1. 如图，已知一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-2,-1),B(1,3)$两点，并且交$x$轴于点$C$，交$y$轴于点$D$。
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求三角形$AOB$的面积。

(1)解:根据题意得：$\begin{cases}-2k+b=-1,\\k+b=3,\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=\dfrac{4}{3},\\b=\dfrac{5}{3},\end{cases}$ $\therefore y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$；
(2) 当 $x=0$ 时，$y=\dfrac{5}{3}$，$\therefore D(0,\dfrac{5}{3})$，$\therefore OD=\dfrac{5}{3}$，$\because A(-2,-1),B(1,3)$，$\therefore S_{\mathrm{三角形}AOB}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{3}×2+\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{3}×1=\dfrac{5}{2}$。

【分析】
(1)求一次函数表达式可采用待定系数法，已知函数图象经过A、B两个点，将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，即可得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值就能确定函数表达式。
(2)三角形AOB没有边在坐标轴上，直接计算面积较麻烦，可采用割补法：利用一次函数与y轴的交点D，将三角形AOB拆分为$△ AOD$和$△ BOD$两部分，两个三角形均以OD为底，高分别是点A、点B到y轴的水平距离，分别计算两个三角形面积再相加，即可得到$△ AOB$的面积。
【解析】
(1) 将$A(-2,-1)$、$B(1,3)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}-2k+b=-1\\k+b=3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去b，得$3k=4$，解得$k=\dfrac{4}{3}$，
将$k=\dfrac{4}{3}$代入$k+b=3$，得$\dfrac{4}{3}+b=3$，解得$b=\dfrac{5}{3}$，
∴该一次函数的表达式为$y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$。
(2) 求函数与y轴交点D的坐标：令$x=0$，代入表达式得$y=\dfrac{5}{3}$，即$D(0,\dfrac{5}{3})$，
∴$OD=\dfrac{5}{3}$。
点A到y轴的距离为$|-2|=2$，点B到y轴的距离为$|1|=1$，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}+S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{3}×2+\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{3}×1=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$；(2) $\dfrac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象性质，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础题型，第一问考查待定系数法的常规应用，第二问的核心是灵活运用割补法将不规则三角形面积转化为易计算的图形面积之和，掌握该方法能大幅简化这类面积计算问题。
【难度系数】
0.7

2.如图，直线$ l_1: y=-x+b $与直线$ l_2: y=kx+1 $相交于点$ A(1,3) $，直线$ l_1 $交$ x $轴于点$ B $，交$ y $轴于点$ E $，直线$ l_2 $交$ x $轴于点$ C $，交$ y $轴于点$ D $。
(1)求直线$ l_1,l_2 $的解析式；
(2)求三角形$ ABC $的面积；
(3)求四边形$ ABOD $的面积。

(1)解:$\because$ 直线$l_1:y=-x+b$经过点$A(1,3)$，$\therefore 3=-1+b$，$\therefore b=4$。$\therefore$ 直线$l_1$的解析式为$y=-x+4$。$\because$ 直线$l_2:y=kx+1$经过点$A(1,3)$，$\therefore 3=k+1$。$\therefore k=2$。$\therefore$ 直线$l_2$的解析式为$y=2x+1$。
(2)在$y=-x+4$中，令$y=0$，得$x=4$；在$y=2x+1$中，令$y=0$，得$x=-\dfrac{1}{2}$，$\therefore B(4,0)$，$C(-\dfrac{1}{2},0)$，$\therefore BC=4-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{2}$。$\therefore S_{\mathrm{三角形}ABC}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}×3=\dfrac{27}{4}$。
(3)在$y=2x+1$中，令$x=0$，得$y=1$。$\therefore D(0,1)$，$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABOD}=S_{\mathrm{三角形}ABC}-S_{\mathrm{三角形}COD}=\dfrac{27}{4}-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×1=\dfrac{13}{2}$。

【分析】
(1) 求一次函数解析式可使用待定系数法，已知两条直线均过点A(1,3)，将A点坐标分别代入两个直线的表达式，即可求出未知参数b和k，得到两条直线的解析式。
(2) 计算△ABC的面积，需先确定B、C两点的坐标：B是l₁与x轴的交点，C是l₂与x轴的交点，令两个解析式中y=0即可求出对应x值，得到B、C坐标后可算出BC的长度；△ABC中BC边上的高为点A到x轴的距离，即A点的纵坐标3，代入三角形面积公式即可求解。
(3) 四边形ABOD是不规则图形，可采用割补法计算面积：先求出l₂与y轴交点D的坐标（令l₂解析式中x=0求y值），算出△COD的面积，用△ABC的面积减去△COD的面积，即可得到四边形ABOD的面积。
【解析】
(1)
∵ 直线$l_1:y=-x+b$经过点$A(1,3)$，将点代入得$3=-1+b$，解得$b=4$，
∴ 直线$l_1$的解析式为$y=-x+4$；
∵ 直线$l_2:y=kx+1$经过点$A(1,3)$，将点代入得$3=k+1$，解得$k=2$，
∴ 直线$l_2$的解析式为$y=2x+1$。
(2) 在$y=-x+4$中，令$y=0$，得$0=-x+4$，解得$x=4$，即$B(4,0)$；
在$y=2x+1$中，令$y=0$，得$0=2x+1$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$，即$C(-\dfrac{1}{2},0)$；
∴ $BC=4-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{2}$，点A到x轴的距离为3，
∴ $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}×3=\dfrac{27}{4}$。
(3) 在$y=2x+1$中，令$x=0$，得$y=1$，即$D(0,1)$，
∴ $S_{△ COD}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×1=\dfrac{1}{4}$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ABOD}=S_{△ ABC}-S_{△ COD}=\dfrac{27}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{13}{2}$。
【答案】
(1) $l_1:y=-x+4$，$l_2:y=2x+1$；
(2) $\dfrac{27}{4}$；
(3) $\dfrac{13}{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数与几何面积的综合基础题，解题的关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，准确获取直线与坐标轴的交点坐标，灵活运用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差计算，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

3. 如图，直线 $y=kx+1(k≠0)$ 与两坐标轴分别交于点A、点B，直线 $y=-2x+4$ 与y轴交于点C，与直线 $y=kx+1$ 交于点D，且三角形ACD的面积为 $\frac{3}{2}$。
(1)求k的值；
(2)点P在x轴上，如果三角形DBP的面积为4，求点P的坐标。

(1)解:当$x=0$时，$y=kx+1=1$，$y=-2x+4=4$，$\therefore A(0,1),C(0,4)$。$\therefore AC=3$。$\because S_{\mathrm{三角形}ACD}=\dfrac{1}{2}AC· x_D=\dfrac{3}{2}x_D=\dfrac{3}{2}$，$\therefore x_D=1$。当$x=1$时，$y=-2x+4=2$，$\therefore D(1,2)$。将$D(1,2)$代入$y=kx+1$，得$2=k+1$，解得$k=1$。
(2)在$y=x+1$中，当$y=0$时，$x=-1$，$\therefore B(-1,0)$。设$P(m,0)$，$\because S_{\mathrm{三角形}BDP}=\dfrac{1}{2}PB· y_D=4$，即$\dfrac{1}{2}×2PB=4$，$\therefore PB=|m+1|=4$，$\therefore m=-5$或$3$。$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-5,0)$或$(3,0)$。

【分析】
(1)求k值需先得到直线$y=kx+1$上除A外的已知点坐标，可结合面积条件求解：首先求出两直线与y轴的交点A、C的坐标，得到AC的长度；三角形ACD以AC为底时，高为点D的横坐标，结合已知面积可求出点D的横坐标，再代入$y=-2x+4$得到D点坐标，最后将D代入$y=kx+1$即可求出k。
(2)求x轴上点P的坐标：先求出直线$y=x+1$与x轴的交点B的坐标；三角形DBP以BP为底时，高为点D的纵坐标，结合面积条件求出BP的长度，再根据B点坐标分情况计算P点的横坐标即可，注意两点距离要加绝对值避免漏解。
【解析】
(1)当$x=0$时，代入$y=kx+1$得$y=1$，代入$y=-2x+4$得$y=4$，因此$A(0,1)$，$C(0,4)$，则$AC=4-1=3$。
三角形ACD的面积公式为$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · AC · x_D$（$x_D$为点D的横坐标），代入已知面积$\frac{3}{2}$得：
$\frac{1}{2} × 3 · x_D = \frac{3}{2}$，解得$x_D=1$。
将$x=1$代入$y=-2x+4$，得$y=-2×1+4=2$，因此D点坐标为$(1,2)$。
将$D(1,2)$代入$y=kx+1$，得$2=k×1+1$，解得$k=1$。
(2)由(1)得直线AB的解析式为$y=x+1$，当$y=0$时，$0=x+1$，解得$x=-1$，因此B点坐标为$(-1,0)$。
设点P的坐标为$(m,0)$，则BP的长度为$|m - (-1)|=|m+1|$，三角形DBP的高为点D的纵坐标2，根据面积公式：
$S_{△ DBP}=\frac{1}{2} · BP · y_D = 4$，代入得$\frac{1}{2} × |m+1| × 2 = 4$，化简得$|m+1|=4$。
解得$m+1=4$或$m+1=-4$，即$m=3$或$m=-5$。
【答案】
(1)$k=1$；(2)点P的坐标为$(-5,0)$或$(3,0)$
【知识点】
一次函数交点问题；一次函数与坐标轴交点；坐标系三角形面积计算
【点评】
本题将一次函数性质和图形面积计算结合，解题核心是结合点的坐标特征合理选择三角形的底和高，将面积条件转化为坐标运算，求解点的坐标时要注意绝对值带来的多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7