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1. [2025泰安宁阳期末]如图，A,B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点C(不包含点A,B所在的格点)，恰好能使$△ ABC$构成等腰三角形的概率是（
A.$\frac{11}{23}$
B.$\frac{11}{25}$
C.$\frac{9}{23}$
D.$\frac{9}{25}$
C
）A.$\frac{11}{23}$
B.$\frac{11}{25}$
C.$\frac{9}{23}$
D.$\frac{9}{25}$
答案
1 如图,在4×4的正方形网格中,共有25个格点,除去点A和点B所在的2个格点,还有23个格点符合条件,其中能与点A,B构成等腰三角形的格点C有9个,所以P(能使△ABC构成等腰三角形)=$\frac{9}{23}$.
解析
【分析】
这是一道几何与概率结合的题目，解题思路分为两步：首先确定所有可放置点C的总情况数，再找出能使△ABC为等腰三角形的符合条件的情况数，最后代入概率公式计算结果。第一步先算总格点：4×4小正方形组成的网格，格点总数为(4+1)×(4+1)=25个，排除A、B两个点，得到总共有23个可选的C点。第二步判定等腰三角形需分类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（AC=AB）；②AB为腰，B为顶角顶点（BC=AB）；③AB为底边（AC=BC），分别数出每类对应的格点，避免重复或遗漏，最后求比值即可。
【解析】
解：1. 计算总情况数
4×4小正方形组成的网格中，格点总数为$5×5=25$个，
因为点C不与A、B重合，因此可选的点C共有$25-2=23$个。
2. 计算符合条件的情况数
由勾股定理得$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，分三类讨论：
（1）当$AB=AC=\sqrt{5}$时，符合条件的格点有$C_1、C_2、C_3$，共3个；
（2）当$AB=BC=\sqrt{5}$时，符合条件的格点有$C_6、C_8、C_9$，共3个；
（3）当$AC=BC$时，符合条件的格点有$C_4、C_5、C_7$，共3个；
综上，能使△ABC为等腰三角形的点C共有$3+3+3=9$个。
3. 计算概率
$P(△ ABC为等腰三角形)=\frac{符合条件的C点个数}{总可选C点个数}=\frac{9}{23}$。
【答案】C
【知识点】
等腰三角形的判定，概率公式，勾股定理
【点评】
本题为网格背景下的综合基础题，需要掌握等腰三角形的判定方法和概率的计算逻辑，解题时注意分类讨论，避免漏数、多算符合条件的格点，同时不要忘记排除A、B两个点。
【难度系数】
0.6
这是一道几何与概率结合的题目，解题思路分为两步：首先确定所有可放置点C的总情况数，再找出能使△ABC为等腰三角形的符合条件的情况数，最后代入概率公式计算结果。第一步先算总格点：4×4小正方形组成的网格，格点总数为(4+1)×(4+1)=25个，排除A、B两个点，得到总共有23个可选的C点。第二步判定等腰三角形需分类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（AC=AB）；②AB为腰，B为顶角顶点（BC=AB）；③AB为底边（AC=BC），分别数出每类对应的格点，避免重复或遗漏，最后求比值即可。
【解析】
解：1. 计算总情况数
4×4小正方形组成的网格中，格点总数为$5×5=25$个，
因为点C不与A、B重合，因此可选的点C共有$25-2=23$个。
2. 计算符合条件的情况数
由勾股定理得$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，分三类讨论：
（1）当$AB=AC=\sqrt{5}$时，符合条件的格点有$C_1、C_2、C_3$，共3个；
（2）当$AB=BC=\sqrt{5}$时，符合条件的格点有$C_6、C_8、C_9$，共3个；
（3）当$AC=BC$时，符合条件的格点有$C_4、C_5、C_7$，共3个；
综上，能使△ABC为等腰三角形的点C共有$3+3+3=9$个。
3. 计算概率
$P(△ ABC为等腰三角形)=\frac{符合条件的C点个数}{总可选C点个数}=\frac{9}{23}$。
【答案】C
【知识点】
等腰三角形的判定，概率公式，勾股定理
【点评】
本题为网格背景下的综合基础题，需要掌握等腰三角形的判定方法和概率的计算逻辑，解题时注意分类讨论，避免漏数、多算符合条件的格点，同时不要忘记排除A、B两个点。
【难度系数】
0.6
2. 易错题 小王将一白一黑两双相同型号的袜子扔进抽屉里，再随机从抽屉里拿出两只袜子，若恰好成双的概率为$ P_1 $，不成双的概率为$ P_2 $，则$ P_1 $
＜
$ P_2 $.（填“＞”“＜”或“＝”）答案
2 把黑色的两只袜子记为黑₁,黑₂,白色的两只袜子记为白₁,白₂,画树状图如下：
由树状图可知,共有12种等可能的结果,恰好成双的结果有4种,不成双的结果有8种,
∴ $P_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3},P_2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$,故$P_1 ＜ P_2$.
避坑指南：本题易只凭想象进行判断,认为拿出两只袜子的情况有3种:两黑、两白、一黑一白.从而成双的概率为$\frac{2}{3}$,不成双的概率为$\frac{1}{3}$,忽略每个结果出现的可能性并不相等.
解析
【分析】
本题是概率比较类易错题，解题时要避开认知误区：不能直接认为抽取两只袜子只有“两黑、两白、一黑一白”三种等可能结果，实际这三类结果的可能性并不相等。正确的解题思路为：先将4只袜子分别做标记区分，用树状图或列表法罗列出抽取2只袜子的所有等可能结果，再分别统计“恰好成双”“不成双”对应的结果数，根据概率公式计算$P_1$、$P_2$后比较二者大小即可。
【解析】
把黑色的两只袜子记为黑₁、黑₂，白色的两只袜子记为白₁、白₂，画树状图如下：
由树状图可知，随机抽取2只袜子共有12种等可能的结果，其中恰好成双的结果有4种，不成双的结果有8种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得：
$P_1=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$P_2=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
因为$\frac{1}{3}＜\frac{2}{3}$，因此$P_1 ＜ P_2$。
【答案】
$\boldsymbol{＜}$
【知识点】
概率计算，树状图法，等可能事件判断
【点评】
本题的易错点是误将非等可能的三类结果当作等可能事件计算概率，导致结果相反。解决这类概率问题时，优先用列举法（树状图或列表）罗列所有等可能的基本事件，再统计符合条件的结果数计算概率，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.6
本题是概率比较类易错题，解题时要避开认知误区：不能直接认为抽取两只袜子只有“两黑、两白、一黑一白”三种等可能结果，实际这三类结果的可能性并不相等。正确的解题思路为：先将4只袜子分别做标记区分，用树状图或列表法罗列出抽取2只袜子的所有等可能结果，再分别统计“恰好成双”“不成双”对应的结果数，根据概率公式计算$P_1$、$P_2$后比较二者大小即可。
【解析】
把黑色的两只袜子记为黑₁、黑₂，白色的两只袜子记为白₁、白₂，画树状图如下：
由树状图可知，随机抽取2只袜子共有12种等可能的结果，其中恰好成双的结果有4种，不成双的结果有8种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得：
$P_1=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$P_2=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
因为$\frac{1}{3}＜\frac{2}{3}$，因此$P_1 ＜ P_2$。
【答案】
$\boldsymbol{＜}$
【知识点】
概率计算，树状图法，等可能事件判断
【点评】
本题的易错点是误将非等可能的三类结果当作等可能事件计算概率，导致结果相反。解决这类概率问题时，优先用列举法（树状图或列表）罗列所有等可能的基本事件，再统计符合条件的结果数计算概率，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.6
3. 教材复习题变式 [2026青岛第二实验学校月考]学校的联欢晚会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，规则如下：A转盘被分成面积相等的4个扇形，B转盘中小的扇形区域所占的圆心角是$120°$.分别任意转动两个转盘，将A转盘转出的数字与B转盘转出的数字相乘，若乘积是5的倍数，则小红赢得游戏；若乘积是6的倍数，则小明赢得游戏.这个游戏对双方公平吗？并说明理由.若不公平，请再给出一种公平的游戏方案，不必说明理由.
答案
3 解:不公平.
将B转盘中5所在区域分成相同的两部分,列表如下:
| 积\A转盘 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| B转盘 | | | | |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 |
由表格可知,共有12种等可能的结果,其中乘积是5的倍数的结果有8种,乘积是6的倍数的结果有4种,
所以P(小红赢得游戏) = $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$,P(小明赢得游戏) = $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
因为P(小红赢得游戏)≠P(小明赢得游戏),所以这个游戏对双方不公平.
公平的游戏方案:若乘积是4的倍数,则小红赢得游戏;若乘积是6的倍数,则小明赢得游戏.
将B转盘中5所在区域分成相同的两部分,列表如下:
| 积\A转盘 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| B转盘 | | | | |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 |
由表格可知,共有12种等可能的结果,其中乘积是5的倍数的结果有8种,乘积是6的倍数的结果有4种,
所以P(小红赢得游戏) = $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$,P(小明赢得游戏) = $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
因为P(小红赢得游戏)≠P(小明赢得游戏),所以这个游戏对双方不公平.
公平的游戏方案:若乘积是4的倍数,则小红赢得游戏;若乘积是6的倍数,则小明赢得游戏.
解析
【分析】
判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，解题思路如下：首先处理两个转盘的等可能结果：A转盘4等分，共4种等可能结果；B转盘标6的区域圆心角为120°，标5的区域圆心角为240°，可将5的区域拆分为2个圆心角120°的等面积区域，此时B转盘共3种等可能结果。其次用列表法列出两个转盘数字乘积的所有等可能结果，分别统计乘积是5的倍数、6的倍数的结果数。再根据概率公式计算两人获胜的概率，比较概率大小即可判断公平性，最后修改规则使双方获胜概率相等即可得到公平方案。
【解析】
解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
B转盘中标6的区域圆心角为$120°$，标5的区域圆心角为$360°-120°=240°$，将标5的区域平均分成两个圆心角为$120°$的等面积区域，列表表示所有乘积结果如下：
| 积\A转盘 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中乘积是5的倍数的结果有8种，乘积是6的倍数的结果有4种。
因此$P(\mathrm{小红赢得游戏})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，$P(\mathrm{小明赢得游戏})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
因为$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$，即两人获胜概率不相等，所以游戏对双方不公平。
公平的游戏方案：若乘积是4的倍数，则小红赢得游戏；若乘积是6的倍数，则小明赢得游戏。（方案合理即可）
【答案】
不公平，理由见解析；公平方案示例：若乘积是4的倍数，则小红赢得游戏，若乘积是6的倍数，则小明赢得游戏。
【知识点】
列表法求概率；游戏公平性判断；概率计算
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题关键是将非等面积的转盘区域转化为等可能结果，再通过列表法不重不漏地列举所有情况计算概率，修改规则时只要保证双方获胜概率相等即可。
【难度系数】
0.7
判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，解题思路如下：首先处理两个转盘的等可能结果：A转盘4等分，共4种等可能结果；B转盘标6的区域圆心角为120°，标5的区域圆心角为240°，可将5的区域拆分为2个圆心角120°的等面积区域，此时B转盘共3种等可能结果。其次用列表法列出两个转盘数字乘积的所有等可能结果，分别统计乘积是5的倍数、6的倍数的结果数。再根据概率公式计算两人获胜的概率，比较概率大小即可判断公平性，最后修改规则使双方获胜概率相等即可得到公平方案。
【解析】
解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
B转盘中标6的区域圆心角为$120°$，标5的区域圆心角为$360°-120°=240°$，将标5的区域平均分成两个圆心角为$120°$的等面积区域，列表表示所有乘积结果如下：
| 积\A转盘 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中乘积是5的倍数的结果有8种，乘积是6的倍数的结果有4种。
因此$P(\mathrm{小红赢得游戏})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，$P(\mathrm{小明赢得游戏})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
因为$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$，即两人获胜概率不相等，所以游戏对双方不公平。
公平的游戏方案：若乘积是4的倍数，则小红赢得游戏；若乘积是6的倍数，则小明赢得游戏。（方案合理即可）
【答案】
不公平，理由见解析；公平方案示例：若乘积是4的倍数，则小红赢得游戏，若乘积是6的倍数，则小明赢得游戏。
【知识点】
列表法求概率；游戏公平性判断；概率计算
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题关键是将非等面积的转盘区域转化为等可能结果，再通过列表法不重不漏地列举所有情况计算概率，修改规则时只要保证双方获胜概率相等即可。
【难度系数】
0.7
4. 如图,长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场,以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名.甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场,它们各自从A,B,C三个出口中随机选择一个出口驶出,则甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案
4 $\frac{1}{3}$ 根据题意,画树状图如下:
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有3种,所以P(甲、乙两辆车从同一出口驶出) = $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
解析
【分析】
这是两步随机事件的概率求解问题，属于古典概型范畴。解题时首先明确甲、乙两车各自都有A、B、C共3种出口选择，我们可以通过画树状图的方法不重不漏地列举出所有等可能的结果，再从中筛选出甲、乙从同一出口驶出的符合条件的结果数，最后根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算即可得到结果。
【解析】
根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有3种（即均选A、均选B、均选C），所以$P(\mathrm{甲、乙两辆车从同一出口驶出})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
树状图法求概率，概率公式
【点评】
本题为概率基础类题型，重点考查两步试验的概率计算方法，解题核心是通过树状图或列表法完整列举所有等可能结果，再结合概率公式计算即可，注意计数时不要出现遗漏或重复的问题。
【难度系数】
0.75
这是两步随机事件的概率求解问题，属于古典概型范畴。解题时首先明确甲、乙两车各自都有A、B、C共3种出口选择，我们可以通过画树状图的方法不重不漏地列举出所有等可能的结果，再从中筛选出甲、乙从同一出口驶出的符合条件的结果数，最后根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算即可得到结果。
【解析】
根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有3种（即均选A、均选B、均选C），所以$P(\mathrm{甲、乙两辆车从同一出口驶出})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
树状图法求概率，概率公式
【点评】
本题为概率基础类题型，重点考查两步试验的概率计算方法，解题核心是通过树状图或列表法完整列举所有等可能结果，再结合概率公式计算即可，注意计数时不要出现遗漏或重复的问题。
【难度系数】
0.75
5. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“好”“心”“茂”“名”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.
(1)从中任取一个球，球上的汉字刚好是“茂”的概率为
(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率 $ P_1 $；
(3)乙从中任取一球，记下汉字后放回，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率为 $ P_2 $，则 $ P_1 $
(1)从中任取一个球，球上的汉字刚好是“茂”的概率为
$\frac{1}{4}$
；(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率 $ P_1 $；
(3)乙从中任取一球，记下汉字后放回，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率为 $ P_2 $，则 $ P_1 $
＞
$ P_2 $.(填“＞”“＜”或“=”)答案
5 解:(1)$\frac{1}{4}$
(2)画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的结果有4种,故甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率$P_1=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
(3)＞
根据题意,画树状图如下:
由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中乙取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的结果有4种,则乙取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率为$P_2=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
∵ $\frac{1}{3} ＞ \frac{1}{4}$,
∴ $P_1 ＞ P_2$.
解析
【分析】
（1）本问是基础古典概型问题，4个小球被摸到的可能性相等，其中标“茂”的小球仅1个，直接用概率公式“$P=$符合条件的情况数÷所有等可能情况数”计算即可。
（2）本问是不放回抽样的概率求解，可通过画树状图列举两次摸球所有等可能的结果，再筛选出能组成“好心”或“茂名”的结果数，代入概率公式即可求出$P_1$。
（3）本问是放回抽样的概率求解，和第二问的区别是第一次摸出的球放回后第二次仍可被摸到，同样用树状图列举所有等可能结果算出$P_2$，再和$P_1$比较大小即可。
【解析】
(1) 口袋中共有4个除汉字外完全相同的小球，任取1球共有4种等可能的结果，其中球上汉字是“茂”的结果有1种，因此所求概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 不放回摸球，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的结果有4种，因此$P_1=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
(3) 放回摸球，画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的结果有4种，因此$P_2=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
因为$\frac{1}{3}＞\frac{1}{4}$，所以$P_1＞P_2$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$
(2)画树状图如下:，$P_1=\frac{1}{3}$
(3)＞
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 树状图求概率
3. 放回与不放回抽样
【点评】
本题是概率的常规基础题，核心考查放回和不放回两种抽样方式的差异，掌握用树状图或列表法不重不漏地列举所有等可能结果是解题的关键，侧重对基础概率方法的考查。
【难度系数】
0.7
（1）本问是基础古典概型问题，4个小球被摸到的可能性相等，其中标“茂”的小球仅1个，直接用概率公式“$P=$符合条件的情况数÷所有等可能情况数”计算即可。
（2）本问是不放回抽样的概率求解，可通过画树状图列举两次摸球所有等可能的结果，再筛选出能组成“好心”或“茂名”的结果数，代入概率公式即可求出$P_1$。
（3）本问是放回抽样的概率求解，和第二问的区别是第一次摸出的球放回后第二次仍可被摸到，同样用树状图列举所有等可能结果算出$P_2$，再和$P_1$比较大小即可。
【解析】
(1) 口袋中共有4个除汉字外完全相同的小球，任取1球共有4种等可能的结果，其中球上汉字是“茂”的结果有1种，因此所求概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 不放回摸球，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的结果有4种，因此$P_1=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
(3) 放回摸球，画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的结果有4种，因此$P_2=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
因为$\frac{1}{3}＞\frac{1}{4}$，所以$P_1＞P_2$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$
(2)画树状图如下:
，$P_1=\frac{1}{3}$(3)＞
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 树状图求概率
3. 放回与不放回抽样
【点评】
本题是概率的常规基础题，核心考查放回和不放回两种抽样方式的差异，掌握用树状图或列表法不重不漏地列举所有等可能结果是解题的关键，侧重对基础概率方法的考查。
【难度系数】
0.7
