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10.(综合与实践)某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度 y(m)与距发球点的水平距离 x(m)的对应值如表(不考虑空气阻力).
| 水平距离 x/m | 0 | 2 | 3 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 竖直高度 y/m | 1.1 |
| 2.6 | 2.6 | 2.3 | … |
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线(如图)，发现羽毛球的飞行路线是抛物线$y=ax^2+bx+1.1$的一部分.
第 10 题图
【建立模型】求 y 与 x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
【应用模型】
(1)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到 2.8 m？请说明理由.
(2)保持抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为$y=ax^2+kx+1.1$，发球点与球网的水平距离是 5 m.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过 2.1 m，且球的落地点与球网的水平距离小于6 m，求 k 的取值范围.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度 y(m)与距发球点的水平距离 x(m)的对应值如表(不考虑空气阻力).
| 水平距离 x/m | 0 | 2 | 3 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 竖直高度 y/m | 1.1 |
| 2.6 | 2.6 | 2.3 | … |【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线(如图)，发现羽毛球的飞行路线是抛物线$y=ax^2+bx+1.1$的一部分.
第 10 题图
【建立模型】求 y 与 x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
【应用模型】
(1)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到 2.8 m？请说明理由.
(2)保持抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为$y=ax^2+kx+1.1$，发球点与球网的水平距离是 5 m.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过 2.1 m，且球的落地点与球网的水平距离小于6 m，求 k 的取值范围.
答案
解：
【建立模型】
将点(2, 2.3)和(3, 2.6)代入$y=ax^2+bx+1.1$，得：
$\begin{cases}4a + 2b + 1.1 = 2.3 \\9a + 3b + 1.1 = 2.6\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a + b = 0.6 \\3a + b = 0.5\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -0.1 \\b = 0.8\end{cases}$
∴$y$与$x$的函数解析式为 $y = -0.1x^2 + 0.8x + 1.1$
【应用模型】
(1) 飞行的高度不能达到2.8 m，理由如下：
将解析式配方得：
$y = -0.1x^2 + 0.8x + 1.1 = -0.1(x-4)^2 + 2.7$
∵$a=-0.1＜0$，∴当$x=4$时，$y$取得最大值2.7。
∵$2.7 ＜ 2.8$，∴羽毛球飞行的高度不能达到2.8 m。
(2) 根据题意，抛物线解析式为 $y = -0.1x^2 + kx + 1.1$
① 羽毛球飞过球网正上方（$x=5$）时高度超过2.1 m，代入得：
$-0.1 × 5^2 + 5k + 1.1 ＞ 2.1$
解得：$k ＞ 0.7$
② 球的落地点与球网的水平距离小于6 m，即落地点的横坐标$x ＜ 5+6=11$，
∵抛物线开口向下，$y=0$对应的正根小于11，
∴当$x=11$时，$y ＜ 0$，代入得：
$-0.1 × 11^2 + 11k + 1.1 ＜ 0$
解得：$k ＜ 1$
综上，$k$的取值范围是 $0.7 ＜ k ＜ 1$。
【建立模型】
将点(2, 2.3)和(3, 2.6)代入$y=ax^2+bx+1.1$，得：
$\begin{cases}4a + 2b + 1.1 = 2.3 \\9a + 3b + 1.1 = 2.6\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a + b = 0.6 \\3a + b = 0.5\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -0.1 \\b = 0.8\end{cases}$
∴$y$与$x$的函数解析式为 $y = -0.1x^2 + 0.8x + 1.1$
【应用模型】
(1) 飞行的高度不能达到2.8 m，理由如下：
将解析式配方得：
$y = -0.1x^2 + 0.8x + 1.1 = -0.1(x-4)^2 + 2.7$
∵$a=-0.1＜0$，∴当$x=4$时，$y$取得最大值2.7。
∵$2.7 ＜ 2.8$，∴羽毛球飞行的高度不能达到2.8 m。
(2) 根据题意，抛物线解析式为 $y = -0.1x^2 + kx + 1.1$
① 羽毛球飞过球网正上方（$x=5$）时高度超过2.1 m，代入得：
$-0.1 × 5^2 + 5k + 1.1 ＞ 2.1$
解得：$k ＞ 0.7$
② 球的落地点与球网的水平距离小于6 m，即落地点的横坐标$x ＜ 5+6=11$，
∵抛物线开口向下，$y=0$对应的正根小于11，
∴当$x=11$时，$y ＜ 0$，代入得：
$-0.1 × 11^2 + 11k + 1.1 ＜ 0$
解得：$k ＜ 1$
综上，$k$的取值范围是 $0.7 ＜ k ＜ 1$。
解析
【分析】
1. 建立模型阶段：已知抛物线解析式为$y=ax^2+bx+1.1$，仅含a、b两个未知参数，选取两组已知的x、y对应值代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解即可确定函数解析式。
2. 应用模型(1)：要判断飞行高度能否达到2.8m，可将二次函数配方求出最大值，将最大值与2.8比较大小，即可得出结论。
3. 应用模型(2)：a的值与之前所求一致，根据两个约束条件列不等式：①球网在x=5处，飞过球网时高度超过2.1m，即x=5时y＞2.1，代入解析式求k的下限；②落地点与球网水平距离小于6m，说明落地点横坐标$x＜5+6=11$，因抛物线开口向下，因此x=11时y＜0，代入解析式求k的上限，最终取两个解集的公共部分即可得到k的取值范围。
【解析】
建立模型
将点$(3, 2.6)$和$(6, 2.3)$代入$y=ax^2+bx+1.1$，得：
$\begin{cases}4a + 2b + 1.1 = 2.3 \\9a + 3b + 1.1 = 2.6\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a + b = 0.6 \\3a + b = 0.5\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -0.1 \\b = 0.8\end{cases}$
∴$y$与$x$的函数解析式为 $y = -0.1x^2 + 0.8x + 1.1$
应用模型
(1) 飞行的高度不能达到2.8 m，理由如下：
将解析式配方得：
$y = -0.1x^2 + 0.8x + 1.1 = -0.1(x-4)^2 + 2.7$
∵$a=-0.1＜0$，
∴当$x=4$时，$y$取得最大值2.7。
∵$2.7 ＜ 2.8$，
∴羽毛球飞行的高度不能达到2.8 m。
(2) 根据题意，抛物线解析式为 $y = -0.1x^2 + kx + 1.1$
① 羽毛球飞过球网正上方（$x=5$）时高度超过2.1 m，代入得：
$-0.1 × 5^2 + 5k + 1.1 ＞ 2.1$
解得：$k ＞ 0.7$
② 球的落地点与球网的水平距离小于6 m，即落地点的横坐标$x ＜ 5+6=11$，
∵抛物线开口向下，$y=0$对应的正根小于11，
∴当$x=11$时，$y ＜ 0$，代入得：
$-0.1 × 11^2 + 11k + 1.1 ＜ 0$
解得：$k ＜ 1$
综上，$k$的取值范围是 $0.7 ＜ k ＜ 1$。
【答案】
$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$；
(1) 不能达到2.8m，理由见解析；
(2) $0.7＜k＜1$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题结合运动场景考查二次函数的实际应用，解题核心是将实际条件转化为数学中的函数关系与不等式，侧重考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
1. 建立模型阶段：已知抛物线解析式为$y=ax^2+bx+1.1$，仅含a、b两个未知参数，选取两组已知的x、y对应值代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解即可确定函数解析式。
2. 应用模型(1)：要判断飞行高度能否达到2.8m，可将二次函数配方求出最大值，将最大值与2.8比较大小，即可得出结论。
3. 应用模型(2)：a的值与之前所求一致，根据两个约束条件列不等式：①球网在x=5处，飞过球网时高度超过2.1m，即x=5时y＞2.1，代入解析式求k的下限；②落地点与球网水平距离小于6m，说明落地点横坐标$x＜5+6=11$，因抛物线开口向下，因此x=11时y＜0，代入解析式求k的上限，最终取两个解集的公共部分即可得到k的取值范围。
【解析】
建立模型
将点$(3, 2.6)$和$(6, 2.3)$代入$y=ax^2+bx+1.1$，得：
$\begin{cases}4a + 2b + 1.1 = 2.3 \\9a + 3b + 1.1 = 2.6\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a + b = 0.6 \\3a + b = 0.5\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -0.1 \\b = 0.8\end{cases}$
∴$y$与$x$的函数解析式为 $y = -0.1x^2 + 0.8x + 1.1$
应用模型
(1) 飞行的高度不能达到2.8 m，理由如下：
将解析式配方得：
$y = -0.1x^2 + 0.8x + 1.1 = -0.1(x-4)^2 + 2.7$
∵$a=-0.1＜0$，
∴当$x=4$时，$y$取得最大值2.7。
∵$2.7 ＜ 2.8$，
∴羽毛球飞行的高度不能达到2.8 m。
(2) 根据题意，抛物线解析式为 $y = -0.1x^2 + kx + 1.1$
① 羽毛球飞过球网正上方（$x=5$）时高度超过2.1 m，代入得：
$-0.1 × 5^2 + 5k + 1.1 ＞ 2.1$
解得：$k ＞ 0.7$
② 球的落地点与球网的水平距离小于6 m，即落地点的横坐标$x ＜ 5+6=11$，
∵抛物线开口向下，$y=0$对应的正根小于11，
∴当$x=11$时，$y ＜ 0$，代入得：
$-0.1 × 11^2 + 11k + 1.1 ＜ 0$
解得：$k ＜ 1$
综上，$k$的取值范围是 $0.7 ＜ k ＜ 1$。
【答案】
$y=-0.1x^2+0.8x+1.1$；
(1) 不能达到2.8m，理由见解析；
(2) $0.7＜k＜1$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题结合运动场景考查二次函数的实际应用，解题核心是将实际条件转化为数学中的函数关系与不等式，侧重考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
