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13.若一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两根分别为$m+1$与$2m-4$.
(1)求$m$的值；
(2)求$\frac{b}{a}$的值.
(1)求$m$的值；
(2)求$\frac{b}{a}$的值.
答案
解：
(1) 由一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$变形得$x^2=\frac{b}{a}$，
直接开平方可知该方程的两根互为相反数，因此两根之和为0：
$(m+1)+(2m-4)=0$
整理得$3m-3=0$，
解得$m=1$。
(2) 将$m=1$代入两根的表达式：
$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$，
即方程的两根为$2$和$-2$，
因此$\frac{b}{a}=x^2=2^2=4$。
综上，(1) $m$的值为$1$；(2) $\frac{b}{a}$的值为$4$。
(1) 由一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$变形得$x^2=\frac{b}{a}$，
直接开平方可知该方程的两根互为相反数，因此两根之和为0：
$(m+1)+(2m-4)=0$
整理得$3m-3=0$，
解得$m=1$。
(2) 将$m=1$代入两根的表达式：
$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$，
即方程的两根为$2$和$-2$，
因此$\frac{b}{a}=x^2=2^2=4$。
综上，(1) $m$的值为$1$；(2) $\frac{b}{a}$的值为$4$。
解析
【分析】
解题时先从给定的一元二次方程形式入手，将方程变形为$x^2=\frac{b}{a}$，根据直接开平方解方程的规则，可知该方程的两个根互为相反数，而互为相反数的两个数和为0，因此可以通过两根相加等于0列出关于m的一元一次方程，求解得到m的值；求得m后，代入两根的表达式得到方程的具体根，再结合$x^2=\frac{b}{a}$，代入根的值即可求出$\frac{b}{a}$的数值。
【解析】
(1) 对一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$变形可得$x^2=\frac{b}{a}$，由直接开平方法解方程的性质可知，该方程的两根互为相反数，因此两根之和为0，可得：
$(m+1)+(2m-4)=0$
整理得$3m-3=0$
解得$m=1$
(2) 将$m=1$代入两根的表达式：
$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$
即方程的两根为2和-2，结合$x^2=\frac{b}{a}$，代入$x=2$可得：
$\frac{b}{a}=2^2=4$
【答案】
(1) $m=1$；(2) $\frac{b}{a}=4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、相反数的性质
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查直接开平方法解一元二次方程的特征，解题的突破口是明确形如$x^2=p(p＞0)$的方程的两根互为相反数，整体计算量小，掌握对应解方程的方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先从给定的一元二次方程形式入手，将方程变形为$x^2=\frac{b}{a}$，根据直接开平方解方程的规则，可知该方程的两个根互为相反数，而互为相反数的两个数和为0，因此可以通过两根相加等于0列出关于m的一元一次方程，求解得到m的值；求得m后，代入两根的表达式得到方程的具体根，再结合$x^2=\frac{b}{a}$，代入根的值即可求出$\frac{b}{a}$的数值。
【解析】
(1) 对一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$变形可得$x^2=\frac{b}{a}$，由直接开平方法解方程的性质可知，该方程的两根互为相反数，因此两根之和为0，可得：
$(m+1)+(2m-4)=0$
整理得$3m-3=0$
解得$m=1$
(2) 将$m=1$代入两根的表达式：
$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$
即方程的两根为2和-2，结合$x^2=\frac{b}{a}$，代入$x=2$可得：
$\frac{b}{a}=2^2=4$
【答案】
(1) $m=1$；(2) $\frac{b}{a}=4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、相反数的性质
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查直接开平方法解一元二次方程的特征，解题的突破口是明确形如$x^2=p(p＞0)$的方程的两根互为相反数，整体计算量小，掌握对应解方程的方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
14.对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1.若min{(x-1)²,x²}=1,则x的值为.
答案
解：
分两种情况讨论：
1. 当$(x-1)^2 ＜ x^2$时，
化简得$x^2 - 2x +1 ＜ x^2$，解得$x ＞ \frac{1}{2}$。
此时$\min\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=1$，
直接开平方得$x-1=\pm1$，
解得$x_1=2$，$x_2=0$。
结合$x＞\frac{1}{2}$，舍去$x=0$，得$x=2$。
2. 当$x^2 ≤ (x-1)^2$时，
化简得$x^2 ≤ x^2 - 2x +1$，解得$x ≤ \frac{1}{2}$。
此时$\min\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=1$，
直接开平方得$x=\pm1$。
结合$x≤\frac{1}{2}$，舍去$x=1$，得$x=-1$。
综上，$x$的值为$2$或$-1$。
分两种情况讨论：
1. 当$(x-1)^2 ＜ x^2$时，
化简得$x^2 - 2x +1 ＜ x^2$，解得$x ＞ \frac{1}{2}$。
此时$\min\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=1$，
直接开平方得$x-1=\pm1$，
解得$x_1=2$，$x_2=0$。
结合$x＞\frac{1}{2}$，舍去$x=0$，得$x=2$。
2. 当$x^2 ≤ (x-1)^2$时，
化简得$x^2 ≤ x^2 - 2x +1$，解得$x ≤ \frac{1}{2}$。
此时$\min\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=1$，
直接开平方得$x=\pm1$。
结合$x≤\frac{1}{2}$，舍去$x=1$，得$x=-1$。
综上，$x$的值为$2$或$-1$。
解析
【分析】
这是一道结合新定义的一元二次方程求解问题，解题思路可分为三步：①先明确min{p,q}的含义是取p、q中较小的数，因此需要先比较$(x-1)^2$和$x^2$的大小，分两种情况讨论；②对每种情况，令较小的代数式等于1，解对应的一元二次方程；③将解出的x值代入当前情况的x取值范围验证，舍去不符合范围的解，最终汇总得到正确结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$(x-1)^2 ＜ x^2$时，
化简不等式：$x^2 - 2x +1 ＜ x^2$，移项合并同类项得$-2x +1 ＜ 0$，解得$x ＞ \frac{1}{2}$。
此时$\min\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=1$，
直接开平方得$x-1=\pm1$，
解得$x_1=2$，$x_2=0$。
结合$x＞\frac{1}{2}$的范围，舍去不符合的$x=0$，得$x=2$。
2. 当$x^2 ≤ (x-1)^2$时，
化简不等式：$x^2 ≤ x^2 - 2x +1$，移项合并同类项得$2x ≤ 1$，解得$x ≤ \frac{1}{2}$。
此时$\min\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=1$，
直接开平方得$x=\pm1$。
结合$x≤\frac{1}{2}$的范围，舍去不符合的$x=1$，得$x=-1$。
综上，$x$的值为$2$或$-1$。
【答案】
2或-1
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解和应用，解题的核心是根据两个代数式的大小关系合理分类讨论，求解方程后要注意结合分类的前提范围检验解的有效性，避免出现多解错解的情况。
【难度系数】
0.6
这是一道结合新定义的一元二次方程求解问题，解题思路可分为三步：①先明确min{p,q}的含义是取p、q中较小的数，因此需要先比较$(x-1)^2$和$x^2$的大小，分两种情况讨论；②对每种情况，令较小的代数式等于1，解对应的一元二次方程；③将解出的x值代入当前情况的x取值范围验证，舍去不符合范围的解，最终汇总得到正确结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$(x-1)^2 ＜ x^2$时，
化简不等式：$x^2 - 2x +1 ＜ x^2$，移项合并同类项得$-2x +1 ＜ 0$，解得$x ＞ \frac{1}{2}$。
此时$\min\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=1$，
直接开平方得$x-1=\pm1$，
解得$x_1=2$，$x_2=0$。
结合$x＞\frac{1}{2}$的范围，舍去不符合的$x=0$，得$x=2$。
2. 当$x^2 ≤ (x-1)^2$时，
化简不等式：$x^2 ≤ x^2 - 2x +1$，移项合并同类项得$2x ≤ 1$，解得$x ≤ \frac{1}{2}$。
此时$\min\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=1$，
直接开平方得$x=\pm1$。
结合$x≤\frac{1}{2}$的范围，舍去不符合的$x=1$，得$x=-1$。
综上，$x$的值为$2$或$-1$。
【答案】
2或-1
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解和应用，解题的核心是根据两个代数式的大小关系合理分类讨论，求解方程后要注意结合分类的前提范围检验解的有效性，避免出现多解错解的情况。
【难度系数】
0.6
