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1.某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案.甲宾馆是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙宾馆是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费.如果你是这个部门的负责人，你认为选择哪家宾馆较实惠？
答案
解:设总人数是x,甲、乙宾馆的收费分别为$y_甲$元、$y_乙$元. 当$x≤ 35$时,选择两家宾馆是一样的. 当$35＜x≤ 45$时,选择甲宾馆较实惠. 当$x＞45$时,$y_甲=35× 120+0.9× 120× (x-35)$,即$y_甲=108x+420$,$y_乙=45× 120+0.8× 120× (x-45)=96x+1080$. 当$y_甲=y_乙$时,可得$x=55$;当$y_甲＞y_乙$时,可得$x＞55$;当$y_甲＜y_乙$时,可得$x＜55$. 综上可得,当$x≤ 35$或$x=55$时,选择两家宾馆是一样的;当$35＜x＜55$时,选择甲宾馆较实惠;当$x＞55$时,选择乙宾馆较实惠.
解析
【分析】
这是一道实际生活中的方案优选问题，解题时首先要明确甲、乙两家宾馆的收费规则随人数变化的分段情况，我们可以先设总人数为$x$，分别表示出不同人数区间下两家宾馆的收费金额，再按照两家优惠的门槛（35人、45人）划分讨论区间，通过分区间比较两者收费的大小关系，就能确定对应人数下更实惠的宾馆，讨论时注意不要遗漏不同区间的收费规则。
【解析】
解：设教师总人数为$x$，选择甲宾馆的收费为$y_甲$元，选择乙宾馆的收费为$y_乙$元。
1. 当$x ≤ 35$时，两家宾馆都按每人每天120元的标准收费，此时$y_甲=y_乙=120x$，选择两家宾馆费用相同。
2. 当$35 ＜ x ≤ 45$时，甲宾馆超出35人的部分按九折收费，总收费低于全部按标准收费的总额；乙宾馆人数未达到45人的优惠门槛，全部按标准收费，因此此时甲宾馆收费更低，选择甲宾馆更实惠。
3. 当$x ＞ 45$时，分别化简两家的收费表达式：
甲宾馆收费：$y_甲 = 35×120 + 0.9×120×(x-35)$，化简得$y_甲=108x + 420$
乙宾馆收费：$y_乙 = 45×120 + 0.8×120×(x-45)$，化简得$y_乙=96x + 1080$
令$y_甲=y_乙$，即$108x+420=96x+1080$，解得$x=55$，此时两家收费相同；
令$y_甲＞y_乙$，即$108x+420＞96x+1080$，解得$x＞55$，此时乙宾馆更实惠；
令$y_甲＜y_乙$，即$108x+420＜96x+1080$，解得$x＜55$，结合区间条件此时$45＜x＜55$，甲宾馆更实惠。
综上整理所有情况即可得出最终结论。
【答案】
当总人数不超过35人或总人数为55人时，选择两家宾馆费用相同；当总人数大于35人且小于55人时，选择甲宾馆较实惠；当总人数大于55人时，选择乙宾馆较实惠。
【知识点】
一次函数实际应用，分类讨论思想，一元一次方程与不等式应用
【点评】
本题属于生活中常见的优惠方案选择问题，核心是根据不同的优惠分段规则分类讨论，通过建立收费表达式，借助方程和不等式比较大小确定最优方案，解题时要注意不要遗漏不同人数区间对应的收费标准，能够锻炼逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道实际生活中的方案优选问题，解题时首先要明确甲、乙两家宾馆的收费规则随人数变化的分段情况，我们可以先设总人数为$x$，分别表示出不同人数区间下两家宾馆的收费金额，再按照两家优惠的门槛（35人、45人）划分讨论区间，通过分区间比较两者收费的大小关系，就能确定对应人数下更实惠的宾馆，讨论时注意不要遗漏不同区间的收费规则。
【解析】
解：设教师总人数为$x$，选择甲宾馆的收费为$y_甲$元，选择乙宾馆的收费为$y_乙$元。
1. 当$x ≤ 35$时，两家宾馆都按每人每天120元的标准收费，此时$y_甲=y_乙=120x$，选择两家宾馆费用相同。
2. 当$35 ＜ x ≤ 45$时，甲宾馆超出35人的部分按九折收费，总收费低于全部按标准收费的总额；乙宾馆人数未达到45人的优惠门槛，全部按标准收费，因此此时甲宾馆收费更低，选择甲宾馆更实惠。
3. 当$x ＞ 45$时，分别化简两家的收费表达式：
甲宾馆收费：$y_甲 = 35×120 + 0.9×120×(x-35)$，化简得$y_甲=108x + 420$
乙宾馆收费：$y_乙 = 45×120 + 0.8×120×(x-45)$，化简得$y_乙=96x + 1080$
令$y_甲=y_乙$，即$108x+420=96x+1080$，解得$x=55$，此时两家收费相同；
令$y_甲＞y_乙$，即$108x+420＞96x+1080$，解得$x＞55$，此时乙宾馆更实惠；
令$y_甲＜y_乙$，即$108x+420＜96x+1080$，解得$x＜55$，结合区间条件此时$45＜x＜55$，甲宾馆更实惠。
综上整理所有情况即可得出最终结论。
【答案】
当总人数不超过35人或总人数为55人时，选择两家宾馆费用相同；当总人数大于35人且小于55人时，选择甲宾馆较实惠；当总人数大于55人时，选择乙宾馆较实惠。
【知识点】
一次函数实际应用，分类讨论思想，一元一次方程与不等式应用
【点评】
本题属于生活中常见的优惠方案选择问题，核心是根据不同的优惠分段规则分类讨论，通过建立收费表达式，借助方程和不等式比较大小确定最优方案，解题时要注意不要遗漏不同人数区间对应的收费标准，能够锻炼逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
2. 坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某中学为丰富学生的第二课堂，准备购买一批每副售价60元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球。购买时，发现商场正在进行两种优惠促销活动。
活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；
活动乙：按购买金额打9折付款。
学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球$ x(x≥10) $筒。
(1) 写出每种优惠办法实际付款金额$ y_甲 $（元），$ y_乙 $（元）与$ x $（筒）之间的函数表达式。
(2) 比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？
(3) 如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案。
活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；
活动乙：按购买金额打9折付款。
学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球$ x(x≥10) $筒。
(1) 写出每种优惠办法实际付款金额$ y_甲 $（元），$ y_乙 $（元）与$ x $（筒）之间的函数表达式。
(2) 比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？
(3) 如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案。
答案
(1) 解:由题意可知,$y_甲=60× 10+10(x-10)=10x+500$,$y_乙=(60× 10+10x)× \frac{9}{10}=9x+540$,即$y_甲=10x+500$,$y_乙=9x+540$;
(2)分三种情况讨论:当$y_甲＜y_乙$时,$10x+500＜9x+540$,解得:$x＜40$;当$y_甲=y_乙$时,$10x+500=9x+540$,解得:$x=40$;当$y_甲＞y_乙$时,$10x+500＞9x+540$,解得:$x＞40$;$\because x≥ 10$,$\therefore$当$10≤ x＜40$时,按活动甲付款更省钱;当$x=40$时,两种活动付款一样;当$x＞40$时,按活动乙付款更省钱;
(3)由题意可知,购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒,即$x=60$,$\therefore$甲活动方案:$y_甲=10× 60+500=1100$(元);乙活动方案:$y_乙=9× 60+540=1080$(元);两种活动方案买:$10× 60+10× (60-10)× \frac{9}{10}=1050$(元),$\therefore$同时用两种优惠办法购买最省钱,即按甲活动方案购买10副羽毛球拍,其余按乙活动方案购买.
(2)分三种情况讨论:当$y_甲＜y_乙$时,$10x+500＜9x+540$,解得:$x＜40$;当$y_甲=y_乙$时,$10x+500=9x+540$,解得:$x=40$;当$y_甲＞y_乙$时,$10x+500＞9x+540$,解得:$x＞40$;$\because x≥ 10$,$\therefore$当$10≤ x＜40$时,按活动甲付款更省钱;当$x=40$时,两种活动付款一样;当$x＞40$时,按活动乙付款更省钱;
(3)由题意可知,购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒,即$x=60$,$\therefore$甲活动方案:$y_甲=10× 60+500=1100$(元);乙活动方案:$y_乙=9× 60+540=1080$(元);两种活动方案买:$10× 60+10× (60-10)× \frac{9}{10}=1050$(元),$\therefore$同时用两种优惠办法购买最省钱,即按甲活动方案购买10副羽毛球拍,其余按乙活动方案购买.
解析
【分析】
这是一道结合生活促销场景的一次函数应用类题目，解题思路如下：
(1) 写函数表达式时，分别对应两个活动的优惠规则计算总付款：活动甲买10副球拍送10筒羽毛球，因此只需为超出10筒的部分羽毛球付费，加上10副球拍的费用即可得到$y_甲$；活动乙是所有消费打9折，先算购买球拍和羽毛球的总原价，再乘0.9即可得到$y_乙$。
(2) 比较哪种优惠省钱，就是比较两个一次函数值的大小，分$y_甲＜y_乙$、$y_甲=y_乙$、$y_甲＞y_乙$三种情况列不等式或方程求解，结合$x≥10$的取值范围得出对应结论。
(3) 当$x=60$时，除了单独使用甲、乙活动的情况，还要考虑混合使用两种活动的方案：先用活动甲买10副球拍（赠送10筒球），剩余需要的羽毛球按活动乙打折购买，计算三种方案的费用后对比选出最省钱的即可。
【解析】
(1) 根据活动规则列式：
活动甲：买10副羽毛球拍花费$60×10$元，赠送10筒羽毛球，还需购买$(x-10)$筒羽毛球，花费$10(x-10)$元，因此
$y_甲=60×10 + 10(x-10)=10x + 500（x≥10）$
活动乙：购买10副球拍和x筒球的总原价为$(60×10 + 10x)$元，打9折后：
$y_乙=(60×10 + 10x)×0.9=9x + 540（x≥10）$
(2) 分三种情况讨论：
① 当$y_甲 ＜ y_乙$时，$10x + 500 ＜ 9x + 540$，解得$x ＜ 40$，结合$x≥10$，即当$10≤x＜40$时，选活动甲更省钱；
② 当$y_甲 = y_乙$时，$10x + 500 = 9x + 540$，解得$x=40$，即当$x=40$时，两种活动付款金额相同；
③ 当$y_甲 ＞ y_乙$时，$10x + 500 ＞ 9x + 540$，解得$x ＞ 40$，即当$x＞40$时，选活动乙更省钱。
(3) 当购买羽毛球60筒，即$x=60$时，分别计算三种方案的费用：
方案1：仅用活动甲：$y_甲=10×60 + 500=1100$元；
方案2：仅用活动乙：$y_乙=9×60 + 540=1080$元；
方案3：混合使用两种活动：先用活动甲购买10副羽毛球拍，获赠10筒羽毛球，剩余$60-10=50$筒羽毛球按活动乙购买，总费用为：
$60×10 + 10×50×0.9=600 + 450=1050$元；
对比得$1050＜1080＜1100$，因此混合方案最省钱。
【答案】
(1) $y_甲=10x+500(x≥10)$，$y_乙=9x+540(x≥10)$；
(2) 当$10≤x＜40$时选活动甲更省钱，当$x=40$时两种活动付款相同，当$x＞40$时选活动乙更省钱；
(3) 最省钱方案：按活动甲购买10副羽毛球拍（获赠10筒羽毛球），剩余50筒羽毛球按活动乙购买。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，最优方案选择
【点评】
本题结合实际生活中的促销场景，考查了函数建模思想、分类讨论思想的应用，解题时要准确理解优惠规则列对函数表达式，比较优惠时要做到分类不重不漏，设计方案时不要遗漏两种活动结合的情况，才能选出最省钱的方案。
【难度系数】
0.6
这是一道结合生活促销场景的一次函数应用类题目，解题思路如下：
(1) 写函数表达式时，分别对应两个活动的优惠规则计算总付款：活动甲买10副球拍送10筒羽毛球，因此只需为超出10筒的部分羽毛球付费，加上10副球拍的费用即可得到$y_甲$；活动乙是所有消费打9折，先算购买球拍和羽毛球的总原价，再乘0.9即可得到$y_乙$。
(2) 比较哪种优惠省钱，就是比较两个一次函数值的大小，分$y_甲＜y_乙$、$y_甲=y_乙$、$y_甲＞y_乙$三种情况列不等式或方程求解，结合$x≥10$的取值范围得出对应结论。
(3) 当$x=60$时，除了单独使用甲、乙活动的情况，还要考虑混合使用两种活动的方案：先用活动甲买10副球拍（赠送10筒球），剩余需要的羽毛球按活动乙打折购买，计算三种方案的费用后对比选出最省钱的即可。
【解析】
(1) 根据活动规则列式：
活动甲：买10副羽毛球拍花费$60×10$元，赠送10筒羽毛球，还需购买$(x-10)$筒羽毛球，花费$10(x-10)$元，因此
$y_甲=60×10 + 10(x-10)=10x + 500（x≥10）$
活动乙：购买10副球拍和x筒球的总原价为$(60×10 + 10x)$元，打9折后：
$y_乙=(60×10 + 10x)×0.9=9x + 540（x≥10）$
(2) 分三种情况讨论：
① 当$y_甲 ＜ y_乙$时，$10x + 500 ＜ 9x + 540$，解得$x ＜ 40$，结合$x≥10$，即当$10≤x＜40$时，选活动甲更省钱；
② 当$y_甲 = y_乙$时，$10x + 500 = 9x + 540$，解得$x=40$，即当$x=40$时，两种活动付款金额相同；
③ 当$y_甲 ＞ y_乙$时，$10x + 500 ＞ 9x + 540$，解得$x ＞ 40$，即当$x＞40$时，选活动乙更省钱。
(3) 当购买羽毛球60筒，即$x=60$时，分别计算三种方案的费用：
方案1：仅用活动甲：$y_甲=10×60 + 500=1100$元；
方案2：仅用活动乙：$y_乙=9×60 + 540=1080$元；
方案3：混合使用两种活动：先用活动甲购买10副羽毛球拍，获赠10筒羽毛球，剩余$60-10=50$筒羽毛球按活动乙购买，总费用为：
$60×10 + 10×50×0.9=600 + 450=1050$元；
对比得$1050＜1080＜1100$，因此混合方案最省钱。
【答案】
(1) $y_甲=10x+500(x≥10)$，$y_乙=9x+540(x≥10)$；
(2) 当$10≤x＜40$时选活动甲更省钱，当$x=40$时两种活动付款相同，当$x＞40$时选活动乙更省钱；
(3) 最省钱方案：按活动甲购买10副羽毛球拍（获赠10筒羽毛球），剩余50筒羽毛球按活动乙购买。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，最优方案选择
【点评】
本题结合实际生活中的促销场景，考查了函数建模思想、分类讨论思想的应用，解题时要准确理解优惠规则列对函数表达式，比较优惠时要做到分类不重不漏，设计方案时不要遗漏两种活动结合的情况，才能选出最省钱的方案。
【难度系数】
0.6
