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7.如图,某小区有一长为18 m、宽为6 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60 m²,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.设人行通道的宽度为x m,由题意可列方程 ()
A.(18−2x)(6−3x)=60
B.(18−3x)(6−2x)=108
C.(18−3x)(6−x)=60
D.(18−3x)(6−2x)=60
A.(18−2x)(6−3x)=60
B.(18−3x)(6−2x)=108
C.(18−3x)(6−x)=60
D.(18−3x)(6−2x)=60
答案
D
解析
【分析】
这是一道列一元二次方程的几何面积应用题，解题核心是确定两块矩形绿地合并后的实际长和宽：1. 先分析水平方向（长18m的边）：通道分布在左侧、两块绿地中间、右侧，共3段宽度为x的通道，因此绿地总长度为原长减去3倍通道宽度；2. 再分析竖直方向（宽6m的边）：通道分布在上下两侧，共2段宽度为x的通道，因此绿地总宽度为原宽减去2倍通道宽度；3. 最后根据“两块绿地面积之和为60m²”，结合矩形面积公式列方程即可。
【解析】
设人行通道的宽度为x m：
1. 水平方向：原空地长18m，共有3段宽度为x的通道，因此两块绿地的总长度为$(18 - 3x)\ \mathrm{m}$；
2. 竖直方向：原空地宽6m，共有2段宽度为x的通道，因此两块绿地的总宽度为$(6 - 2x)\ \mathrm{m}$；
3. 已知两块绿地面积之和为$60\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(18 - 3x)(6 - 2x) = 60$
因此对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题属于面积类方程应用的基础题型，解题关键是通过平移思路准确计算出合并后绿地的长和宽，避免重复或遗漏通道的宽度，熟练掌握该方法可快速解决同类通道、围栏类面积列方程问题。
【难度系数】
0.7
这是一道列一元二次方程的几何面积应用题，解题核心是确定两块矩形绿地合并后的实际长和宽：1. 先分析水平方向（长18m的边）：通道分布在左侧、两块绿地中间、右侧，共3段宽度为x的通道，因此绿地总长度为原长减去3倍通道宽度；2. 再分析竖直方向（宽6m的边）：通道分布在上下两侧，共2段宽度为x的通道，因此绿地总宽度为原宽减去2倍通道宽度；3. 最后根据“两块绿地面积之和为60m²”，结合矩形面积公式列方程即可。
【解析】
设人行通道的宽度为x m：
1. 水平方向：原空地长18m，共有3段宽度为x的通道，因此两块绿地的总长度为$(18 - 3x)\ \mathrm{m}$；
2. 竖直方向：原空地宽6m，共有2段宽度为x的通道，因此两块绿地的总宽度为$(6 - 2x)\ \mathrm{m}$；
3. 已知两块绿地面积之和为$60\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(18 - 3x)(6 - 2x) = 60$
因此对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题属于面积类方程应用的基础题型，解题关键是通过平移思路准确计算出合并后绿地的长和宽，避免重复或遗漏通道的宽度，熟练掌握该方法可快速解决同类通道、围栏类面积列方程问题。
【难度系数】
0.7
8.在一次同学聚会时,大家相互握手问候.如果每人都和其他人握手一次,一共握了45次手,那么参加这次聚会的同学共有多少人?设参加聚会的同学有$x$人,根据题意,下列方程正确的是 ()
A.$x(x+1)=45$
B.$x(x-1)=45$
C.$x(x+1)=45×2$
D.$x(x-1)=45×2$
A.$x(x+1)=45$
B.$x(x-1)=45$
C.$x(x+1)=45×2$
D.$x(x-1)=45×2$
答案
D
解析
【分析】
解决这道题要先理清握手问题的计数逻辑：第一步，先计算不考虑重复时的总握手记录数，每个人不能和自己握手，所以每人握手$(x-1)$次，$x$个人的总记录数为$x(x-1)$次；第二步，注意握手是两人之间的双向行为，每一次握手会被两个人各记录一次，因此总记录数是实际握手次数的2倍；第三步，结合已知实际握手45次列方程，变形后对应选项即可。
【解析】
设参加聚会的同学有$x$人。
1. 每人需与除自己外的其余$(x-1)$人各握手1次，若不排除重复计数，总握手记录数为$x(x-1)$次；
2. 由于每两人之间的1次握手会被重复计算2次（如甲与乙握手、乙与甲握手属于同一次握手），因此实际握手次数为$\frac{x(x-1)}{2}$次；
3. 已知实际共握手45次，因此可列方程：$\frac{x(x-1)}{2}=45$，方程两边同时乘2变形得：$x(x-1)=45×2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 握手类计数模型
【点评】
本题是实际问题列方程的基础题型，核心易错点是容易忽略握手的双向性导致多算一倍，只要明确“总记录数是实际次数的2倍”这一逻辑，就能准确列出方程。
【难度系数】
0.7
解决这道题要先理清握手问题的计数逻辑：第一步，先计算不考虑重复时的总握手记录数，每个人不能和自己握手，所以每人握手$(x-1)$次，$x$个人的总记录数为$x(x-1)$次；第二步，注意握手是两人之间的双向行为，每一次握手会被两个人各记录一次，因此总记录数是实际握手次数的2倍；第三步，结合已知实际握手45次列方程，变形后对应选项即可。
【解析】
设参加聚会的同学有$x$人。
1. 每人需与除自己外的其余$(x-1)$人各握手1次，若不排除重复计数，总握手记录数为$x(x-1)$次；
2. 由于每两人之间的1次握手会被重复计算2次（如甲与乙握手、乙与甲握手属于同一次握手），因此实际握手次数为$\frac{x(x-1)}{2}$次；
3. 已知实际共握手45次，因此可列方程：$\frac{x(x-1)}{2}=45$，方程两边同时乘2变形得：$x(x-1)=45×2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 握手类计数模型
【点评】
本题是实际问题列方程的基础题型，核心易错点是容易忽略握手的双向性导致多算一倍，只要明确“总记录数是实际次数的2倍”这一逻辑，就能准确列出方程。
【难度系数】
0.7
9.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑.”其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图.设正方形的边长是x步，则可列方程为（）
A.$π(x+3)^2 - x^2 =72$
B.$π(\frac{x}{2}+3)^2 -x^2=72$
C.$π(x+3)^2 -x^2=36$
D.$π(\frac{x}{2}+3)^2 -x^2=36$
A.$π(x+3)^2 - x^2 =72$
B.$π(\frac{x}{2}+3)^2 -x^2=72$
C.$π(x+3)^2 -x^2=36$
D.$π(\frac{x}{2}+3)^2 -x^2=36$
答案
B
解析
【分析】
解题时先找准题中的等量关系：圆形田地的面积减去中间正方形水池的面积，等于可耕地的面积72平方步。接下来需要确定圆的半径：由于圆心和正方形的中心重合，正方形的边长为x步，因此中心到正方形边的距离为边长的一半即$\frac{x}{2}$步，再加上池边到圆周的3步，即可得到圆的半径为$(\frac{x}{2}+3)$步。最后分别表示出圆和正方形的面积，代入等量关系就能列出对应的方程。
【解析】
第一步：明确等量关系：$\boldsymbol{S_{圆}-S_{正方形}=72}$平方步。
第二步：推导圆的半径：
已知正方形边长为$x$步，正方形中心到自身边的距离为$\frac{x}{2}$步，又池边到圆周每边相距3步，且圆心与正方形中心重合，因此圆的半径$r=\frac{x}{2}+3$。
第三步：分别表示两个图形的面积：
圆的面积：$S_{圆}=πr^2=π(\frac{x}{2}+3)^2$；
正方形的面积：$S_{正方形}=x^2$。
第四步：代入等量关系列方程：
$π(\frac{x}{2}+3)^2 - x^2 =72$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列方程解应用题；圆的面积计算；正方形面积计算
【点评】
本题结合古代数学记载的问题考查方程的列法，解题的核心是正确推导圆的半径，准确找到可耕地面积对应的等量关系，同时也能让学生体会到数学在古代生活中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先找准题中的等量关系：圆形田地的面积减去中间正方形水池的面积，等于可耕地的面积72平方步。接下来需要确定圆的半径：由于圆心和正方形的中心重合，正方形的边长为x步，因此中心到正方形边的距离为边长的一半即$\frac{x}{2}$步，再加上池边到圆周的3步，即可得到圆的半径为$(\frac{x}{2}+3)$步。最后分别表示出圆和正方形的面积，代入等量关系就能列出对应的方程。
【解析】
第一步：明确等量关系：$\boldsymbol{S_{圆}-S_{正方形}=72}$平方步。
第二步：推导圆的半径：
已知正方形边长为$x$步，正方形中心到自身边的距离为$\frac{x}{2}$步，又池边到圆周每边相距3步，且圆心与正方形中心重合，因此圆的半径$r=\frac{x}{2}+3$。
第三步：分别表示两个图形的面积：
圆的面积：$S_{圆}=πr^2=π(\frac{x}{2}+3)^2$；
正方形的面积：$S_{正方形}=x^2$。
第四步：代入等量关系列方程：
$π(\frac{x}{2}+3)^2 - x^2 =72$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列方程解应用题；圆的面积计算；正方形面积计算
【点评】
本题结合古代数学记载的问题考查方程的列法，解题的核心是正确推导圆的半径，准确找到可耕地面积对应的等量关系，同时也能让学生体会到数学在古代生活中的应用。
【难度系数】
0.7
10.已知$m$，$n$是方程$x^2 - 2x -1=0$的两个根，试求代数式$(2m^2 -4m -1)(3n^2 -6n +2)$的值。
答案
解：
∵ $m$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，
∴ 把$x=m$代入方程得：$m^2 - 2m -1=0$，即$m^2 - 2m = 1$。
∴ $2m^2 -4m -1 = 2(m^2 -2m) -1 = 2×1 -1 = 1$。
∵ $n$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，
∴ 把$x=n$代入方程得：$n^2 - 2n -1=0$，即$n^2 - 2n = 1$。
∴ $3n^2 -6n +2 = 3(n^2 -2n) +2 = 3×1 +2 = 5$。
∴ 原式$=1×5=5$。
∵ $m$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，
∴ 把$x=m$代入方程得：$m^2 - 2m -1=0$，即$m^2 - 2m = 1$。
∴ $2m^2 -4m -1 = 2(m^2 -2m) -1 = 2×1 -1 = 1$。
∵ $n$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，
∴ 把$x=n$代入方程得：$n^2 - 2n -1=0$，即$n^2 - 2n = 1$。
∴ $3n^2 -6n +2 = 3(n^2 -2n) +2 = 3×1 +2 = 5$。
∴ 原式$=1×5=5$。
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知m、n是给定一元二次方程的两个根，因此将x=m、x=n分别代入方程可得到关于m、n的等式。观察所求代数式的结构，发现两个括号内的式子都可以变形为含有$m^2-2m$、$n^2-2n$的形式，因此不需要求解m、n的具体值，利用整体代入法即可求出两个括号内的值，最后相乘得到结果。
【解析】
∵ $m$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，
∴ 把$x=m$代入方程得：$m^2 - 2m -1=0$，即$m^2 - 2m = 1$。
∴ $2m^2 -4m -1 = 2(m^2 -2m) -1 = 2×1 -1 = 1$。
∵ $n$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，
∴ 把$x=n$代入方程得：$n^2 - 2n -1=0$，即$n^2 - 2n = 1$。
∴ $3n^2 -6n +2 = 3(n^2 -2n) +2 = 3×1 +2 = 5$。
∴ 原式$=1×5=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的典型题型，解题的关键是灵活运用方程根的定义得到相关代数式的值，利用整体代入的思想简化计算，避免了求解方程根的繁琐过程，也降低了计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知m、n是给定一元二次方程的两个根，因此将x=m、x=n分别代入方程可得到关于m、n的等式。观察所求代数式的结构，发现两个括号内的式子都可以变形为含有$m^2-2m$、$n^2-2n$的形式，因此不需要求解m、n的具体值，利用整体代入法即可求出两个括号内的值，最后相乘得到结果。
【解析】
∵ $m$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，
∴ 把$x=m$代入方程得：$m^2 - 2m -1=0$，即$m^2 - 2m = 1$。
∴ $2m^2 -4m -1 = 2(m^2 -2m) -1 = 2×1 -1 = 1$。
∵ $n$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，
∴ 把$x=n$代入方程得：$n^2 - 2n -1=0$，即$n^2 - 2n = 1$。
∴ $3n^2 -6n +2 = 3(n^2 -2n) +2 = 3×1 +2 = 5$。
∴ 原式$=1×5=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的典型题型，解题的关键是灵活运用方程根的定义得到相关代数式的值，利用整体代入的思想简化计算，避免了求解方程根的繁琐过程，也降低了计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
