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1. 一元二次方程$x^2 -4=0$的解是 （）
A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x_1=0,x_2=2$
D.$x_1=2,x_2=-2$
A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x_1=0,x_2=2$
D.$x_1=2,x_2=-2$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的解法，观察方程特征，没有一次项，适合用直接开平方法求解。解题时先将常数项移到方程右侧，再对两边同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4=0$移项，得：
$x^2=4$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$
即方程的解为$x_1=2$，$x_2=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，只要掌握直接开平方法的适用条件和开平方的运算规则，就能快速得到正确结果，解题时注意不要漏写负根。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程的解法，观察方程特征，没有一次项，适合用直接开平方法求解。解题时先将常数项移到方程右侧，再对两边同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4=0$移项，得：
$x^2=4$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$
即方程的解为$x_1=2$，$x_2=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，只要掌握直接开平方法的适用条件和开平方的运算规则，就能快速得到正确结果，解题时注意不要漏写负根。
【难度系数】
0.9
2.方程$\frac{1}{9}x^2 -1=0$的解是 （）
A.3
B.$\pm\frac{1}{3}$
C.$\pm3$
D.$-3$
A.3
B.$\pm\frac{1}{3}$
C.$\pm3$
D.$-3$
答案
C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，适合使用直接开平方法解题。解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再将$x^2$的系数化为1，最后根据平方根的性质对等式两边同时开平方，即可得到方程的解，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：对原方程$\frac{1}{9}x^2 -1=0$移项，得：
$\frac{1}{9}x^2 =1$
等式两边同时乘9，将$x^2$的系数化为1，得：
$x^2=9$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm3$
因此方程的解为$\pm3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考察直接开平方法的应用，解题时需注意正数开平方得到两个互为相反数的根，避免因漏写负根选错答案。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，适合使用直接开平方法解题。解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再将$x^2$的系数化为1，最后根据平方根的性质对等式两边同时开平方，即可得到方程的解，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：对原方程$\frac{1}{9}x^2 -1=0$移项，得：
$\frac{1}{9}x^2 =1$
等式两边同时乘9，将$x^2$的系数化为1，得：
$x^2=9$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm3$
因此方程的解为$\pm3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考察直接开平方法的应用，解题时需注意正数开平方得到两个互为相反数的根，避免因漏写负根选错答案。
【难度系数】
0.9
3.若关于x的方程$x^2=m$有实根，则m的取值范围是.
答案
$\boldsymbol{m≥0}$
解析
【分析】
解题时首先要明确平方数的基本性质：任意实数的平方都是非负数。方程$x^2=m$有实根，意味着存在实数$x$使得等式成立，因此$m$的取值必须和实数平方的取值范围一致，结合平方的非负性就能直接推出$m$的取值范围，也可以将方程转化为标准一元二次方程形式，用判别式法验证结果。
【解析】
方法一：利用平方的非负性求解
对于任意实数$x$，都满足$x^2 ≥ 0$，若方程$x^2=m$有实根，则$m$的取值必须符合$x^2$的取值范围，因此可得$m ≥ 0$。
方法二：利用判别式求解
将方程整理为标准一元二次方程形式：$x^2 - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=0$，常数项$c=-m$。
一元二次方程有实根的条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入系数得：
$\Delta = 0^2 - 4 × 1 × (-m) = 4m ≥ 0$
解得$m ≥ 0$。
【答案】
$m≥0$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元二次方程根的判别
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过平方的基本性质直接推导，也可以用一元二次方程判别式求解，核心是理解等式左右两边的取值范围要匹配，熟练掌握基础性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确平方数的基本性质：任意实数的平方都是非负数。方程$x^2=m$有实根，意味着存在实数$x$使得等式成立，因此$m$的取值必须和实数平方的取值范围一致，结合平方的非负性就能直接推出$m$的取值范围，也可以将方程转化为标准一元二次方程形式，用判别式法验证结果。
【解析】
方法一：利用平方的非负性求解
对于任意实数$x$，都满足$x^2 ≥ 0$，若方程$x^2=m$有实根，则$m$的取值必须符合$x^2$的取值范围，因此可得$m ≥ 0$。
方法二：利用判别式求解
将方程整理为标准一元二次方程形式：$x^2 - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=0$，常数项$c=-m$。
一元二次方程有实根的条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入系数得：
$\Delta = 0^2 - 4 × 1 × (-m) = 4m ≥ 0$
解得$m ≥ 0$。
【答案】
$m≥0$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元二次方程根的判别
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过平方的基本性质直接推导，也可以用一元二次方程判别式求解，核心是理解等式左右两边的取值范围要匹配，熟练掌握基础性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
4.方程$(x+1)^2 -4=0$的解是 （）
A.$x_1=1,x_2=-2$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=2,x_2=-2$
D.$x_1=3,x_2=-3$
A.$x_1=1,x_2=-2$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=2,x_2=-2$
D.$x_1=3,x_2=-3$
答案
B
解析
【分析】
观察方程结构可知，左边是完全平方式，右边为常数，适合用直接开平方法求解。解题思路为先将常数项移到等号右侧，转化为“完全平方式=非负数”的标准形式，再根据平方根的定义开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程移项，可得：
$(x+1)^2=4$
根据平方根的定义，两边同时开平方，得：
$x+1=\pm2$
分两种情况求解：
当$x+1=2$时，解得$x=1$；
当$x+1=-2$时，解得$x=-3$。
因此原方程的解为$x_1=1,x_2=-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的应用，熟练掌握开平方的运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
观察方程结构可知，左边是完全平方式，右边为常数，适合用直接开平方法求解。解题思路为先将常数项移到等号右侧，转化为“完全平方式=非负数”的标准形式，再根据平方根的定义开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程移项，可得：
$(x+1)^2=4$
根据平方根的定义，两边同时开平方，得：
$x+1=\pm2$
分两种情况求解：
当$x+1=2$时，解得$x=1$；
当$x+1=-2$时，解得$x=-3$。
因此原方程的解为$x_1=1,x_2=-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的应用，熟练掌握开平方的运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.方程$(x-1)^2=16$的解是 （）
A.$x_1=5,x_2=2$
B.$x_1=-5,x_2=3$
C.$x_1=-3,x_2=5$
D.$x_1=-4,x_2=4$
A.$x_1=5,x_2=2$
B.$x_1=-5,x_2=3$
C.$x_1=-3,x_2=5$
D.$x_1=-4,x_2=4$
答案
C
解析
【分析】
本题可采用直接开平方法求解，解题思路为：首先观察方程形式，左侧是含未知数的完全平方式，右侧是正的常数，符合直接开平方法的适用条件；接下来对等式两边开平方，将二次方程转化为两个一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解，注意开平方时右侧要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
解：对$(x-1)^2=16$两边同时开平方，得：
$x-1=\pm4$
分两种情况计算：
①当$x-1=4$时，解得$x=4+1=5$；
②当$x-1=-4$时，解得$x=-4+1=-3$。
因此原方程的解为$x_1=5$，$x_2=-3$。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法的运用，解题时注意开平方后有两个互为相反数的结果，不要漏写负的情况即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题可采用直接开平方法求解，解题思路为：首先观察方程形式，左侧是含未知数的完全平方式，右侧是正的常数，符合直接开平方法的适用条件；接下来对等式两边开平方，将二次方程转化为两个一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解，注意开平方时右侧要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
解：对$(x-1)^2=16$两边同时开平方，得：
$x-1=\pm4$
分两种情况计算：
①当$x-1=4$时，解得$x=4+1=5$；
②当$x-1=-4$时，解得$x=-4+1=-3$。
因此原方程的解为$x_1=5$，$x_2=-3$。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法的运用，解题时注意开平方后有两个互为相反数的结果，不要漏写负的情况即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
6.一元二次方程$(x+3)^2=5$可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是$x+3=\sqrt{5}$，另一个一次方程是.
答案
解：对一元二次方程$(x+3)^2=5$两边直接开平方，可得
$x+3=\sqrt{5}$或$x+3=-\sqrt{5}$
所以另一个一次方程是$\boldsymbol{x+3=-\sqrt{5}}$。
$x+3=\sqrt{5}$或$x+3=-\sqrt{5}$
所以另一个一次方程是$\boldsymbol{x+3=-\sqrt{5}}$。
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，等号左侧是含x的整式的平方，右侧是正数5，符合直接开平方法的适用条件；根据平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$，因此对$(x+3)^2=5$开平方时，$x+3$的取值有两种互为相反数的情况，题目已给出正的情况，剩余的就是负的情况。
【解析】
对一元二次方程$(x+3)^2=5$两边直接开平方，可得
$x+3=\sqrt{5}$或$x+3=-\sqrt{5}$
因此另一个一次方程是$x+3=-\sqrt{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{x+3=-\sqrt{5}}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直接开平方法的应用，只要理解正数有两个互为相反数的平方根，就能快速得出结果，是解一元二次方程的基础训练题。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，等号左侧是含x的整式的平方，右侧是正数5，符合直接开平方法的适用条件；根据平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$，因此对$(x+3)^2=5$开平方时，$x+3$的取值有两种互为相反数的情况，题目已给出正的情况，剩余的就是负的情况。
【解析】
对一元二次方程$(x+3)^2=5$两边直接开平方，可得
$x+3=\sqrt{5}$或$x+3=-\sqrt{5}$
因此另一个一次方程是$x+3=-\sqrt{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{x+3=-\sqrt{5}}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直接开平方法的应用，只要理解正数有两个互为相反数的平方根，就能快速得出结果，是解一元二次方程的基础训练题。
【难度系数】
0.9
7.下面是小聪同学用配方法解方程$2x^2 +4x -1=0$的过程,请仔细阅读后,解答下面的问题.
解:移项,得$2x^2 +4x=1$.①
二次项系数化为1,得$x^2 +2x=\frac{1}{2}$.②
配方,得$x^2 +2x +1=\frac{1}{2}$,即$(x+1)^2=\frac{1}{2}$.③
开方,得$x+1=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.④
$x_1=-1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.⑤
(1)小聪的解答过程是从第步开始出现错误的,错误的原因是;
(2)用小聪同学的方法解方程:
①$(x+2)^2 -36=0$; ②$2x^2 -4x -5=0$.
解:移项,得$2x^2 +4x=1$.①
二次项系数化为1,得$x^2 +2x=\frac{1}{2}$.②
配方,得$x^2 +2x +1=\frac{1}{2}$,即$(x+1)^2=\frac{1}{2}$.③
开方,得$x+1=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.④
$x_1=-1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.⑤
(1)小聪的解答过程是从第步开始出现错误的,错误的原因是;
(2)用小聪同学的方法解方程:
①$(x+2)^2 -36=0$; ②$2x^2 -4x -5=0$.
答案
解：
(1) ③；配方时等式左边加上1，等式右边没有同时加1，等式不成立
① 移项，得$(x+2)^2 = 36$
开方，得$x+2 = \pm 6$
即$x+2=6$或$x+2=-6$
解得$x_1=4$，$x_2=-8$
② 移项，得$2x^2 -4x = 5$
二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = \frac{5}{2}$
配方，得$x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$，即$(x-1)^2 = \frac{7}{2}$
开方，得$x-1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$
解得$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$
(1) ③；配方时等式左边加上1，等式右边没有同时加1，等式不成立
① 移项，得$(x+2)^2 = 36$
开方，得$x+2 = \pm 6$
即$x+2=6$或$x+2=-6$
解得$x_1=4$，$x_2=-8$
② 移项，得$2x^2 -4x = 5$
二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = \frac{5}{2}$
配方，得$x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$，即$(x-1)^2 = \frac{7}{2}$
开方，得$x-1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$
解得$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$
解析
【分析】
（1）解决第一问需先明确配方法解一元二次方程的标准步骤：移项→二次项系数化为1→等式两边同时加一次项系数一半的平方完成配方→开方求解。对照小聪的步骤，第③步仅在等式左侧加1，右侧未加相同的数，违反等式基本性质，因此从第③步开始出错。
（2）解方程①时，方程符合$(x+a)^2=b(b≥0)$的结构，用直接开平方法求解：先移项将常数项移到等号右侧，再开方转化为两个一元一次方程计算即可；解方程②用配方法，严格按照移项、二次项系数化为1、等式两边同时加一次项系数一半的平方配方、开方、求解的步骤计算即可。
【解析】
(1) 对照配方法的要求，小聪第③步配方时，等式左边加上1，等式右边没有同时加1，不符合等式的基本性质，因此从第③步开始出现错误。
① 解方程$(x+2)^2 -36=0$：
移项，得$(x+2)^2 = 36$
开方，得$x+2 = \pm 6$
即$x+2=6$或$x+2=-6$
解得$x_1=4$，$x_2=-8$
② 解方程$2x^2 -4x -5=0$：
移项，得$2x^2 -4x = 5$
二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = \frac{5}{2}$
配方，得$x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$，即$(x-1)^2 = \frac{7}{2}$
开方，得$x-1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$
解得$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$
【答案】
(1) ③；配方时等式左边加上1，等式右边没有同时加1，等式不成立
① $x_1=4$，$x_2=-8$
② $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题重点考查一元二次方程的基础解法，需要熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意配方时等式两边必须同时加相同的数，保证等式成立；直接开平方法解方程时要注意开方后有正负两种结果，避免漏解。
【难度系数】
0.75
（1）解决第一问需先明确配方法解一元二次方程的标准步骤：移项→二次项系数化为1→等式两边同时加一次项系数一半的平方完成配方→开方求解。对照小聪的步骤，第③步仅在等式左侧加1，右侧未加相同的数，违反等式基本性质，因此从第③步开始出错。
（2）解方程①时，方程符合$(x+a)^2=b(b≥0)$的结构，用直接开平方法求解：先移项将常数项移到等号右侧，再开方转化为两个一元一次方程计算即可；解方程②用配方法，严格按照移项、二次项系数化为1、等式两边同时加一次项系数一半的平方配方、开方、求解的步骤计算即可。
【解析】
(1) 对照配方法的要求，小聪第③步配方时，等式左边加上1，等式右边没有同时加1，不符合等式的基本性质，因此从第③步开始出现错误。
① 解方程$(x+2)^2 -36=0$：
移项，得$(x+2)^2 = 36$
开方，得$x+2 = \pm 6$
即$x+2=6$或$x+2=-6$
解得$x_1=4$，$x_2=-8$
② 解方程$2x^2 -4x -5=0$：
移项，得$2x^2 -4x = 5$
二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = \frac{5}{2}$
配方，得$x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$，即$(x-1)^2 = \frac{7}{2}$
开方，得$x-1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$
解得$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$
【答案】
(1) ③；配方时等式左边加上1，等式右边没有同时加1，等式不成立
① $x_1=4$，$x_2=-8$
② $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题重点考查一元二次方程的基础解法，需要熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意配方时等式两边必须同时加相同的数，保证等式成立；直接开平方法解方程时要注意开方后有正负两种结果，避免漏解。
【难度系数】
0.75
