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4.如图,已知直线$y=-x+2$与x轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线$y=kx+b(k≠0)$经过C(1,0),且把三角形AOB分成两部分.若三角形AOB被分成的两部分面积比为1:5,求k和b的值.
答案
解:由题可得$A(2,0),B(0,2)$，设直线$y=kx+b$与线段$OB$交于$M(0,h)$，如图。
由三角形AOB被分成的两部分的面积比为$1:5$，得$S_{\mathrm{三角形}OMC}=\dfrac{1}{6}S_{\mathrm{三角形}AOB}$，则$\dfrac{1}{2}×1× h=\dfrac{1}{6}×\dfrac{1}{2}×2×2$，$\therefore h=\dfrac{2}{3}$，$\therefore M(0,\dfrac{2}{3})$，经过点$M$作直线$MN// OA$交$AB$于$N(a,\dfrac{2}{3})$，则$S_{\mathrm{三角形}OMC}=S_{\mathrm{三角形}CAN}$。$\because N(a,\dfrac{2}{3})$在直线$y=-x+2$上，$\therefore a=\dfrac{4}{3}$，$\therefore N(\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3})$，$\therefore$ 直线$y=kx+b$经过$M(0,\dfrac{2}{3}),C(1,0)$或$N(\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3}),C(1,0)$，$\therefore \begin{cases}k_1=-\dfrac{2}{3},\\b_1=\dfrac{2}{3},\end{cases}$ 或 $\begin{cases}k_2=2,\\b_2=-2.\end{cases}$解析
【分析】
解题时首先求出直线$y=-x+2$与坐标轴交点A、B的坐标，计算$△ AOB$的总面积。根据面积比$1:5$可知较小部分面积是总面积的$\frac{1}{6}$，接下来分两种情况讨论：①直线$y=kx+b$与OB边相交，此时较小部分是$△ OMC$；②直线$y=kx+b$与AB边相交，此时较小部分是$△ CAN$。分别求出两种情况下直线与边的交点坐标，再用待定系数法代入交点和点C的坐标，即可求出k、b的值。
【解析】
解：对于直线$y=-x+2$，令$x=0$得$y=2$，令$y=0$得$x=2$，$\therefore A(2,0)$，$B(0,2)$，则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×2=2$。
$\because △ AOB$被分成的两部分面积比为$1:5$，$\therefore$较小部分的面积为$\frac{1}{1+5}×2=\frac{1}{3}$。
分两种情况讨论：
情况1：直线$y=kx+b$与线段OB交于$M(0,h)$，
此时较小部分为$△ OMC$，则$S_{△ OMC}=\frac{1}{2}× OC× h=\frac{1}{2}×1× h=\frac{1}{3}$，解得$h=\frac{2}{3}$，即$M(0,\frac{2}{3})$。
将$M(0,\frac{2}{3})$、$C(1,0)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}b=\frac{2}{3}\\k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-\frac{2}{3}\\b_1=\frac{2}{3}\end{cases}$。
情况2：直线$y=kx+b$与线段AB交于$N(a,\frac{2}{3})$，
$\because$点N在直线$y=-x+2$上，$\therefore \frac{2}{3}=-a+2$，解得$a=\frac{4}{3}$，即$N(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$。
将$N(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$、$C(1,0)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=0\\\frac{4}{3}k+b=\frac{2}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=2\\b_2=-2\end{cases}$。
【答案】
k和b的值为$\begin{cases}k=-\dfrac{2}{3},\\b=\dfrac{2}{3}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}k=2,\\b=-2\end{cases}$
【知识点】
一次函数交点问题，待定系数法求解析式，一次函数与面积计算
【点评】
本题需要结合分类讨论思想，考虑直线分割三角形的两种不同情况，避免漏解，同时要熟练运用一次函数性质和面积公式求解未知点坐标，再通过待定系数法求出函数参数，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
解题时首先求出直线$y=-x+2$与坐标轴交点A、B的坐标，计算$△ AOB$的总面积。根据面积比$1:5$可知较小部分面积是总面积的$\frac{1}{6}$，接下来分两种情况讨论：①直线$y=kx+b$与OB边相交，此时较小部分是$△ OMC$；②直线$y=kx+b$与AB边相交，此时较小部分是$△ CAN$。分别求出两种情况下直线与边的交点坐标，再用待定系数法代入交点和点C的坐标，即可求出k、b的值。
【解析】
解：对于直线$y=-x+2$，令$x=0$得$y=2$，令$y=0$得$x=2$，$\therefore A(2,0)$，$B(0,2)$，则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×2=2$。
$\because △ AOB$被分成的两部分面积比为$1:5$，$\therefore$较小部分的面积为$\frac{1}{1+5}×2=\frac{1}{3}$。
分两种情况讨论：
情况1：直线$y=kx+b$与线段OB交于$M(0,h)$，
此时较小部分为$△ OMC$，则$S_{△ OMC}=\frac{1}{2}× OC× h=\frac{1}{2}×1× h=\frac{1}{3}$，解得$h=\frac{2}{3}$，即$M(0,\frac{2}{3})$。
将$M(0,\frac{2}{3})$、$C(1,0)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}b=\frac{2}{3}\\k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-\frac{2}{3}\\b_1=\frac{2}{3}\end{cases}$。
情况2：直线$y=kx+b$与线段AB交于$N(a,\frac{2}{3})$，
$\because$点N在直线$y=-x+2$上，$\therefore \frac{2}{3}=-a+2$，解得$a=\frac{4}{3}$，即$N(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$。
将$N(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$、$C(1,0)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=0\\\frac{4}{3}k+b=\frac{2}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=2\\b_2=-2\end{cases}$。
【答案】
k和b的值为$\begin{cases}k=-\dfrac{2}{3},\\b=\dfrac{2}{3}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}k=2,\\b=-2\end{cases}$【知识点】
一次函数交点问题，待定系数法求解析式，一次函数与面积计算
【点评】
本题需要结合分类讨论思想，考虑直线分割三角形的两种不同情况，避免漏解，同时要熟练运用一次函数性质和面积公式求解未知点坐标，再通过待定系数法求出函数参数，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
5. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，直线$y=-2x+a$与$y$轴交于点$C(0,6)$，与$x$轴交于点$B$，点$A$的坐标为$(-3,0)$。
(1)求这条直线的表达式；
(2)点$M$是直线$y=-2x+a$上的一点(不与点$B$重合)，且点$M$的横坐标为$m$，连接$AM$，求三角形$ABM$的面积$S$与$m$之间的关系。
(1)求这条直线的表达式；
(2)点$M$是直线$y=-2x+a$上的一点(不与点$B$重合)，且点$M$的横坐标为$m$，连接$AM$，求三角形$ABM$的面积$S$与$m$之间的关系。
答案
(1)解:因为直线$y=-2x+a$与$y$轴交于点$C(0,6)$，所以$a=6$，所以该直线的表达式为$y=-2x+6$。
(2)由题意得$B(3,0)$，所以$AB=6$。因为点$M$在直线$y=-2x+6$上，所以设$M(m,-2m+6)$，则$S=\dfrac{1}{2}AB·|-2m+6|=\dfrac{1}{2}×6×|-2m+6|$。当$m＜3$时，$S=\dfrac{1}{2}×6×(-2m+6)$，即$S=-6m+18$；当$m＞3$时，$S=\dfrac{1}{2}×6×[-(-2m+6)]$，即$S=6m-18$。
(2)由题意得$B(3,0)$，所以$AB=6$。因为点$M$在直线$y=-2x+6$上，所以设$M(m,-2m+6)$，则$S=\dfrac{1}{2}AB·|-2m+6|=\dfrac{1}{2}×6×|-2m+6|$。当$m＜3$时，$S=\dfrac{1}{2}×6×(-2m+6)$，即$S=-6m+18$；当$m＞3$时，$S=\dfrac{1}{2}×6×[-(-2m+6)]$，即$S=6m-18$。
解析
【分析】
(1) 求直线表达式可使用待定系数法，已知直线$y=-2x+a$经过点$C(0,6)$，将点$C$坐标代入解析式就能求出参数$a$，进而得到完整的直线表达式。
(2) 求$△ ABM$的面积，首先确定底边$AB$的长度：先求直线与$x$轴交点$B$的坐标，结合$A$点坐标即可算出$AB$的长；由于$AB$在$x$轴上，$△ ABM$的高就是点$M$到$x$轴的距离，即$M$点纵坐标的绝对值。再根据$M$在直线上，用含$m$的式子表示$M$的纵坐标，代入面积公式后，分$M$在$x$轴上方（$m＜3$）和$x$轴下方（$m＞3$）两种情况去绝对值，就能得到$S$与$m$的关系式。
【解析】
(1) $\because$直线$y=-2x+a$与$y$轴交于点$C(0,6)$
$\therefore$将$x=0$，$y=6$代入解析式得：$6=-2×0+a$，解得$a=6$
$\therefore$这条直线的表达式为$y=-2x+6$
(2) 令$y=-2x+6$中$y=0$，得$0=-2x+6$，解得$x=3$，即点$B$坐标为$(3,0)$
$\because A(-3,0)$，$\therefore AB=3-(-3)=6$
$\because$点$M$在直线$y=-2x+6$上，横坐标为$m$，$\therefore M$点坐标为$(m, -2m+6)$
$△ ABM$的面积$S=\frac{1}{2}× AB× \vert -2m+6\vert=\frac{1}{2}×6×\vert-2m+6\vert$
分两种情况讨论：
①当$m＜3$时，$-2m+6＞0$，去掉绝对值得$S=\frac{1}{2}×6×(-2m+6)$，即$S=-6m+18$
②当$m＞3$时，$-2m+6＜0$，去掉绝对值得$S=\frac{1}{2}×6×(2m-6)$，即$S=6m-18$
【答案】
(1) $y=-2x+6$
(2) 当$m＜3$时，$S=-6m+18$；当$m＞3$时，$S=6m-18$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，第一问属于待定系数法的直接应用，难度较低；第二问的解题核心是明确以x轴上的线段为底时，三角形的高等于第三个点纵坐标的绝对值，同时需要结合点的位置分类讨论去绝对值，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线表达式可使用待定系数法，已知直线$y=-2x+a$经过点$C(0,6)$，将点$C$坐标代入解析式就能求出参数$a$，进而得到完整的直线表达式。
(2) 求$△ ABM$的面积，首先确定底边$AB$的长度：先求直线与$x$轴交点$B$的坐标，结合$A$点坐标即可算出$AB$的长；由于$AB$在$x$轴上，$△ ABM$的高就是点$M$到$x$轴的距离，即$M$点纵坐标的绝对值。再根据$M$在直线上，用含$m$的式子表示$M$的纵坐标，代入面积公式后，分$M$在$x$轴上方（$m＜3$）和$x$轴下方（$m＞3$）两种情况去绝对值，就能得到$S$与$m$的关系式。
【解析】
(1) $\because$直线$y=-2x+a$与$y$轴交于点$C(0,6)$
$\therefore$将$x=0$，$y=6$代入解析式得：$6=-2×0+a$，解得$a=6$
$\therefore$这条直线的表达式为$y=-2x+6$
(2) 令$y=-2x+6$中$y=0$，得$0=-2x+6$，解得$x=3$，即点$B$坐标为$(3,0)$
$\because A(-3,0)$，$\therefore AB=3-(-3)=6$
$\because$点$M$在直线$y=-2x+6$上，横坐标为$m$，$\therefore M$点坐标为$(m, -2m+6)$
$△ ABM$的面积$S=\frac{1}{2}× AB× \vert -2m+6\vert=\frac{1}{2}×6×\vert-2m+6\vert$
分两种情况讨论：
①当$m＜3$时，$-2m+6＞0$，去掉绝对值得$S=\frac{1}{2}×6×(-2m+6)$，即$S=-6m+18$
②当$m＞3$时，$-2m+6＜0$，去掉绝对值得$S=\frac{1}{2}×6×(2m-6)$，即$S=6m-18$
【答案】
(1) $y=-2x+6$
(2) 当$m＜3$时，$S=-6m+18$；当$m＞3$时，$S=6m-18$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，第一问属于待定系数法的直接应用，难度较低；第二问的解题核心是明确以x轴上的线段为底时，三角形的高等于第三个点纵坐标的绝对值，同时需要结合点的位置分类讨论去绝对值，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，直线 $ l: y = kx + 6 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别相交于点 $ E, F $，点 $ E $ 的坐标为 $ (-9, 0) $，点 $ A $ 的坐标为 $ (-6, 0) $，点 $ P(x, y) $ 是第二象限内的直线 $ l $ 上的一个动点。
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 当点 $ P $ 运动过程中，试写出三角形 $ OPA $ 的面积 $ S $ 与 $ x $ 的函数表达式并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(3) 探究：当三角形 $ OPA $ 的面积为 $ 3.6 $ 时，求 $ P $ 的坐标。
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 当点 $ P $ 运动过程中，试写出三角形 $ OPA $ 的面积 $ S $ 与 $ x $ 的函数表达式并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(3) 探究：当三角形 $ OPA $ 的面积为 $ 3.6 $ 时，求 $ P $ 的坐标。
答案
(1)解:$k=\dfrac{2}{3}$。
(2)由(1)得$y=\dfrac{2}{3}x+6$，过点$P$作$PH⊥ OA$于$H$，$\therefore$ 点$P(x,\dfrac{2}{3}x+6)$，$\therefore PH=\dfrac{2}{3}x+6$，$\therefore S_{\mathrm{三角形}OPA}=\dfrac{1}{2}OA· PH=\dfrac{1}{2}×6×(\dfrac{2}{3}x+6)=2x+18$，即$S=2x+18(-9＜x＜0)$。
(3)由题可得$S=2x+18=3.6$，解得$x=-7.2$。$\therefore y=\dfrac{2}{3}×(-7.2)+6=1.2$，$\therefore P(-7.2,1.2)$。
(2)由(1)得$y=\dfrac{2}{3}x+6$，过点$P$作$PH⊥ OA$于$H$，$\therefore$ 点$P(x,\dfrac{2}{3}x+6)$，$\therefore PH=\dfrac{2}{3}x+6$，$\therefore S_{\mathrm{三角形}OPA}=\dfrac{1}{2}OA· PH=\dfrac{1}{2}×6×(\dfrac{2}{3}x+6)=2x+18$，即$S=2x+18(-9＜x＜0)$。
(3)由题可得$S=2x+18=3.6$，解得$x=-7.2$。$\therefore y=\dfrac{2}{3}×(-7.2)+6=1.2$，$\therefore P(-7.2,1.2)$。
解析
【分析】
(1)求$k$的值：已知直线$l$的解析式为$y=kx+6$，点$E(-9,0)$在直线$l$上，函数图象上的点坐标满足函数解析式，将$E$点坐标代入解析式即可求解$k$。
(2)求$△ OPA$的面积$S$与$x$的函数关系式：$△ OPA$的底$OA$长度可由$A(-6,0)$直接得到为$6$，底边上的高为点$P$到$x$轴的距离，即$P$的纵坐标；由(1)得到直线解析式后，可将$P$的纵坐标用含$x$的式子表示，代入三角形面积公式即可得到$S$与$x$的关系式；再结合$P$在第二象限内直线$l$上的位置，确定$x$的取值范围。
(3)求面积为$3.6$时$P$的坐标：将$S=3.6$代入(2)得到的函数关系式，解出$x$的值，再将$x$代入直线$l$的解析式求出对应的$y$值，即可得到$P$点坐标。
【解析】
(1)将点$E(-9,0)$代入$y=kx+6$，得：
$0=-9k+6$
解得$k=\frac{2}{3}$。
(2)由(1)得直线$l$的解析式为$y=\frac{2}{3}x+6$，过点$P$作$PH⊥ OA$于$H$，则$PH$为$△ OPA$中$OA$边上的高。
$\because$点$P(x,y)$在直线$l$上，$\therefore P$的坐标为$(x,\frac{2}{3}x+6)$，
$\because P$在第二象限，$\therefore PH=\frac{2}{3}x+6＞0$，
又$\because A(-6,0)$，$\therefore OA=6$，
$\therefore S_{△ OPA}=\frac{1}{2}× OA× PH=\frac{1}{2}×6×(\frac{2}{3}x+6)=2x+18$，
$\because P$是第二象限内直线$l$上的动点，直线$l$与$x$轴交于$E(-9,0)$，与$y$轴交于$(0,6)$，
$\therefore$自变量$x$的取值范围为$-9＜x＜0$，
即$S=2x+18(-9＜x＜0)$。
(3)当$S=3.6$时，代入$S=2x+18$得：
$2x+18=3.6$
解得$x=-7.2$，
将$x=-7.2$代入$y=\frac{2}{3}x+6$，得：
$y=\frac{2}{3}×(-7.2)+6=1.2$，
$\therefore P$点坐标为$(-7.2,1.2)$。
【答案】
(1)$k=\frac{2}{3}$
(2)$S=2x+18(-9＜x＜0)$
(3)$P(-7.2,1.2)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与三角形面积计算，一次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的常规题型，解题核心是将动点的纵坐标转化为三角形的高，结合面积公式建立函数关系，解题时要注意结合动点的位置确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
(1)求$k$的值：已知直线$l$的解析式为$y=kx+6$，点$E(-9,0)$在直线$l$上，函数图象上的点坐标满足函数解析式，将$E$点坐标代入解析式即可求解$k$。
(2)求$△ OPA$的面积$S$与$x$的函数关系式：$△ OPA$的底$OA$长度可由$A(-6,0)$直接得到为$6$，底边上的高为点$P$到$x$轴的距离，即$P$的纵坐标；由(1)得到直线解析式后，可将$P$的纵坐标用含$x$的式子表示，代入三角形面积公式即可得到$S$与$x$的关系式；再结合$P$在第二象限内直线$l$上的位置，确定$x$的取值范围。
(3)求面积为$3.6$时$P$的坐标：将$S=3.6$代入(2)得到的函数关系式，解出$x$的值，再将$x$代入直线$l$的解析式求出对应的$y$值，即可得到$P$点坐标。
【解析】
(1)将点$E(-9,0)$代入$y=kx+6$，得：
$0=-9k+6$
解得$k=\frac{2}{3}$。
(2)由(1)得直线$l$的解析式为$y=\frac{2}{3}x+6$，过点$P$作$PH⊥ OA$于$H$，则$PH$为$△ OPA$中$OA$边上的高。
$\because$点$P(x,y)$在直线$l$上，$\therefore P$的坐标为$(x,\frac{2}{3}x+6)$，
$\because P$在第二象限，$\therefore PH=\frac{2}{3}x+6＞0$，
又$\because A(-6,0)$，$\therefore OA=6$，
$\therefore S_{△ OPA}=\frac{1}{2}× OA× PH=\frac{1}{2}×6×(\frac{2}{3}x+6)=2x+18$，
$\because P$是第二象限内直线$l$上的动点，直线$l$与$x$轴交于$E(-9,0)$，与$y$轴交于$(0,6)$，
$\therefore$自变量$x$的取值范围为$-9＜x＜0$，
即$S=2x+18(-9＜x＜0)$。
(3)当$S=3.6$时，代入$S=2x+18$得：
$2x+18=3.6$
解得$x=-7.2$，
将$x=-7.2$代入$y=\frac{2}{3}x+6$，得：
$y=\frac{2}{3}×(-7.2)+6=1.2$，
$\therefore P$点坐标为$(-7.2,1.2)$。
【答案】
(1)$k=\frac{2}{3}$
(2)$S=2x+18(-9＜x＜0)$
(3)$P(-7.2,1.2)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与三角形面积计算，一次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的常规题型，解题核心是将动点的纵坐标转化为三角形的高，结合面积公式建立函数关系，解题时要注意结合动点的位置确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
