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1. 抛物线 $y=x^2+2x-3$ 与 $x$ 轴的交点有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
名师微课
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
名师微课
答案
1.C
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可转化为判断当y=0时，对应的一元二次方程的实数根的个数，两者是一一对应的关系。我们可以通过一元二次方程根的判别式Δ快速判断实根个数，不需要解方程就能得出结果：先写出y=0对应的一元二次方程，确定方程各项系数，代入判别式公式计算Δ的数值，再根据Δ的符号对应判断交点个数即可。
【解析】
解：令抛物线解析式中y=0，可得一元二次方程：
$x^2+2x-3=0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$
代入根的判别式公式可得：
$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 ＞ 0$
因此该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考察二次函数与一元二次方程的关联，掌握根的判别式符号和抛物线x轴交点个数的对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断抛物线与x轴的交点个数，可转化为判断当y=0时，对应的一元二次方程的实数根的个数，两者是一一对应的关系。我们可以通过一元二次方程根的判别式Δ快速判断实根个数，不需要解方程就能得出结果：先写出y=0对应的一元二次方程，确定方程各项系数，代入判别式公式计算Δ的数值，再根据Δ的符号对应判断交点个数即可。
【解析】
解：令抛物线解析式中y=0，可得一元二次方程：
$x^2+2x-3=0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$
代入根的判别式公式可得：
$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 ＞ 0$
因此该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考察二次函数与一元二次方程的关联，掌握根的判别式符号和抛物线x轴交点个数的对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 已知关于$x$的二次函数$y=(m-1)x^2+3x-1$的图像与$x$轴有交点，则$m$的取值范围是（
A.$m＞-\dfrac{5}{4}$
B.$m≥ -\dfrac{5}{4}$
C.$m＞-\dfrac{5}{4}$且$m≠1$
D.$m≥ -\dfrac{5}{4}$且$m≠1$
D
）A.$m＞-\dfrac{5}{4}$
B.$m≥ -\dfrac{5}{4}$
C.$m＞-\dfrac{5}{4}$且$m≠1$
D.$m≥ -\dfrac{5}{4}$且$m≠1$
答案
2.D
解析
【分析】
首先，题目明确给出是二次函数，因此首先要满足二次函数的定义：二次项系数不为0，即$m-1≠0$。其次，二次函数图像与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，因此根的判别式$\Delta ≥ 0$。联立这两个条件解出m的取值范围即可，注意不要遗漏二次项系数不为0的前提条件。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^2+3x-1$是二次函数
∴二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
∵二次函数图像与x轴有交点
∴对应的一元二次方程$(m-1)x^2+3x-1=0$有实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
其中$a=m-1$，$b=3$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = 3^2 - 4×(m-1)×(-1) = 9 + 4(m-1) = 4m + 5 ≥ 0$
解不等式$4m+5≥0$，得$m≥-\dfrac{5}{4}$
综上，m的取值范围是$m≥-\dfrac{5}{4}$且$m≠1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数定义，根的判别式，函数与方程关系
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略题目中“二次函数”的限定条件，仅通过判别式≥0误选B，因此求解此类问题时要先确认二次项系数不为0的前提，再结合判别式计算参数范围。
【难度系数】
0.7
首先，题目明确给出是二次函数，因此首先要满足二次函数的定义：二次项系数不为0，即$m-1≠0$。其次，二次函数图像与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，因此根的判别式$\Delta ≥ 0$。联立这两个条件解出m的取值范围即可，注意不要遗漏二次项系数不为0的前提条件。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^2+3x-1$是二次函数
∴二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
∵二次函数图像与x轴有交点
∴对应的一元二次方程$(m-1)x^2+3x-1=0$有实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
其中$a=m-1$，$b=3$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = 3^2 - 4×(m-1)×(-1) = 9 + 4(m-1) = 4m + 5 ≥ 0$
解不等式$4m+5≥0$，得$m≥-\dfrac{5}{4}$
综上，m的取值范围是$m≥-\dfrac{5}{4}$且$m≠1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数定义，根的判别式，函数与方程关系
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略题目中“二次函数”的限定条件，仅通过判别式≥0误选B，因此求解此类问题时要先确认二次项系数不为0的前提，再结合判别式计算参数范围。
【难度系数】
0.7
3. 观察下列表格，可知一元二次方程$x^2 - x = 1.2$的一个近似解是 （
A.$x≈0.11$
B.$x≈1.69$
C.$x≈1.71$
D.$x≈1.19$
C
）A.$x≈0.11$
B.$x≈1.69$
C.$x≈1.71$
D.$x≈1.19$
答案
3.C
解析
【分析】
要求一元二次方程$x^2 - x = 1.2$的近似解，本质是找使代数式$x^2 - x$的值等于1.2的$x$。我们可以结合表格给出的对应数据，先判断1.2落在哪两个相邻$x$对应的$x^2 - x$的值之间，确定解的范围，再根据数值的接近程度、结合函数增减性判断具体的近似解。
【解析】
设$y=x^2 - x$，我们需要找到$y=1.2$时对应的$x$的近似值：
1. 观察表格数据：
当$x=1.7$时，$x^2 - x=1.19＜1.2$；
当$x=1.8$时，$x^2 - x=1.44＞1.2$；
可知方程的解在1.7和1.8之间，因此A、D选项不符合要求，排除。
2. 二次函数$y=x^2 - x$的开口向上，对称轴为$x=0.5$，因此在$x＞0.5$时，$y$随$x$的增大而增大。要使$y$从1.19增加到1.2，$x$需要略大于1.7，因此排除小于1.7的B选项$x≈1.69$，只有C选项$x≈1.71$符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程近似解估算
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题考查利用列表法估算一元二次方程的近似解，解题的核心是结合二次函数的增减性，通过代数式的取值范围锁定方程解的范围，再结合数值的接近程度判断近似解，能有效考查对二次函数与一元二次方程关系的理解。
【难度系数】
0.7
要求一元二次方程$x^2 - x = 1.2$的近似解，本质是找使代数式$x^2 - x$的值等于1.2的$x$。我们可以结合表格给出的对应数据，先判断1.2落在哪两个相邻$x$对应的$x^2 - x$的值之间，确定解的范围，再根据数值的接近程度、结合函数增减性判断具体的近似解。
【解析】
设$y=x^2 - x$，我们需要找到$y=1.2$时对应的$x$的近似值：
1. 观察表格数据：
当$x=1.7$时，$x^2 - x=1.19＜1.2$；
当$x=1.8$时，$x^2 - x=1.44＞1.2$；
可知方程的解在1.7和1.8之间，因此A、D选项不符合要求，排除。
2. 二次函数$y=x^2 - x$的开口向上，对称轴为$x=0.5$，因此在$x＞0.5$时，$y$随$x$的增大而增大。要使$y$从1.19增加到1.2，$x$需要略大于1.7，因此排除小于1.7的B选项$x≈1.69$，只有C选项$x≈1.71$符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程近似解估算
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题考查利用列表法估算一元二次方程的近似解，解题的核心是结合二次函数的增减性，通过代数式的取值范围锁定方程解的范围，再结合数值的接近程度判断近似解，能有效考查对二次函数与一元二次方程关系的理解。
【难度系数】
0.7
4. 已知关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^2 - 2kx - (2k + 1) $.
(1) 求证:无论 $ k $ 为何值,该二次函数的图像与 $ x $ 轴都有交点;
(2) 若该二次函数图像的对称轴为直线 $ x = 1 $,求它与 $ x $ 轴的交点坐标.
(1) 求证:无论 $ k $ 为何值,该二次函数的图像与 $ x $ 轴都有交点;
(2) 若该二次函数图像的对称轴为直线 $ x = 1 $,求它与 $ x $ 轴的交点坐标.
答案
(1)证明:
∵$ y=x^2-2kx-(2k+1) $,
∴$ Δ=(-2k)^2-4×1×[-(2k+1)]=4k^2+8k+4=4(k^2+2k+1)=4(k+1)^2 $,
∴$ Δ=4(k+1)^2≥0 $,即无论 $ k $ 为何值,该二次函数的图像与 $ x $ 轴都有交点.
(2)解:
∵$ y=x^2-2kx-(2k+1) $,
∴对称轴为直线 $ x=-\dfrac{-2k}{2×1}=k $.
∵该二次函数 $ y=x^2-2kx-(2k+1) $ 图像的对称轴为直线 $ x=1 $,
∴$ k=1 $,即 $ y=x^2-2×1×x-(2×1+1)=x^2-2x-3 $.
依题意,令 $ y=0 $,则 $ x^2-2x-3=0 $,
∴$ (x-3)(x+1)=0 $,解得 $ x_1=3,x_2=-1 $,
∴它与 $ x $ 轴的交点坐标分别为 $ (3,0)、(-1,0) $.
∵$ y=x^2-2kx-(2k+1) $,
∴$ Δ=(-2k)^2-4×1×[-(2k+1)]=4k^2+8k+4=4(k^2+2k+1)=4(k+1)^2 $,
∴$ Δ=4(k+1)^2≥0 $,即无论 $ k $ 为何值,该二次函数的图像与 $ x $ 轴都有交点.
(2)解:
∵$ y=x^2-2kx-(2k+1) $,
∴对称轴为直线 $ x=-\dfrac{-2k}{2×1}=k $.
∵该二次函数 $ y=x^2-2kx-(2k+1) $ 图像的对称轴为直线 $ x=1 $,
∴$ k=1 $,即 $ y=x^2-2×1×x-(2×1+1)=x^2-2x-3 $.
依题意,令 $ y=0 $,则 $ x^2-2x-3=0 $,
∴$ (x-3)(x+1)=0 $,解得 $ x_1=3,x_2=-1 $,
∴它与 $ x $ 轴的交点坐标分别为 $ (3,0)、(-1,0) $.
解析
【分析】
(1) 要证明二次函数图像与x轴总有交点，根据二次函数和x轴交点的判定规则，只需计算其对应的一元二次方程的判别式Δ，证明Δ≥0即可，因此先写出Δ的表达式，再化简判断符号。
(2) 已知对称轴为直线x=1，首先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出k的值，代入解析式得到具体的二次函数表达式，再令y=0，解对应的一元二次方程，所得的根就是函数图像与x轴交点的横坐标，即可得到交点坐标。
【解析】
(1) 证明：
∵ $y=x^2-2kx-(2k+1)$，
∴ $\Delta=(-2k)^2-4×1×[-(2k+1)]=4k^2+8k+4=4(k^2+2k+1)=4(k+1)^2$，
∴ $\Delta=4(k+1)^2≥0$，即无论$k$为何值，该二次函数的图像与$x$轴都有交点。
(2) 解：
∵ $y=x^2-2kx-(2k+1)$，
∴ 对称轴为直线 $x=-\dfrac{-2k}{2×1}=k$。
∵ 该二次函数图像的对称轴为直线 $x=1$，
∴ $k=1$，代入得函数解析式为 $y=x^2-2×1× x-(2×1+1)=x^2-2x-3$。
依题意，令$y=0$，则 $x^2-2x-3=0$，
∴ $(x-3)(x+1)=0$，解得 $x_1=3,x_2=-1$，
∴ 它与$x$轴的交点坐标分别为 $(3,0)$、$(-1,0)$。
【答案】
(1) 无论k为何值，该二次函数的图像与x轴都有交点，得证；
(2) 与x轴的交点坐标为$\boldsymbol{(3,0)}$、$\boldsymbol{(-1,0)}$。
【知识点】
二次函数判别式应用；二次函数对称轴公式；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础题型，考察二次函数与一元二次方程的关联，掌握判别式的意义、对称轴公式以及二次函数与x轴交点的求解方法是解题的关键，有助于巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明二次函数图像与x轴总有交点，根据二次函数和x轴交点的判定规则，只需计算其对应的一元二次方程的判别式Δ，证明Δ≥0即可，因此先写出Δ的表达式，再化简判断符号。
(2) 已知对称轴为直线x=1，首先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出k的值，代入解析式得到具体的二次函数表达式，再令y=0，解对应的一元二次方程，所得的根就是函数图像与x轴交点的横坐标，即可得到交点坐标。
【解析】
(1) 证明：
∵ $y=x^2-2kx-(2k+1)$，
∴ $\Delta=(-2k)^2-4×1×[-(2k+1)]=4k^2+8k+4=4(k^2+2k+1)=4(k+1)^2$，
∴ $\Delta=4(k+1)^2≥0$，即无论$k$为何值，该二次函数的图像与$x$轴都有交点。
(2) 解：
∵ $y=x^2-2kx-(2k+1)$，
∴ 对称轴为直线 $x=-\dfrac{-2k}{2×1}=k$。
∵ 该二次函数图像的对称轴为直线 $x=1$，
∴ $k=1$，代入得函数解析式为 $y=x^2-2×1× x-(2×1+1)=x^2-2x-3$。
依题意，令$y=0$，则 $x^2-2x-3=0$，
∴ $(x-3)(x+1)=0$，解得 $x_1=3,x_2=-1$，
∴ 它与$x$轴的交点坐标分别为 $(3,0)$、$(-1,0)$。
【答案】
(1) 无论k为何值，该二次函数的图像与x轴都有交点，得证；
(2) 与x轴的交点坐标为$\boldsymbol{(3,0)}$、$\boldsymbol{(-1,0)}$。
【知识点】
二次函数判别式应用；二次函数对称轴公式；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础题型，考察二次函数与一元二次方程的关联，掌握判别式的意义、对称轴公式以及二次函数与x轴交点的求解方法是解题的关键，有助于巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
5. 关于x的二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)$的图像如图所示，则$ax^2+bx+c=m$有实数根的条件是（
A.$m≥-2$
B.$m≥5$
C.$m≥0$
D.$m＞4$
A
）A.$m≥-2$
B.$m≥5$
C.$m≥0$
D.$m＞4$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先将方程有实根的问题转化为函数图象交点问题：$ax^2+bx+c=m$有实数根等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$和直线$y=m$有公共交点。再从图象提取二次函数的关键信息：该抛物线开口向上，存在最小值，观察图象可知顶点纵坐标为-2，即函数最小值为-2，只要$m$不小于这个最小值，直线就和抛物线有交点，对应方程就有实根。
【解析】
解：方程$ax^2+bx+c=m$的实数根，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=m$交点的横坐标。
由图象可得：该二次函数开口向上，顶点坐标为$(4,-2)$，因此二次函数的最小值为$-2$，即函数值的取值范围是$y≥-2$。
当$m≥-2$时，直线$y=m$与二次函数图象有交点，对应$ax^2+bx+c=m$有实数根。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数与一元二次方程；二次函数最值
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是理解方程解的个数和函数图象交点个数的对应关系，结合二次函数最值即可快速得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时先将方程有实根的问题转化为函数图象交点问题：$ax^2+bx+c=m$有实数根等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$和直线$y=m$有公共交点。再从图象提取二次函数的关键信息：该抛物线开口向上，存在最小值，观察图象可知顶点纵坐标为-2，即函数最小值为-2，只要$m$不小于这个最小值，直线就和抛物线有交点，对应方程就有实根。
【解析】
解：方程$ax^2+bx+c=m$的实数根，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=m$交点的横坐标。
由图象可得：该二次函数开口向上，顶点坐标为$(4,-2)$，因此二次函数的最小值为$-2$，即函数值的取值范围是$y≥-2$。
当$m≥-2$时，直线$y=m$与二次函数图象有交点，对应$ax^2+bx+c=m$有实数根。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数与一元二次方程；二次函数最值
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是理解方程解的个数和函数图象交点个数的对应关系，结合二次函数最值即可快速得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6 关于$x$的二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像如图所示，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c-3=0$的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.无实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.无实数根
答案
6.A
解析
【分析】
解题可以从数形结合和判别式两个角度思考：1. 方程$ax^2+bx+c-3=0$可变形为$ax^2+bx+c=3$，它的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=3$交点的横坐标，只需要判断两者的交点个数即可；2. 也可以先根据原二次函数图像得到$b^2-4ac$的取值和$a$的符号，再计算新方程的判别式判断根的情况。
首先观察图像：抛物线开口向上，说明$a＞0$，顶点在x轴上，说明原二次函数最小值为0，且原函数对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，即$b^2-4ac=0$。
【解析】
方法一（数形结合法）：
1. 将方程$ax^2+bx+c-3=0$变形为$ax^2+bx+c=3$，该方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与直线$y=3$交点的横坐标。
2. 由图可知，二次函数开口向上，顶点在x轴上，因此函数的最小值为0。
3. 因为$3＞0$，所以直线$y=3$与抛物线有2个不同的交点，且两个交点都在x轴正半轴，对应方程有两个不相等的正实数根。
4. 分析选项：A符合描述；B选项“两个异号实数根”错误，两个根都是正的；C选项“两个相等的实数根”错误；D选项“无实数根”错误。因此选A。
方法二（判别式法）：
1. 由二次函数图像可知：开口向上，故$a＞0$；顶点在x轴上，说明原二次函数对应的方程$ax^2+bx+c=0$判别式$\Delta_1=b^2-4ac=0$。
2. 方程$ax^2+bx+c-3=0$的判别式$\Delta_2=b^2-4a(c-3)=b^2-4ac+12a$。
3. 代入$b^2-4ac=0$、$a＞0$，得$\Delta_2=0+12a＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。结合图像可知两个根都是正根，排除B，最终选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图像与性质
【点评】
本题将一元二次方程根的问题和二次函数图像结合，核心是理解方程$ax^2+bx+c=k$的根对应抛物线与直线$y=k$的交点横坐标，解题时既可以用数形结合快速判断，也可以通过判别式计算验证，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.8
解题可以从数形结合和判别式两个角度思考：1. 方程$ax^2+bx+c-3=0$可变形为$ax^2+bx+c=3$，它的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=3$交点的横坐标，只需要判断两者的交点个数即可；2. 也可以先根据原二次函数图像得到$b^2-4ac$的取值和$a$的符号，再计算新方程的判别式判断根的情况。
首先观察图像：抛物线开口向上，说明$a＞0$，顶点在x轴上，说明原二次函数最小值为0，且原函数对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，即$b^2-4ac=0$。
【解析】
方法一（数形结合法）：
1. 将方程$ax^2+bx+c-3=0$变形为$ax^2+bx+c=3$，该方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与直线$y=3$交点的横坐标。
2. 由图可知，二次函数开口向上，顶点在x轴上，因此函数的最小值为0。
3. 因为$3＞0$，所以直线$y=3$与抛物线有2个不同的交点，且两个交点都在x轴正半轴，对应方程有两个不相等的正实数根。
4. 分析选项：A符合描述；B选项“两个异号实数根”错误，两个根都是正的；C选项“两个相等的实数根”错误；D选项“无实数根”错误。因此选A。
方法二（判别式法）：
1. 由二次函数图像可知：开口向上，故$a＞0$；顶点在x轴上，说明原二次函数对应的方程$ax^2+bx+c=0$判别式$\Delta_1=b^2-4ac=0$。
2. 方程$ax^2+bx+c-3=0$的判别式$\Delta_2=b^2-4a(c-3)=b^2-4ac+12a$。
3. 代入$b^2-4ac=0$、$a＞0$，得$\Delta_2=0+12a＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。结合图像可知两个根都是正根，排除B，最终选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图像与性质
【点评】
本题将一元二次方程根的问题和二次函数图像结合，核心是理解方程$ax^2+bx+c=k$的根对应抛物线与直线$y=k$的交点横坐标，解题时既可以用数形结合快速判断，也可以通过判别式计算验证，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.8
7 如图，抛物线 $ y = -2x^2 + 8x -6 $ 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作 $ C_1 $，将 $ C_1 $ 向右平移得 $ C_2 $，$ C_2 $ 与x轴交于点B、D。若直线 $ y = x + m $ 与 $ C_1 $、$ C_2 $ 共有3个不同的交点，则m的取值范围是（
A.$ -2 ＜ m ＜ \frac{1}{8} $
B.$ -3 ＜ m ＜ -\frac{7}{4} $
C.$ -3 ＜ m ＜ -2 $
D.$ -3 ＜ m ＜ -\frac{15}{8} $
D
）A.$ -2 ＜ m ＜ \frac{1}{8} $
B.$ -3 ＜ m ＜ -\frac{7}{4} $
C.$ -3 ＜ m ＜ -2 $
D.$ -3 ＜ m ＜ -\frac{15}{8} $
答案
7.D 解析:令 $ y=-2x^2+8x-6=0 $,即 $ x^2-4x+3=0 $,
解得 $ x=1 $ 或 3,则点 $ A(1,0),B(3,0) $.
由于将 $ C_1 $ 向右平移 2 个长度单位得 $ C_2 $,
则 $ C_2 $ 表达式为 $ y=-2(x-4)^2+2(3≤x≤5) $.
当 $ y=x+m_1 $ 与 $ C_2 $ 相切时,
令 $ x+m_1=-2(x-4)^2+2 $,
即 $ 2x^2-15x+30+m_1=0 $.令 $ Δ=-8m_1-15=0 $,
解得 $ m_1=-\dfrac{15}{8} $.
当 $ y=x+m_2 $ 过点 $ B $ 时,即 $ 0=3+m_2,m_2=-3 $.
∴当 $ -3＜m＜-\dfrac{15}{8} $ 时,直线 $ y=x+m $ 与 $ C_1、C_2 $ 共有 3 个不同的交点.故选 D.
解得 $ x=1 $ 或 3,则点 $ A(1,0),B(3,0) $.
由于将 $ C_1 $ 向右平移 2 个长度单位得 $ C_2 $,
则 $ C_2 $ 表达式为 $ y=-2(x-4)^2+2(3≤x≤5) $.
当 $ y=x+m_1 $ 与 $ C_2 $ 相切时,
令 $ x+m_1=-2(x-4)^2+2 $,
即 $ 2x^2-15x+30+m_1=0 $.令 $ Δ=-8m_1-15=0 $,
解得 $ m_1=-\dfrac{15}{8} $.
当 $ y=x+m_2 $ 过点 $ B $ 时,即 $ 0=3+m_2,m_2=-3 $.
∴当 $ -3＜m＜-\dfrac{15}{8} $ 时,直线 $ y=x+m $ 与 $ C_1、C_2 $ 共有 3 个不同的交点.故选 D.
解析
【分析】
解题时首先需要求出原抛物线与x轴的交点A、B的坐标，再根据平移规律得到平移后抛物线C₂的解析式；接下来分析直线与C₁、C₂共3个交点的两个临界状态：一是直线过点B，二是直线与C₂相切，分别求出这两种情况下的m值，即可确定m的取值范围。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
令$ y=-2x^2+8x-6=0 $，化简得$ x^2-4x+3=0 $，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x=1$或$x=3$，因此点$A(1,0)$，$B(3,0)$，可知AB长度为2，即C₁向右平移2个单位得到C₂。
2. 求C₂的解析式：
将原抛物线配方得$y=-2(x-2)^2+2$，向右平移2个单位后，C₂的解析式为$ y=-2(x-4)^2+2 $，定义域为$3≤x≤5$。
3. 求临界m值：
① 当直线$y=x+m$过点$B(3,0)$时，代入得$0=3+m$，解得$m=-3$；
② 当直线$y=x+m$与C₂相切时，联立方程$x+m=-2(x-4)^2+2$，整理得$2x^2-15x+30+m=0$，相切时判别式$\Delta=0$，即$\Delta=(-15)^2-4×2×(30+m)=-15-8m=0$，解得$m=-\frac{15}{8}$。
综上，当$-3＜m＜-\frac{15}{8}$时，直线与$C_1$、$C_2$共有3个不同交点。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移；直线与抛物线交点；判别式应用
【点评】
本题借助数形结合分析交点个数的临界情况，解题关键是先确定平移后抛物线的解析式，再通过“过定点”“相切”两个临界状态求出m的临界值，进而得到取值范围。
【难度系数】
0.4
解题时首先需要求出原抛物线与x轴的交点A、B的坐标，再根据平移规律得到平移后抛物线C₂的解析式；接下来分析直线与C₁、C₂共3个交点的两个临界状态：一是直线过点B，二是直线与C₂相切，分别求出这两种情况下的m值，即可确定m的取值范围。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
令$ y=-2x^2+8x-6=0 $，化简得$ x^2-4x+3=0 $，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x=1$或$x=3$，因此点$A(1,0)$，$B(3,0)$，可知AB长度为2，即C₁向右平移2个单位得到C₂。
2. 求C₂的解析式：
将原抛物线配方得$y=-2(x-2)^2+2$，向右平移2个单位后，C₂的解析式为$ y=-2(x-4)^2+2 $，定义域为$3≤x≤5$。
3. 求临界m值：
① 当直线$y=x+m$过点$B(3,0)$时，代入得$0=3+m$，解得$m=-3$；
② 当直线$y=x+m$与C₂相切时，联立方程$x+m=-2(x-4)^2+2$，整理得$2x^2-15x+30+m=0$，相切时判别式$\Delta=0$，即$\Delta=(-15)^2-4×2×(30+m)=-15-8m=0$，解得$m=-\frac{15}{8}$。
综上，当$-3＜m＜-\frac{15}{8}$时，直线与$C_1$、$C_2$共有3个不同交点。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移；直线与抛物线交点；判别式应用
【点评】
本题借助数形结合分析交点个数的临界情况，解题关键是先确定平移后抛物线的解析式，再通过“过定点”“相切”两个临界状态求出m的临界值，进而得到取值范围。
【难度系数】
0.4
