题的关键是准确梳理图形裁剪前后的边长变化，同时要注意结合实际意义限定自变量的取值范围，避免因忽略取值范围误选。
【难度系数】
0.8
5.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，当矩形的一条边长为 m时，场地的面积最大，最大面积为$ m^2.$
答案
解：设矩形的一条边长为$x\ \mathrm{m}$，矩形场地的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，
则矩形的邻边长为$\dfrac{60}{2}-x=(30-x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜30$。
由题意得：
$S=x(30-x)=-x^2+30x$
二次项系数$a=-1＜0$，因此$S$存在最大值，
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{30}{2×(-1)}=15$时，
$S_{\mathrm{最大}}=-15^2+30×15=225$。
答：当矩形的一条边长为$\boldsymbol{15}$ m时，场地的面积最大，最大面积为$\boldsymbol{225}\ \mathrm{m}^2$。
则矩形的邻边长为$\dfrac{60}{2}-x=(30-x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜30$。
由题意得：
$S=x(30-x)=-x^2+30x$
二次项系数$a=-1＜0$，因此$S$存在最大值，
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{30}{2×(-1)}=15$时，
$S_{\mathrm{最大}}=-15^2+30×15=225$。
答：当矩形的一条边长为$\boldsymbol{15}$ m时，场地的面积最大，最大面积为$\boldsymbol{225}\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
这是周长固定下的矩形面积最值问题，解题思路如下：第一步，设定自变量为矩形的一边长，因变量为矩形的面积；第二步，根据矩形周长公式，用自变量表示出矩形的邻边长度，同时结合实际意义确定自变量的取值范围；第三步，根据矩形面积公式列出面积关于边长的函数关系式，可得到二次函数；第四步，利用二次函数的最值性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，代入顶点横坐标公式算出对应边长，再代入函数式即可求出最大面积。
【解析】
设矩形的一条边长为$x\ \mathrm{m}$，矩形场地的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，
则矩形的邻边长为$\dfrac{60}{2}-x=(30-x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜30$。
由题意得：
$S=x(30-x)=-x^2+30x$
∵二次项系数$a=-1＜0$，因此$S$存在最大值，
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{30}{2×(-1)}=15$时，
$S_{\mathrm{最大}}=-15^2+30×15=225$。
【答案】
15；225
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值计算，矩形周长与面积公式
【点评】
本题是用二次函数解决几何最值问题的基础题型，核心是将实际问题转化为二次函数模型，结合二次函数的性质求解，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
这是周长固定下的矩形面积最值问题，解题思路如下：第一步，设定自变量为矩形的一边长，因变量为矩形的面积；第二步，根据矩形周长公式，用自变量表示出矩形的邻边长度，同时结合实际意义确定自变量的取值范围；第三步，根据矩形面积公式列出面积关于边长的函数关系式，可得到二次函数；第四步，利用二次函数的最值性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，代入顶点横坐标公式算出对应边长，再代入函数式即可求出最大面积。
【解析】
设矩形的一条边长为$x\ \mathrm{m}$，矩形场地的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，
则矩形的邻边长为$\dfrac{60}{2}-x=(30-x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜30$。
由题意得：
$S=x(30-x)=-x^2+30x$
∵二次项系数$a=-1＜0$，因此$S$存在最大值，
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{30}{2×(-1)}=15$时，
$S_{\mathrm{最大}}=-15^2+30×15=225$。
【答案】
15；225
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值计算，矩形周长与面积公式
【点评】
本题是用二次函数解决几何最值问题的基础题型，核心是将实际问题转化为二次函数模型，结合二次函数的性质求解，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
6.用一根长为20 m的绳子围成一个矩形，则围成的矩形的最大面积是 m².
答案
解：设矩形的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由绳子总长为20 m，可得矩形的另一边长为$ \frac{20}{2} - x = (10 - x) \, \mathrm{m} $。
则面积的函数表达式为：
$S = x(10 - x) = -x^2 + 10x \quad (0 ＜ x ＜ 10)$
该二次函数中$ a=-1＜0 $，因此$ S $存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-1)} = 5 $时，
代入计算得最大面积：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{0 - 10^2}{4×(-1)} = 25$
答：围成的矩形的最大面积是$\boldsymbol{25}$ $ \mathrm{m}^2 $。
由绳子总长为20 m，可得矩形的另一边长为$ \frac{20}{2} - x = (10 - x) \, \mathrm{m} $。
则面积的函数表达式为：
$S = x(10 - x) = -x^2 + 10x \quad (0 ＜ x ＜ 10)$
该二次函数中$ a=-1＜0 $，因此$ S $存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-1)} = 5 $时，
代入计算得最大面积：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{0 - 10^2}{4×(-1)} = 25$
答：围成的矩形的最大面积是$\boldsymbol{25}$ $ \mathrm{m}^2 $。
解析
【分析】
要解决定长绳子围矩形的最大面积问题，需结合几何关系建立函数模型求解：第一步先设矩形的一边长为自变量x，根据绳子总长20m可知矩形长与宽的和为10m，由此表示出另一边长；第二步根据矩形面积公式写出面积关于x的函数表达式，判断为二次函数；第三步结合二次函数性质，因为二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处对应最大值，代入二次函数最值公式即可求出最大面积，同时要注意自变量取值需满足边长为正的实际要求。
【解析】
设矩形的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由绳子总长为20 m，可得矩形的另一边长为$ \frac{20}{2} - x = (10 - x) \, \mathrm{m} $，其中x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 10$。
则面积的函数表达式为：
$S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$
该二次函数中$ a=-1＜0 $，因此$ S $存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-1)} = 5 $时，$S$取得最大值，代入计算得：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{0 - 10^2}{4×(-1)} = 25$
【答案】
$\boldsymbol{25}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数在几何实际问题中的典型基础题，解题核心是通过几何数量关系建立正确的二次函数解析式，再利用二次函数的图象性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义，避免出现无意义的边长。
【难度系数】
0.8
要解决定长绳子围矩形的最大面积问题，需结合几何关系建立函数模型求解：第一步先设矩形的一边长为自变量x，根据绳子总长20m可知矩形长与宽的和为10m，由此表示出另一边长；第二步根据矩形面积公式写出面积关于x的函数表达式，判断为二次函数；第三步结合二次函数性质，因为二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处对应最大值，代入二次函数最值公式即可求出最大面积，同时要注意自变量取值需满足边长为正的实际要求。
【解析】
设矩形的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由绳子总长为20 m，可得矩形的另一边长为$ \frac{20}{2} - x = (10 - x) \, \mathrm{m} $，其中x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 10$。
则面积的函数表达式为：
$S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$
该二次函数中$ a=-1＜0 $，因此$ S $存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-1)} = 5 $时，$S$取得最大值，代入计算得：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{0 - 10^2}{4×(-1)} = 25$
【答案】
$\boldsymbol{25}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数在几何实际问题中的典型基础题，解题核心是通过几何数量关系建立正确的二次函数解析式，再利用二次函数的图象性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义，避免出现无意义的边长。
【难度系数】
0.8
7.已知一个直角三角形两直角边的长度之和为20 cm，则这个直角三角形的面积最大为（）
A.25 $\mathrm{cm}^2$
B.50 $\mathrm{cm}^2$
C.100 $\mathrm{cm}^2$
D.不能确定
A.25 $\mathrm{cm}^2$
B.50 $\mathrm{cm}^2$
C.100 $\mathrm{cm}^2$
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
要解决直角三角形的最大面积问题，首先明确直角三角形面积公式为两直角边乘积的一半。已知两直角边之和为20cm，我们可以设其中一条直角边长为x cm，另一条直角边长即为(20-x)cm，据此将面积表示为关于x的二次函数，再结合二次函数的性质即可求出最大值，注意边长为正，因此x的取值范围是0＜x＜20。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为$(20-x)$cm，设三角形面积为S $\mathrm{cm}^2$。
根据直角三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}x(20-x)$
整理为二次函数一般形式：
$S=-\frac{1}{2}x^2+10x$
该函数二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，图象开口向下，存在最大值，将其化为顶点式：
$S=-\frac{1}{2}(x^2-20x)=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$
结合x的取值范围$0＜x＜20$，可知当$x=10$时，S取得最大值，最大值为50 $\mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值、直角三角形面积计算、二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在几何最值问题中的典型应用，解题核心是结合几何公式建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，求解时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
要解决直角三角形的最大面积问题，首先明确直角三角形面积公式为两直角边乘积的一半。已知两直角边之和为20cm，我们可以设其中一条直角边长为x cm，另一条直角边长即为(20-x)cm，据此将面积表示为关于x的二次函数，再结合二次函数的性质即可求出最大值，注意边长为正，因此x的取值范围是0＜x＜20。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为$(20-x)$cm，设三角形面积为S $\mathrm{cm}^2$。
根据直角三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}x(20-x)$
整理为二次函数一般形式：
$S=-\frac{1}{2}x^2+10x$
该函数二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，图象开口向下，存在最大值，将其化为顶点式：
$S=-\frac{1}{2}(x^2-20x)=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$
结合x的取值范围$0＜x＜20$，可知当$x=10$时，S取得最大值，最大值为50 $\mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值、直角三角形面积计算、二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在几何最值问题中的典型应用，解题核心是结合几何公式建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，求解时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
