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一个不透明的盒子中装有4个完全一样的白色小球,小球上分别标有数字-1,0,1,3.
【基础设问】
(1)从盒子中随机摸出1个小球,小球上的数字是正数的概率是
(2)从盒子中随机摸出2个小球,小球上的数字之和大于5是
(3)从盒子中随机摸出1个小球,记下数字后放回,摇匀后再从盒子中随机摸出1个小球,求两次摸出的小球上的数字之积为负数的概率.
(4)从盒子中随机摸出1个小球,记下数字后,不放回,再从盒子中随机摸出1个小球,求两次摸出的小球上的数字之积为负数的概率.
【能力设问】
(5)嘉嘉先随机摸出1个小球,琪琪再从剩余的小球中随机摸出1个,若摸出的这2个小球上的数字之和为偶数,则嘉嘉获胜;反之,琪琪获胜.这个游戏公平吗?为什么?
(6)嘉嘉向盒子中加入x个红色小球,它们除颜色外其他与盒子中的白色小球完全相同.琪琪通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.8附近,则x的值为
(7)如图,一个被平均分成3份且可以自由转动的转盘上标有数字2,0,-1,现转动转盘,转盘停止时,指针指向的数字记为m(当指针指在扇形的交线时,重新转动转盘).从盒子中随机摸出1个小球,记下数字n,求得到的点(m,n)在平面直角坐标系中第三象限内的概率.
【基础设问】
(1)从盒子中随机摸出1个小球,小球上的数字是正数的概率是
$\frac{1}{2}$
.(2)从盒子中随机摸出2个小球,小球上的数字之和大于5是
不可能
事件.(填“随机”“不可能”或“必然”)(3)从盒子中随机摸出1个小球,记下数字后放回,摇匀后再从盒子中随机摸出1个小球,求两次摸出的小球上的数字之积为负数的概率.
(4)从盒子中随机摸出1个小球,记下数字后,不放回,再从盒子中随机摸出1个小球,求两次摸出的小球上的数字之积为负数的概率.
【能力设问】
(5)嘉嘉先随机摸出1个小球,琪琪再从剩余的小球中随机摸出1个,若摸出的这2个小球上的数字之和为偶数,则嘉嘉获胜;反之,琪琪获胜.这个游戏公平吗?为什么?
(6)嘉嘉向盒子中加入x个红色小球,它们除颜色外其他与盒子中的白色小球完全相同.琪琪通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.8附近,则x的值为
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.(7)如图,一个被平均分成3份且可以自由转动的转盘上标有数字2,0,-1,现转动转盘,转盘停止时,指针指向的数字记为m(当指针指在扇形的交线时,重新转动转盘).从盒子中随机摸出1个小球,记下数字n,求得到的点(m,n)在平面直角坐标系中第三象限内的概率.
答案
(1)$\frac{1}{2}$
(2)不可能
根据题意,得随机摸出2个小球,小球上的数字之和最大是4,所以从盒子中随机摸出2个小球,小球上的数字之和大于5是不可能事件.
(3)列表如下:
| 积\第一次\第二次 | -1 | 0 | 1 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| -1 | 1 | 0 | -1 | -3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | -1 | 0 | 1 | 3 |
| 3 | -3 | 0 | 3 | 9 |
由表可知,共有16种等可能的结果,其中两次摸出的小球上的数字之积为负数的结果有4种,所以两次摸出的小球上的数字之积为负数的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
(4)画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中两次摸出的小球上的数字之积为负数的结果有4种,所以两次摸出的小球上的数字之积为负数的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
(5)公平.理由如下:画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中摸出的这2个小球上的数字之和为偶数的结果有6种,
所以摸出的这2个小球上的数字之和为偶数的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,
所以$P(嘉嘉获胜)=\frac{1}{2},P(琪琪获胜)=\frac{1}{2}$,
所以这个游戏是公平的.
(6)16
由题意,得$\frac{x}{4 + x}=0.8$,解得$x=16$.经检验,$x=16$是原分式方程的解且满足题意.
(7)画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中得到的点$(m,n)$在平面直角坐标系中第三象限内的结果有1种(易错点:点$(-1,0)$不在第三象限),
所以得到的点$(m,n)$在平面直角坐标系中第三象限内的概率是$\frac{1}{12}$.
解析
【分析】
本题围绕概率相关知识点分层设置问题，解题思路如下：
(1) 先找出标有正数的小球数量，根据概率公式“P=符合条件的情况数÷总情况数”直接计算；
(2) 先求出摸出2个小球的最大数字和，判断“和大于5”是否可能发生，对应事件类型即可；
(3) 属于有放回的两次摸球，用列表法列出所有等可能结果，筛选出两次数字乘积为负数的结果，代入概率公式计算；
(4) 属于不放回的两次摸球，用树状图列出所有等可能结果，筛选出乘积为负数的结果，计算对应概率；
(5) 判断游戏公平性只需计算嘉嘉、琪琪各自的获胜概率，若二者概率相等则游戏公平，反之不公平；
(6) 大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，根据“摸到红球的概率=红球数量÷总球数”列分式方程求解，注意检验解是否符合题意；
(7) 先明确第三象限点的坐标特征（横、纵坐标均为负数），用树状图列出所有(m,n)的等可能结果，筛选出符合第三象限特征的结果，计算对应概率。
【解析】
(1) 4个小球的数字为-1、0、1、3，其中正数为1、3，共2个，总共有4种等可能的摸球结果，因此$P(\mathrm{数字是正数})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；
(2) 摸出2个小球的最大数字和为$1+3=4＜5$，因此“数字之和大于5”不可能发生，属于不可能事件；
(3) 有放回摸球，列表可得共有16种等可能结果，其中两次数字之积为负数的结果共4种，因此$P(\mathrm{积为负数})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$；
(4) 不放回摸球，画树状图可得共有12种等可能结果，其中两次数字之积为负数的结果共4种，因此$P(\mathrm{积为负数})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$；
(5) 画树状图可得共有12种等可能的数字和结果，其中和为偶数的结果共6种，因此$P(\mathrm{嘉嘉获胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{琪琪获胜})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，二者概率相等，游戏公平；
(6) 由摸到红球的频率稳定在0.8，列方程得$\frac{x}{x+4}=0.8$，解得$x=16$，经检验$x=16$是原方程的解且符合题意；
(7) 第三象限的点满足$m＜0$且$n＜0$，画树状图可得共有12种等可能的(m,n)结果，符合条件的仅$m=-1,n=-1$这1种，因此$P(\mathrm{点在第三象限})=\frac{1}{12}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$
(2)不可能
根据题意,得随机摸出2个小球,小球上的数字之和最大是4,所以从盒子中随机摸出2个小球,小球上的数字之和大于5是不可能事件.
(3)列表如下:
| 积\第一次\第二次 | -1 | 0 | 1 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| -1 | 1 | 0 | -1 | -3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | -1 | 0 | 1 | 3 |
| 3 | -3 | 0 | 3 | 9 |
由表可知,共有16种等可能的结果,其中两次摸出的小球上的数字之积为负数的结果有4种,所以两次摸出的小球上的数字之积为负数的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
(4)画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中两次摸出的小球上的数字之积为负数的结果有4种,所以两次摸出的小球上的数字之积为负数的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
(5)公平.理由如下:画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中摸出的这2个小球上的数字之和为偶数的结果有6种,
所以摸出的这2个小球上的数字之和为偶数的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,
所以$P(嘉嘉获胜)=\frac{1}{2},P(琪琪获胜)=\frac{1}{2}$,
所以这个游戏是公平的.
(6)16
由题意,得$\frac{x}{4 + x}=0.8$,解得$x=16$.经检验,$x=16$是原分式方程的解且满足题意.
(7)画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中得到的点$(m,n)$在平面直角坐标系中第三象限内的结果有1种(易错点:点$(-1,0)$不在第三象限),
所以得到的点$(m,n)$在平面直角坐标系中第三象限内的概率是$\frac{1}{12}$.
【知识点】
概率的计算、事件的分类、用频率估计概率
【点评】
本题梯度设置合理，全面覆盖了概率模块的核心考点，既包含基础的概率计算、事件类型判断，也涉及有放回/不放回概率求解、游戏公平性判断、跨知识点结合的概率计算等题型，能有效检验对概率相关知识的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕概率相关知识点分层设置问题，解题思路如下：
(1) 先找出标有正数的小球数量，根据概率公式“P=符合条件的情况数÷总情况数”直接计算；
(2) 先求出摸出2个小球的最大数字和，判断“和大于5”是否可能发生，对应事件类型即可；
(3) 属于有放回的两次摸球，用列表法列出所有等可能结果，筛选出两次数字乘积为负数的结果，代入概率公式计算；
(4) 属于不放回的两次摸球，用树状图列出所有等可能结果，筛选出乘积为负数的结果，计算对应概率；
(5) 判断游戏公平性只需计算嘉嘉、琪琪各自的获胜概率，若二者概率相等则游戏公平，反之不公平；
(6) 大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，根据“摸到红球的概率=红球数量÷总球数”列分式方程求解，注意检验解是否符合题意；
(7) 先明确第三象限点的坐标特征（横、纵坐标均为负数），用树状图列出所有(m,n)的等可能结果，筛选出符合第三象限特征的结果，计算对应概率。
【解析】
(1) 4个小球的数字为-1、0、1、3，其中正数为1、3，共2个，总共有4种等可能的摸球结果，因此$P(\mathrm{数字是正数})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；
(2) 摸出2个小球的最大数字和为$1+3=4＜5$，因此“数字之和大于5”不可能发生，属于不可能事件；
(3) 有放回摸球，列表可得共有16种等可能结果，其中两次数字之积为负数的结果共4种，因此$P(\mathrm{积为负数})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$；
(4) 不放回摸球，画树状图可得共有12种等可能结果，其中两次数字之积为负数的结果共4种，因此$P(\mathrm{积为负数})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$；
(5) 画树状图可得共有12种等可能的数字和结果，其中和为偶数的结果共6种，因此$P(\mathrm{嘉嘉获胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{琪琪获胜})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，二者概率相等，游戏公平；
(6) 由摸到红球的频率稳定在0.8，列方程得$\frac{x}{x+4}=0.8$，解得$x=16$，经检验$x=16$是原方程的解且符合题意；
(7) 第三象限的点满足$m＜0$且$n＜0$，画树状图可得共有12种等可能的(m,n)结果，符合条件的仅$m=-1,n=-1$这1种，因此$P(\mathrm{点在第三象限})=\frac{1}{12}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$
(2)不可能
根据题意,得随机摸出2个小球,小球上的数字之和最大是4,所以从盒子中随机摸出2个小球,小球上的数字之和大于5是不可能事件.
(3)列表如下:
| 积\第一次\第二次 | -1 | 0 | 1 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| -1 | 1 | 0 | -1 | -3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | -1 | 0 | 1 | 3 |
| 3 | -3 | 0 | 3 | 9 |
由表可知,共有16种等可能的结果,其中两次摸出的小球上的数字之积为负数的结果有4种,所以两次摸出的小球上的数字之积为负数的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
(4)画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中两次摸出的小球上的数字之积为负数的结果有4种,所以两次摸出的小球上的数字之积为负数的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
(5)公平.理由如下:画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中摸出的这2个小球上的数字之和为偶数的结果有6种,
所以摸出的这2个小球上的数字之和为偶数的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,
所以$P(嘉嘉获胜)=\frac{1}{2},P(琪琪获胜)=\frac{1}{2}$,
所以这个游戏是公平的.
(6)16
由题意,得$\frac{x}{4 + x}=0.8$,解得$x=16$.经检验,$x=16$是原分式方程的解且满足题意.
(7)画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中得到的点$(m,n)$在平面直角坐标系中第三象限内的结果有1种(易错点:点$(-1,0)$不在第三象限),
所以得到的点$(m,n)$在平面直角坐标系中第三象限内的概率是$\frac{1}{12}$.
【知识点】
概率的计算、事件的分类、用频率估计概率
【点评】
本题梯度设置合理，全面覆盖了概率模块的核心考点，既包含基础的概率计算、事件类型判断，也涉及有放回/不放回概率求解、游戏公平性判断、跨知识点结合的概率计算等题型，能有效检验对概率相关知识的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.7
