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8.若关于$x$的方程$(ax-1)^2 -16=0$的一个根是2，则$a$的值为（）
A.$\frac{5}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
A.$\frac{5}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=2是方程的根，所以只需将x=2代入原方程，就可以得到关于a的方程，再用直接开平方法求解这个方程即可得到a的值，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
∵x=2是方程$(ax-1)^2 -16=0$的一个根
∴将x=2代入方程，得：
$(2a - 1)^2 - 16 = 0$
移项得：$(2a - 1)^2 = 16$
根据平方根的性质，两边开平方得：
$2a - 1 = 4$ 或 $2a - 1 = -4$
当$2a - 1 = 4$时，解得$2a=5$，即$a=\frac{5}{2}$
当$2a - 1 = -4$时，解得$2a=-3$，即$a=-\frac{3}{2}$
综上，a的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
方程的根的定义，直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用方程根的定义将已知根代入原方程，转化为关于参数a的方程求解，注意开平方运算时不要遗漏负的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=2是方程的根，所以只需将x=2代入原方程，就可以得到关于a的方程，再用直接开平方法求解这个方程即可得到a的值，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
∵x=2是方程$(ax-1)^2 -16=0$的一个根
∴将x=2代入方程，得：
$(2a - 1)^2 - 16 = 0$
移项得：$(2a - 1)^2 = 16$
根据平方根的性质，两边开平方得：
$2a - 1 = 4$ 或 $2a - 1 = -4$
当$2a - 1 = 4$时，解得$2a=5$，即$a=\frac{5}{2}$
当$2a - 1 = -4$时，解得$2a=-3$，即$a=-\frac{3}{2}$
综上，a的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
方程的根的定义，直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用方程根的定义将已知根代入原方程，转化为关于参数a的方程求解，注意开平方运算时不要遗漏负的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9.已知一个等腰三角形的两边长分别是方程$(x-3)^2=1$的两个根，则此三角形的周长为（）
A.6
B.8
C.10
D.8或10
A.6
B.8
C.10
D.8或10
答案
C
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，用直接开平方法解一元二次方程，得到等腰三角形的两条边长；第二步，结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰和底边的取值；第三步，用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况能否构成三角形，排除不符合的情况后计算对应周长即可。
【解析】
解：先解方程$(x-3)^2=1$，
开平方得：$x-3=\pm1$，
解得$x_1=4$，$x_2=2$，即等腰三角形的两边长为2和4，分两种情况讨论：
① 若腰长为2，底边长为4，此时三边长为2，2，4，
$\because 2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，
$\therefore$ 该情况不能构成三角形，舍去；
② 若腰长为4，底边长为2，此时三边长为4，4，2，
$\because 2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，
$\therefore$ 三角形周长为$4+4+2=10$。
综上，此三角形周长为10，选C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解方程、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题为易错题，解题时需要先求出方程的根，再结合等腰三角形的性质分类讨论，尤其要注意必须用三角形三边关系验证每种情况是否成立，不能盲目计算两种情况的周长导致错选。
【难度系数】
0.6
解题可按三步思考：第一步，用直接开平方法解一元二次方程，得到等腰三角形的两条边长；第二步，结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰和底边的取值；第三步，用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况能否构成三角形，排除不符合的情况后计算对应周长即可。
【解析】
解：先解方程$(x-3)^2=1$，
开平方得：$x-3=\pm1$，
解得$x_1=4$，$x_2=2$，即等腰三角形的两边长为2和4，分两种情况讨论：
① 若腰长为2，底边长为4，此时三边长为2，2，4，
$\because 2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，
$\therefore$ 该情况不能构成三角形，舍去；
② 若腰长为4，底边长为2，此时三边长为4，4，2，
$\because 2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，
$\therefore$ 三角形周长为$4+4+2=10$。
综上，此三角形周长为10，选C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解方程、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题为易错题，解题时需要先求出方程的根，再结合等腰三角形的性质分类讨论，尤其要注意必须用三角形三边关系验证每种情况是否成立，不能盲目计算两种情况的周长导致错选。
【难度系数】
0.6
10.若$b＜0$,则关于$x$的一元二次方程$(x-1)^2=b$的根的情况是 （）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.有两个实数根
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.有两个实数根
答案
C
解析
【分析】
要判断该一元二次方程的根的情况，可结合平方的性质分析：首先回忆，任意实数的平方都是非负数，因此方程左侧$(x-1)^2$的取值一定大于等于0；再结合题干给出的$b＜0$的条件，判断等号两侧的取值是否可能相等，进而确定根的情况。
【解析】
解：根据平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$(x-1)^2 ≥ 0$。
已知$b＜0$，因此方程$(x-1)^2 = b$的左边为非负数，右边为负数，不存在实数$x$能使等式成立，故该方程没有实数根。
【答案】
C
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的适用条件，解题关键是明确只有非负数才有平方根，只要掌握平方的非负性即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断该一元二次方程的根的情况，可结合平方的性质分析：首先回忆，任意实数的平方都是非负数，因此方程左侧$(x-1)^2$的取值一定大于等于0；再结合题干给出的$b＜0$的条件，判断等号两侧的取值是否可能相等，进而确定根的情况。
【解析】
解：根据平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$(x-1)^2 ≥ 0$。
已知$b＜0$，因此方程$(x-1)^2 = b$的左边为非负数，右边为负数，不存在实数$x$能使等式成立，故该方程没有实数根。
【答案】
C
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的适用条件，解题关键是明确只有非负数才有平方根，只要掌握平方的非负性即可快速作答。
【难度系数】
0.8
11. 已知一元二次方程$(x-2)^2=3$的两根为$a,b$，且$a＞b$，则$2a+b$的值为。
答案
$\boldsymbol{6+\sqrt{3}}$
解析
【分析】
本题可先通过直接开平方法求解一元二次方程得到两个根，再根据$a＞b$的条件确定$a$、$b$对应的取值，最后将$a$、$b$代入代数式$2a+b$计算即可得到结果。解题时要注意开平方后正负号的处理，以及根的大小比较要准确。
【解析】
第一步：解一元二次方程$(x-2)^2=3$
对等式两边直接开平方，可得：
$x-2=\pm\sqrt{3}$
移项得两个根：
$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$
第二步：确定$a$、$b$的值
已知方程的两根为$a$、$b$，且$a＞b$，因为$2+\sqrt{3}＞2-\sqrt{3}$，所以：
$a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$
第三步：计算$2a+b$的值
将$a$、$b$代入代数式：
$2a+b=2×(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})$
$=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}$
$=6+\sqrt{3}$
【答案】
$\boldsymbol{6+\sqrt{3}}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查形如$(x+m)^2=n(n≥0)$的一元二次方程的解法，解题时只要熟练掌握直接开平方法的运算规则，准确区分两根的大小，代入计算时注意运算顺序即可得分。
【难度系数】
0.85
本题可先通过直接开平方法求解一元二次方程得到两个根，再根据$a＞b$的条件确定$a$、$b$对应的取值，最后将$a$、$b$代入代数式$2a+b$计算即可得到结果。解题时要注意开平方后正负号的处理，以及根的大小比较要准确。
【解析】
第一步：解一元二次方程$(x-2)^2=3$
对等式两边直接开平方，可得：
$x-2=\pm\sqrt{3}$
移项得两个根：
$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$
第二步：确定$a$、$b$的值
已知方程的两根为$a$、$b$，且$a＞b$，因为$2+\sqrt{3}＞2-\sqrt{3}$，所以：
$a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$
第三步：计算$2a+b$的值
将$a$、$b$代入代数式：
$2a+b=2×(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})$
$=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}$
$=6+\sqrt{3}$
【答案】
$\boldsymbol{6+\sqrt{3}}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查形如$(x+m)^2=n(n≥0)$的一元二次方程的解法，解题时只要熟练掌握直接开平方法的运算规则，准确区分两根的大小，代入计算时注意运算顺序即可得分。
【难度系数】
0.85
12.解下列方程：
(1)$5(x-3)^2 -125=0$；
(2)$(x-1)(x+1)=1$；
(3)$x^2 -10x +25=6$；
(4)$4x^2 -4x +1=5$。
(1)$5(x-3)^2 -125=0$；
(2)$(x-1)(x+1)=1$；
(3)$x^2 -10x +25=6$；
(4)$4x^2 -4x +1=5$。
答案
解：
(1) 移项，得 $5(x-3)^2=125$，
两边同时除以5，得 $(x-3)^2=25$，
直接开平方，得 $x-3=\pm5$，
即 $x-3=5$ 或 $x-3=-5$，
解得 $x_1=8$，$x_2=-2$。
(2) 原方程整理，得 $x^2-1=1$，
移项，得 $x^2=2$，
直接开平方，得 $x=\pm\sqrt{2}$，
解得 $x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
(3) 原方程变形，得 $(x-5)^2=6$，
直接开平方，得 $x-5=\pm\sqrt{6}$，
即 $x-5=\sqrt{6}$ 或 $x-5=-\sqrt{6}$，
解得 $x_1=5+\sqrt{6}$，$x_2=5-\sqrt{6}$。
(4) 原方程变形，得 $(2x-1)^2=5$，
直接开平方，得 $2x-1=\pm\sqrt{5}$，
移项得 $2x=1\pm\sqrt{5}$，
两边同时除以2，解得 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
(1) 移项，得 $5(x-3)^2=125$，
两边同时除以5，得 $(x-3)^2=25$，
直接开平方，得 $x-3=\pm5$，
即 $x-3=5$ 或 $x-3=-5$，
解得 $x_1=8$，$x_2=-2$。
(2) 原方程整理，得 $x^2-1=1$，
移项，得 $x^2=2$，
直接开平方，得 $x=\pm\sqrt{2}$，
解得 $x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
(3) 原方程变形，得 $(x-5)^2=6$，
直接开平方，得 $x-5=\pm\sqrt{6}$，
即 $x-5=\sqrt{6}$ 或 $x-5=-\sqrt{6}$，
解得 $x_1=5+\sqrt{6}$，$x_2=5-\sqrt{6}$。
(4) 原方程变形，得 $(2x-1)^2=5$，
直接开平方，得 $2x-1=\pm\sqrt{5}$，
移项得 $2x=1\pm\sqrt{5}$，
两边同时除以2，解得 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
这4道题都适合用直接开平方法求解一元二次方程，解题核心是先将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再两边开平方转化为两个一元一次方程求解。具体思路：(1)先移项，再把$(x-3)^2$的系数化为1，即可得到标准的可直接开平方的形式；(2)先用平方差公式展开左边，整理后得到$x^2$等于常数的形式，直接开平方；(3)左边是完全平方公式的展开式，先逆用完全平方公式把左边写成$(x-5)^2$，再开平方；(4)左边同样是完全平方公式的展开式，逆用公式写成$(2x-1)^2$，再开平方求解即可。
【解析】
(1) 移项，得 $5(x-3)^2=125$，
两边同时除以5，得 $(x-3)^2=25$，
直接开平方，得 $x-3=\pm5$，
即 $x-3=5$ 或 $x-3=-5$，
解得 $x_1=8$，$x_2=-2$。
(2) 原方程整理，得 $x^2-1=1$，
移项，得 $x^2=2$，
直接开平方，得 $x=\pm\sqrt{2}$，
解得 $x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
(3) 原方程变形，得 $(x-5)^2=6$，
直接开平方，得 $x-5=\pm\sqrt{6}$，
即 $x-5=\sqrt{6}$ 或 $x-5=-\sqrt{6}$，
解得 $x_1=5+\sqrt{6}$，$x_2=5-\sqrt{6}$。
(4) 原方程变形，得 $(2x-1)^2=5$，
直接开平方，得 $2x-1=\pm\sqrt{5}$，
移项得 $2x=1\pm\sqrt{5}$，
两边同时除以2，解得 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=8,x_2=-2$；(2)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$；(3)$x_1=5+\sqrt{6},x_2=5-\sqrt{6}$；(4)$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题关键是通过移项、公式变形将原方程转化为可直接开平方的形式，熟练掌握整式运算公式能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
这4道题都适合用直接开平方法求解一元二次方程，解题核心是先将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再两边开平方转化为两个一元一次方程求解。具体思路：(1)先移项，再把$(x-3)^2$的系数化为1，即可得到标准的可直接开平方的形式；(2)先用平方差公式展开左边，整理后得到$x^2$等于常数的形式，直接开平方；(3)左边是完全平方公式的展开式，先逆用完全平方公式把左边写成$(x-5)^2$，再开平方；(4)左边同样是完全平方公式的展开式，逆用公式写成$(2x-1)^2$，再开平方求解即可。
【解析】
(1) 移项，得 $5(x-3)^2=125$，
两边同时除以5，得 $(x-3)^2=25$，
直接开平方，得 $x-3=\pm5$，
即 $x-3=5$ 或 $x-3=-5$，
解得 $x_1=8$，$x_2=-2$。
(2) 原方程整理，得 $x^2-1=1$，
移项，得 $x^2=2$，
直接开平方，得 $x=\pm\sqrt{2}$，
解得 $x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
(3) 原方程变形，得 $(x-5)^2=6$，
直接开平方，得 $x-5=\pm\sqrt{6}$，
即 $x-5=\sqrt{6}$ 或 $x-5=-\sqrt{6}$，
解得 $x_1=5+\sqrt{6}$，$x_2=5-\sqrt{6}$。
(4) 原方程变形，得 $(2x-1)^2=5$，
直接开平方，得 $2x-1=\pm\sqrt{5}$，
移项得 $2x=1\pm\sqrt{5}$，
两边同时除以2，解得 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=8,x_2=-2$；(2)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$；(3)$x_1=5+\sqrt{6},x_2=5-\sqrt{6}$；(4)$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题关键是通过移项、公式变形将原方程转化为可直接开平方的形式，熟练掌握整式运算公式能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
