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11.已知关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 +3x +m^2 -4=0$的一个根是0.
(1)求$m$的值；
(2)求方程的另一根.
(1)求$m$的值；
(2)求方程的另一根.
答案
解：
(1) 将$x=0$代入方程$(m-2)x^2 + 3x + m^2 - 4 = 0$，得：
$m^2 - 4 = 0$
解得$m = \pm 2$。
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数$m-2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$。
因此$m = -2$。
(2) 将$m=-2$代入原方程，得：
$(-2-2)x^2 + 3x + (-2)^2 -4 = 0$
整理得：$-4x^2 + 3x = 0$
因式分解得：$x(-4x + 3) = 0$
已知方程的一个根是$x=0$，令$-4x + 3 = 0$，解得$x = \frac{3}{4}$。
所以方程的另一根为$\frac{3}{4}$。
(1) 将$x=0$代入方程$(m-2)x^2 + 3x + m^2 - 4 = 0$，得：
$m^2 - 4 = 0$
解得$m = \pm 2$。
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数$m-2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$。
因此$m = -2$。
(2) 将$m=-2$代入原方程，得：
$(-2-2)x^2 + 3x + (-2)^2 -4 = 0$
整理得：$-4x^2 + 3x = 0$
因式分解得：$x(-4x + 3) = 0$
已知方程的一个根是$x=0$，令$-4x + 3 = 0$，解得$x = \frac{3}{4}$。
所以方程的另一根为$\frac{3}{4}$。
解析
【分析】
(1) 已知0是方程的根，根据方程根的定义，将x=0代入原方程可得到关于m的方程，求解得到m的可能取值；又因为题目明确该方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此需要对求出的m值进行筛选，舍去不符合要求的解。
(2) 将第一问求出的正确m值代入原方程，得到具体的一元二次方程，通过因式分解法解方程，结合已知的一个根为0，即可求出另一个根。
【解析】
(1) 将$x=0$代入方程$(m-2)x^2 + 3x + m^2 - 4 = 0$，得：
$m^2 - 4 = 0$
解得$m = \pm 2$。
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数$m-2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$。
因此$m = -2$。
(2) 将$m=-2$代入原方程，得：
$(-2-2)x^2 + 3x + (-2)^2 -4 = 0$
整理得：$-4x^2 + 3x = 0$
因式分解得：$x(-4x + 3) = 0$
已知方程的一个根是$x=0$，令$-4x + 3 = 0$，解得$x = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $m=-2$；(2) 方程的另一根为$\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的概念；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程部分的基础常考题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，导致出现多解的错误，求解时需注意对结果进行检验。
【难度系数】
0.7
(1) 已知0是方程的根，根据方程根的定义，将x=0代入原方程可得到关于m的方程，求解得到m的可能取值；又因为题目明确该方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此需要对求出的m值进行筛选，舍去不符合要求的解。
(2) 将第一问求出的正确m值代入原方程，得到具体的一元二次方程，通过因式分解法解方程，结合已知的一个根为0，即可求出另一个根。
【解析】
(1) 将$x=0$代入方程$(m-2)x^2 + 3x + m^2 - 4 = 0$，得：
$m^2 - 4 = 0$
解得$m = \pm 2$。
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数$m-2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$。
因此$m = -2$。
(2) 将$m=-2$代入原方程，得：
$(-2-2)x^2 + 3x + (-2)^2 -4 = 0$
整理得：$-4x^2 + 3x = 0$
因式分解得：$x(-4x + 3) = 0$
已知方程的一个根是$x=0$，令$-4x + 3 = 0$，解得$x = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $m=-2$；(2) 方程的另一根为$\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的概念；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程部分的基础常考题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，导致出现多解的错误，求解时需注意对结果进行检验。
【难度系数】
0.7
12.已知$m$是方程$x^2 - x -1=0$的一个根，求$( \frac{2}{m+1} - \frac{1}{m} ) ÷ \frac{m^2 - m}{m^2 + 2m +1}$的值.
答案
解：
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&( \frac{2}{m+1} - \frac{1}{m} ) ÷ \frac{m^2 - m}{m^2 + 2m + 1}\\=&\frac{2m - (m+1)}{m(m+1)} · \frac{(m+1)^2}{m(m-1)}\\=&\frac{m-1}{m(m+1)} · \frac{(m+1)^2}{m(m-1)}\\=&\frac{m+1}{m^2}\end{aligned}$
因为$m$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，
所以$m^2 - m - 1 = 0$，即$m^2 = m + 1$。
将$m^2 = m+1$代入化简后的式子：
原式$=\frac{m+1}{m+1}=1$。
最终值为$\boldsymbol{1}$。
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&( \frac{2}{m+1} - \frac{1}{m} ) ÷ \frac{m^2 - m}{m^2 + 2m + 1}\\=&\frac{2m - (m+1)}{m(m+1)} · \frac{(m+1)^2}{m(m-1)}\\=&\frac{m-1}{m(m+1)} · \frac{(m+1)^2}{m(m-1)}\\=&\frac{m+1}{m^2}\end{aligned}$
因为$m$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，
所以$m^2 - m - 1 = 0$，即$m^2 = m + 1$。
将$m^2 = m+1$代入化简后的式子：
原式$=\frac{m+1}{m+1}=1$。
最终值为$\boldsymbol{1}$。
解析
【分析】
解决本题遵循“先化简，再求值”的思路，可避免直接代入m的数值产生的复杂计算。第一步先处理分式混合运算：先计算括号内的分式减法，通分化为同分母分式相减，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；第二步利用一元二次方程根的定义，将m代入原方程得到关于m的等式，变形后整体代入化简后的式子即可求出结果，无需解出m的具体值。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&( \frac{2}{m+1} - \frac{1}{m} ) ÷ \frac{m^2 - m}{m^2 + 2m + 1}\\=&\frac{2m - (m+1)}{m(m+1)} · \frac{(m+1)^2}{m(m-1)}\\=&\frac{m-1}{m(m+1)} · \frac{(m+1)^2}{m(m-1)}\\=&\frac{m+1}{m^2}\end{aligned}$
因为m是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，将x=m代入方程可得：
$m^2 - m - 1 = 0$，变形得$m^2 = m + 1$。
将$m^2 = m+1$代入化简后的式子：
原式$=\frac{m+1}{m+1}=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式的混合运算；一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题结合分式运算与一元二次方程根的性质进行考查，解题核心是先化简代数式，再用整体代入法求值，省去求解m的步骤，能大幅简化计算、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解决本题遵循“先化简，再求值”的思路，可避免直接代入m的数值产生的复杂计算。第一步先处理分式混合运算：先计算括号内的分式减法，通分化为同分母分式相减，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；第二步利用一元二次方程根的定义，将m代入原方程得到关于m的等式，变形后整体代入化简后的式子即可求出结果，无需解出m的具体值。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&( \frac{2}{m+1} - \frac{1}{m} ) ÷ \frac{m^2 - m}{m^2 + 2m + 1}\\=&\frac{2m - (m+1)}{m(m+1)} · \frac{(m+1)^2}{m(m-1)}\\=&\frac{m-1}{m(m+1)} · \frac{(m+1)^2}{m(m-1)}\\=&\frac{m+1}{m^2}\end{aligned}$
因为m是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，将x=m代入方程可得：
$m^2 - m - 1 = 0$，变形得$m^2 = m + 1$。
将$m^2 = m+1$代入化简后的式子：
原式$=\frac{m+1}{m+1}=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式的混合运算；一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题结合分式运算与一元二次方程根的性质进行考查，解题核心是先化简代数式，再用整体代入法求值，省去求解m的步骤，能大幅简化计算、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
