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1. [2025西宁中考]下列说法正确的是 (
A.概率很大的事件一定会发生
B.“任意画一个三角形,其外角和是$360°$”是必然事件
C.两组身高数据的方差分别是$s^2_{甲}=0.1, s^2_{乙}=0.3$,则乙组的身高更整齐
D.某抽奖活动的中奖概率为$\frac{1}{10}$,表示抽奖10次就有1次中奖
B
)A.概率很大的事件一定会发生
B.“任意画一个三角形,其外角和是$360°$”是必然事件
C.两组身高数据的方差分别是$s^2_{甲}=0.1, s^2_{乙}=0.3$,则乙组的身高更整齐
D.某抽奖活动的中奖概率为$\frac{1}{10}$,表示抽奖10次就有1次中奖
答案
1 B 选项A,概率很大的事件发生的可能性很大,但不一定会发生,错误;选项B是必然事件,正确;选项C,因为$s^2_{甲}＜s^2_{乙}$,所以甲组的身高更整齐,错误;选项D,某抽奖活动的中奖概率为$\frac{1}{10}$,表示如果抽奖很多次的话,那么平均每10次会有1次中奖,并不表示抽奖10次就有1次中奖,错误.
解析
【分析】
本题属于统计与概率模块的基础概念辨析题，解题时需逐一对应知识点判断选项正误：首先明确各选项涉及的核心定义，一是概率的意义，概率反映事件发生的可能性大小，不等同于必然发生，也不是少量试验的固定结果；二是必然事件的定义，即一定发生的事件；三是方差的性质，方差越小数据波动越小、越整齐，对四个选项逐个排查后即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：概率很大的事件仅说明发生的可能性高，不代表一定会发生，该说法错误；
选项B：任意三角形的外角和固定为$360°$，该事件必然发生，属于必然事件，该说法正确；
选项C：方差越小数据越整齐，已知$s^2_{甲}=0.1＜s^2_{乙}=0.3$，因此甲组身高更整齐，该说法错误；
选项D：中奖概率为$\frac{1}{10}$是指大量重复抽奖的情况下，平均每10次约有1次中奖，不代表抽奖10次就一定有1次中奖，该说法错误。
【答案】
B
【知识点】
事件的分类，方差的意义，概率的意义
【点评】
本题考查基础概念的理解，只要准确掌握相关定义，避免概念混淆就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题属于统计与概率模块的基础概念辨析题，解题时需逐一对应知识点判断选项正误：首先明确各选项涉及的核心定义，一是概率的意义，概率反映事件发生的可能性大小，不等同于必然发生，也不是少量试验的固定结果；二是必然事件的定义，即一定发生的事件；三是方差的性质，方差越小数据波动越小、越整齐，对四个选项逐个排查后即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：概率很大的事件仅说明发生的可能性高，不代表一定会发生，该说法错误；
选项B：任意三角形的外角和固定为$360°$，该事件必然发生，属于必然事件，该说法正确；
选项C：方差越小数据越整齐，已知$s^2_{甲}=0.1＜s^2_{乙}=0.3$，因此甲组身高更整齐，该说法错误；
选项D：中奖概率为$\frac{1}{10}$是指大量重复抽奖的情况下，平均每10次约有1次中奖，不代表抽奖10次就一定有1次中奖，该说法错误。
【答案】
B
【知识点】
事件的分类，方差的意义，概率的意义
【点评】
本题考查基础概念的理解，只要准确掌握相关定义，避免概念混淆就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. [2025徐州中考]一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球,下列事件为必然事件的是(
A.至多有1个球是红球
B.至多有1个球是黑球
C.至少有1个球是红球
D.至少有1个球是黑球
C
)A.至多有1个球是红球
B.至多有1个球是黑球
C.至少有1个球是红球
D.至少有1个球是黑球
答案
2 C 已知一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出3个球时,至多有3个红球,此时黑球最少,有0个;至多有2个黑球,此时红球最少,有1个(即可能摸到3个红球,2个红球和1个黑球,1个红球和2个黑球).结合题中选项,可知选项C正确.
解析
【分析】
解决本题首先要明确必然事件的定义：在一定条件下一定会发生的事件为必然事件。结合袋子中球的数量特征分析：袋子里只有2个黑球，因此摸3个球时最多只能摸到2个黑球，不可能出现3个都是黑球的情况，由此可先推导摸3个球的所有可能结果，再逐一判断每个选项对应的事件是否一定发生，即可得到答案。
【解析】
首先明确事件分类：必然事件是一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。
已知袋子中有4个红球、2个黑球，任意摸3个球，所有可能的摸球结果为：①3红0黑；②2红1黑；③1红2黑（黑球总数仅2个，不存在3黑0红的情况）。
逐一分析选项：
A. 至多有1个红球即红球数≤1，仅情况③符合，①②均不符合，属于随机事件，排除；
B. 至多有1个黑球即黑球数≤1，仅情况①②符合，情况③不符合，属于随机事件，排除；
C. 至少有1个红球即红球数≥1，三种情况的红球数分别为3、2、1，均满足要求，该事件一定发生，属于必然事件；
D. 至少有1个黑球即黑球数≥1，情况①（3红0黑）不符合，属于随机事件，排除。
【答案】
C
【知识点】
必然事件判定；事件分类；可能性分析
【点评】
本题是概率部分的基础题，核心考查不同类型事件的判断，解题时既可以通过极端情况快速推导结论，也可以枚举所有可能的摸球结果逐一验证选项，难度较低，解题的关键是准确理解“至多”“至少”的含义。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确必然事件的定义：在一定条件下一定会发生的事件为必然事件。结合袋子中球的数量特征分析：袋子里只有2个黑球，因此摸3个球时最多只能摸到2个黑球，不可能出现3个都是黑球的情况，由此可先推导摸3个球的所有可能结果，再逐一判断每个选项对应的事件是否一定发生，即可得到答案。
【解析】
首先明确事件分类：必然事件是一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。
已知袋子中有4个红球、2个黑球，任意摸3个球，所有可能的摸球结果为：①3红0黑；②2红1黑；③1红2黑（黑球总数仅2个，不存在3黑0红的情况）。
逐一分析选项：
A. 至多有1个红球即红球数≤1，仅情况③符合，①②均不符合，属于随机事件，排除；
B. 至多有1个黑球即黑球数≤1，仅情况①②符合，情况③不符合，属于随机事件，排除；
C. 至少有1个红球即红球数≥1，三种情况的红球数分别为3、2、1，均满足要求，该事件一定发生，属于必然事件；
D. 至少有1个黑球即黑球数≥1，情况①（3红0黑）不符合，属于随机事件，排除。
【答案】
C
【知识点】
必然事件判定；事件分类；可能性分析
【点评】
本题是概率部分的基础题，核心考查不同类型事件的判断，解题时既可以通过极端情况快速推导结论，也可以枚举所有可能的摸球结果逐一验证选项，难度较低，解题的关键是准确理解“至多”“至少”的含义。
【难度系数】
0.85
3. [2025河南中考] 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就。正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同。把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是 (
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
3 B 将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A,B,C,D,画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种,所以$P(这两张卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
本题考查随机事件的概率计算，解题思路如下：第一步，先将四张卡片对应标记为不同字母，方便后续结果列举；第二步，本次抽取为不放回抽取，可通过树状图法列举出所有等可能的抽取结果，统计总结果数；第三步，找出抽到“丽”和“山”的符合要求的结果数；第四步，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算，即可得到最终答案。
【解析】
将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A,B,C,D，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，根据概率公式可得：
$P(这两张卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】B
【知识点】
树状图法，概率计算，等可能事件
【点评】
本题以中华传统文化甲骨文为背景考查概率求解，既考查了概率的基本计算方法，也能让学生感受到传统文化的魅力，解题的关键是用树状图或列表法不重不漏地列举出所有等可能的结果。
【难度系数】
0.75
本题考查随机事件的概率计算，解题思路如下：第一步，先将四张卡片对应标记为不同字母，方便后续结果列举；第二步，本次抽取为不放回抽取，可通过树状图法列举出所有等可能的抽取结果，统计总结果数；第三步，找出抽到“丽”和“山”的符合要求的结果数；第四步，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算，即可得到最终答案。
【解析】
将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A,B,C,D，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，根据概率公式可得：
$P(这两张卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】B
【知识点】
树状图法，概率计算，等可能事件
【点评】
本题以中华传统文化甲骨文为背景考查概率求解，既考查了概率的基本计算方法，也能让学生感受到传统文化的魅力，解题的关键是用树状图或列表法不重不漏地列举出所有等可能的结果。
【难度系数】
0.75
4. [2024成都中考]盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别. 从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是$\frac{3}{8}$，则$\frac{x}{y}$的值为
$\frac{3}{5}$
.答案
4 $\frac{3}{5}$ $\because$盒中有$x$枚黑棋和$y$枚白棋,$\therefore$共有$(x+y)$枚棋.
$\because$从盒中随机取出一枚棋子,它是黑棋的概率是$\frac{3}{8}$,$\therefore \frac{x}{x + y}=\frac{3}{8}$,$\therefore 8x=3x+3y$,$\therefore 5x=3y$,$\therefore \frac{x}{y}=\frac{3}{5}$.
$\because$从盒中随机取出一枚棋子,它是黑棋的概率是$\frac{3}{8}$,$\therefore \frac{x}{x + y}=\frac{3}{8}$,$\therefore 8x=3x+3y$,$\therefore 5x=3y$,$\therefore \frac{x}{y}=\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确简单概率的计算规则：随机事件发生的概率 = 该事件包含的情况数 ÷ 所有等可能的总情况数。本题中，取出黑棋的事件对应的情况数是黑棋的数量x，所有等可能的取棋情况总数是盒中黑棋和白棋的总数量(x+y)，我们可以先根据已知的黑棋概率列出等式，再对等式进行变形化简，最终推导出$\frac{x}{y}$的值。
【解析】
解：
∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴盒中棋子总数量为$(x+y)$枚，
∵从盒中随机取出一枚棋子是黑棋的概率为$\frac{3}{8}$，根据概率计算公式可得：
$\frac{x}{x+y}=\frac{3}{8}$，
交叉相乘得：$8x=3(x+y)$，
展开移项得：$8x-3x=3y$，即$5x=3y$，
两边同时除以$5y$，可得$\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
1.简单概率计算 2.等式变形 3.比例化简
【点评】
本题是概率与代数运算结合的基础题，核心考查概率公式的实际应用，解题时需注意总棋子数是黑棋与白棋的数量和，避免误将白棋数量当作总数计算，只要熟练掌握概率计算方法和基本代数运算即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先明确简单概率的计算规则：随机事件发生的概率 = 该事件包含的情况数 ÷ 所有等可能的总情况数。本题中，取出黑棋的事件对应的情况数是黑棋的数量x，所有等可能的取棋情况总数是盒中黑棋和白棋的总数量(x+y)，我们可以先根据已知的黑棋概率列出等式，再对等式进行变形化简，最终推导出$\frac{x}{y}$的值。
【解析】
解：
∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴盒中棋子总数量为$(x+y)$枚，
∵从盒中随机取出一枚棋子是黑棋的概率为$\frac{3}{8}$，根据概率计算公式可得：
$\frac{x}{x+y}=\frac{3}{8}$，
交叉相乘得：$8x=3(x+y)$，
展开移项得：$8x-3x=3y$，即$5x=3y$，
两边同时除以$5y$，可得$\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
1.简单概率计算 2.等式变形 3.比例化简
【点评】
本题是概率与代数运算结合的基础题，核心考查概率公式的实际应用，解题时需注意总棋子数是黑棋与白棋的数量和，避免误将白棋数量当作总数计算，只要熟练掌握概率计算方法和基本代数运算即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
5. [2025淄博中考] 粮食安全,事关国计民生.增强学生粮食安全意识,培养学生节粮爱粮的良好生活习惯,已成为学校教育的一个重要共识.为此,某学校开设了相关校本课程,并在期末进行了结业测试.现从中随机抽取了部分学生的结业成绩(满分:100分,所有成绩均不低于75分),整理并绘制了如下尚不完整的统计图表.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)请直接写出统计表中的a=
(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图;
(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团,并从中随机抽取2人进社区宣讲,求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)请直接写出统计表中的a=
20
,b=10
,第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是90
°;(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图;
(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团,并从中随机抽取2人进社区宣讲,求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率.
答案
5 解:(1)20 10 90
根据题意,得抽取的学生总人数为$35÷35\%=100$,第5组的人数$b=\frac{36°}{360°}×100=10$,所以第2组的人数$a=100-(10+35+25+10)=20$,第4组的人数在扇形统计图中对应圆心角的度数为$\frac{25}{100}×360°=90°$.
(2)补全的频数分布直方图如下:
(3)记2名男生分别为$a,b$,记3名女生分别为1,2,3.
列表如下:
| 第2个人\第1个人 | $a$ | $b$ | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a$ | | $(b,a)$ | $(1,a)$ | $(2,a)$ | $(3,a)$ |
| $b$ | $(a,b)$ | | $(1,b)$ | $(2,b)$ | $(3,b)$ |
| 1 | $(a,1)$ | $(b,1)$ | | $(2,1)$ | $(3,1)$ |
| 2 | $(a,2)$ | $(b,2)$ | $(1,2)$ | | $(3,2)$ |
| 3 | $(a,3)$ | $(b,3)$ | $(1,3)$ | $(2,3)$ | |
由表格可知,共有20种等可能的结果,其中所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有12种,
所以$P(所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
解题按小问逐步突破：
(1) 先利用已知组的频数和对应占比算出抽取的总人数：85~90分的频数为35，对应扇形占比35%，可直接求出总人数；再根据第5组对应的圆心角算出第5组人数b；用总人数减去其余4组人数即可得到第2组人数a；第4组对应圆心角用“第4组频数÷总人数×360°”计算即可。
(2) 补全直方图只需根据(1)算出的a、b的值，对应调整80~85分、95~100分的条形高度即可。
(3) 求概率采用列表法，先枚举所有等可能的抽取结果，再统计恰好1男1女的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 抽取的学生总人数：$35÷35\%=100$
第5组人数：$b=\frac{36°}{360°}×100=10$
第2组人数：$a=100-(10+35+25+10)=20$
第4组对应圆心角度数：$\frac{25}{100}×360°=90°$
(2) 补全的频数分布直方图如下：
(3) 记2名男生分别为$a,b$，3名女生分别为1,2,3，列表如下：
| 第2个人\第1个人 | $a$ | $b$ | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a$ | | $(b,a)$ | $(1,a)$ | $(2,a)$ | $(3,a)$ |
| $b$ | $(a,b)$ | | $(1,b)$ | $(2,b)$ | $(3,b)$ |
| 1 | $(a,1)$ | $(b,1)$ | | $(2,1)$ | $(3,1)$ |
| 2 | $(a,2)$ | $(b,2)$ | $(1,2)$ | | $(3,2)$ |
| 3 | $(a,3)$ | $(b,3)$ | $(1,3)$ | $(2,3)$ | |
由表格可知，共有20种等可能的结果，其中所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有12种，
因此$P(\mathrm{抽取2人恰好1男1女})=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) $20$，$10$，$90$
(2) 补全的频数分布直方图如下：
(3) $\frac{3}{5}$
【知识点】
频数分布直方图，扇形统计图，概率计算
【点评】
本题结合粮食安全的现实热点，综合考查统计与概率的基础应用，解题核心是先通过已知统计信息求出总人数，再依次推导各未知量，求概率时要注意枚举结果做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
解题按小问逐步突破：
(1) 先利用已知组的频数和对应占比算出抽取的总人数：85~90分的频数为35，对应扇形占比35%，可直接求出总人数；再根据第5组对应的圆心角算出第5组人数b；用总人数减去其余4组人数即可得到第2组人数a；第4组对应圆心角用“第4组频数÷总人数×360°”计算即可。
(2) 补全直方图只需根据(1)算出的a、b的值，对应调整80~85分、95~100分的条形高度即可。
(3) 求概率采用列表法，先枚举所有等可能的抽取结果，再统计恰好1男1女的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 抽取的学生总人数：$35÷35\%=100$
第5组人数：$b=\frac{36°}{360°}×100=10$
第2组人数：$a=100-(10+35+25+10)=20$
第4组对应圆心角度数：$\frac{25}{100}×360°=90°$
(2) 补全的频数分布直方图如下：
(3) 记2名男生分别为$a,b$，3名女生分别为1,2,3，列表如下：
| 第2个人\第1个人 | $a$ | $b$ | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a$ | | $(b,a)$ | $(1,a)$ | $(2,a)$ | $(3,a)$ |
| $b$ | $(a,b)$ | | $(1,b)$ | $(2,b)$ | $(3,b)$ |
| 1 | $(a,1)$ | $(b,1)$ | | $(2,1)$ | $(3,1)$ |
| 2 | $(a,2)$ | $(b,2)$ | $(1,2)$ | | $(3,2)$ |
| 3 | $(a,3)$ | $(b,3)$ | $(1,3)$ | $(2,3)$ | |
由表格可知，共有20种等可能的结果，其中所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有12种，
因此$P(\mathrm{抽取2人恰好1男1女})=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) $20$，$10$，$90$
(2) 补全的频数分布直方图如下：
(3) $\frac{3}{5}$
【知识点】
频数分布直方图，扇形统计图，概率计算
【点评】
本题结合粮食安全的现实热点，综合考查统计与概率的基础应用，解题核心是先通过已知统计信息求出总人数，再依次推导各未知量，求概率时要注意枚举结果做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
