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8关于$x$的二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的函数值$y$与自变量$x$的四组对应值如表所示：
则方程$ax^2+bx+c=0$有
则方程$ax^2+bx+c=0$有
2
个根。答案
8.2 解析:由表格可知,当 $ x=6.15 $ 时,$ y=0.02 $;
当 $ x=6.18 $ 时,$ y=-0.01 $,$ y $ 从正数变为负数.
当 $ x=6.21 $ 时,$ y=0.02 $,$ y $ 从负数变为正数.
由于二次函数图像是抛物线，
∴方程 $ ax^2+bx+c=0 $ 有 2 个根.
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c=0$的根的个数，首先明确二次函数与一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像与$x$轴交点的横坐标。由于二次函数的图像是连续的抛物线，若某一区间两端点对应的函数值异号，则该区间内一定存在一个$x$使得$y=0$，也就是对应方程的一个根。我们只需观察表格中函数值的正负变化，统计符合要求的区间数量，就能得到根的个数。
【解析】
根据表格给出的对应值：
当$x=6.15$时，$y=0.02＞0$；当$x=6.18$时，$y=-0.01＜0$，函数值由正变为负，说明区间$(6.15,6.18)$内存在一个$x$使得$y=0$，即方程的一个根在该区间内。
当$x=6.18$时，$y=-0.01＜0$；当$x=6.21$时，$y=0.02＞0$，函数值由负变为正，说明区间$(6.18,6.21)$内存在另一个$x$使得$y=0$，即方程的另一个根在该区间内。
二次函数图像为抛物线，最多与$x$轴有2个交点，因此方程$ax^2+bx+c=0$有2个根。
【答案】
2
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的图像性质
【点评】
本题侧重考查二次函数和一元二次方程的对应联系，解题核心是利用二次函数图像连续的特征，通过函数值的正负变化判断方程根的存在，属于基础题，熟练掌握相关知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断方程$ax^2+bx+c=0$的根的个数，首先明确二次函数与一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像与$x$轴交点的横坐标。由于二次函数的图像是连续的抛物线，若某一区间两端点对应的函数值异号，则该区间内一定存在一个$x$使得$y=0$，也就是对应方程的一个根。我们只需观察表格中函数值的正负变化，统计符合要求的区间数量，就能得到根的个数。
【解析】
根据表格给出的对应值：
当$x=6.15$时，$y=0.02＞0$；当$x=6.18$时，$y=-0.01＜0$，函数值由正变为负，说明区间$(6.15,6.18)$内存在一个$x$使得$y=0$，即方程的一个根在该区间内。
当$x=6.18$时，$y=-0.01＜0$；当$x=6.21$时，$y=0.02＞0$，函数值由负变为正，说明区间$(6.18,6.21)$内存在另一个$x$使得$y=0$，即方程的另一个根在该区间内。
二次函数图像为抛物线，最多与$x$轴有2个交点，因此方程$ax^2+bx+c=0$有2个根。
【答案】
2
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的图像性质
【点评】
本题侧重考查二次函数和一元二次方程的对应联系，解题核心是利用二次函数图像连续的特征，通过函数值的正负变化判断方程根的存在，属于基础题，熟练掌握相关知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
9.已知关于$x$的二次函数$y=x^2 - 2mx + m^2 + 4$($m$是常数).
(1)求证:不论$m$为何值,该函数图像与$x$轴没有公共点；
(2)把该函数图像沿$y$轴向下平移多少个单位长度后得到的函数图像与$x$轴只有一个公共点？
(1)求证:不论$m$为何值,该函数图像与$x$轴没有公共点；
(2)把该函数图像沿$y$轴向下平移多少个单位长度后得到的函数图像与$x$轴只有一个公共点？
答案
(1)证明:$ Δ=(-2m)^2-4(m^2+4)=-16＜0 $,
∴不论 $ m $ 为何值,该函数图像与 $ x $ 轴没有公共点.
(2)解:设抛物线沿 $ y $ 轴向下平移 $ k(k＞0) $ 个单位长度后得到的函数图像与 $ x $ 轴只有一个公共点,
则平移后的抛物线表达式为 $ y=x^2-2mx+m^2+4-k $,$ Δ=(-2m)^2-4(m^2+4-k)=0 $,解得 $ k=4 $,
∴把该函数图像沿 $ y $ 轴向下平移 4 个单位长度后得到的函数图像与 $ x $ 轴只有一个公共点.
∴不论 $ m $ 为何值,该函数图像与 $ x $ 轴没有公共点.
(2)解:设抛物线沿 $ y $ 轴向下平移 $ k(k＞0) $ 个单位长度后得到的函数图像与 $ x $ 轴只有一个公共点,
则平移后的抛物线表达式为 $ y=x^2-2mx+m^2+4-k $,$ Δ=(-2m)^2-4(m^2+4-k)=0 $,解得 $ k=4 $,
∴把该函数图像沿 $ y $ 轴向下平移 4 个单位长度后得到的函数图像与 $ x $ 轴只有一个公共点.
解析
【分析】
(1) 要证明二次函数图像与x轴没有公共点，根据二次函数与x轴交点的判定规则：当二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＜0时，函数图像与x轴无交点，因此只需计算该函数的判别式，判断其值恒小于0即可。
(2) 二次函数图像沿y轴向下平移k个单位时，遵循“上加下减”的平移规律，平移后的函数解析式为原解析式减去k；要使平移后的图像与x轴只有一个公共点，即平移后函数对应的一元二次方程判别式Δ=0，代入计算即可求出k的值。
【解析】
(1) 证明：对于二次函数$y=x^2 - 2mx + m^2 + 4$，令$y=0$，可得对应的一元二次方程为$x^2 - 2mx + m^2 + 4=0$，
其判别式$\Delta=(-2m)^2-4×1×(m^2+4)=4m^2-4m^2-16=-16＜0$，
∴不论$m$为何值，该一元二次方程无实数根，即该函数图像与$x$轴没有公共点。
(2) 解：设该函数图像沿$y$轴向下平移$k(k＞0)$个单位长度后，得到的函数图像与$x$轴只有一个公共点。
根据平移规律，平移后的抛物线表达式为$y=x^2 - 2mx + m^2 + 4 - k$，
令$y=0$，可得方程$x^2 - 2mx + m^2 + 4 - k=0$，
此时函数图像与$x$轴只有一个公共点，即该方程有两个相等的实数根，故判别式$\Delta=0$，
即$\Delta=(-2m)^2-4×1×(m^2+4 - k)=0$，
化简得：$4m^2-4m^2-16+4k=0$，解得$k=4$。
【答案】
(1) 不论$m$为何值，该函数图像与$x$轴没有公共点；
(2) 沿$y$轴向下平移4个单位长度。
【知识点】
二次函数与x轴交点判定、二次函数图像平移、判别式的应用
【点评】
本题核心是将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程判别式的符号问题，同时需要熟练掌握函数图像平移的“上加下减”规则，是二次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明二次函数图像与x轴没有公共点，根据二次函数与x轴交点的判定规则：当二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＜0时，函数图像与x轴无交点，因此只需计算该函数的判别式，判断其值恒小于0即可。
(2) 二次函数图像沿y轴向下平移k个单位时，遵循“上加下减”的平移规律，平移后的函数解析式为原解析式减去k；要使平移后的图像与x轴只有一个公共点，即平移后函数对应的一元二次方程判别式Δ=0，代入计算即可求出k的值。
【解析】
(1) 证明：对于二次函数$y=x^2 - 2mx + m^2 + 4$，令$y=0$，可得对应的一元二次方程为$x^2 - 2mx + m^2 + 4=0$，
其判别式$\Delta=(-2m)^2-4×1×(m^2+4)=4m^2-4m^2-16=-16＜0$，
∴不论$m$为何值，该一元二次方程无实数根，即该函数图像与$x$轴没有公共点。
(2) 解：设该函数图像沿$y$轴向下平移$k(k＞0)$个单位长度后，得到的函数图像与$x$轴只有一个公共点。
根据平移规律，平移后的抛物线表达式为$y=x^2 - 2mx + m^2 + 4 - k$，
令$y=0$，可得方程$x^2 - 2mx + m^2 + 4 - k=0$，
此时函数图像与$x$轴只有一个公共点，即该方程有两个相等的实数根，故判别式$\Delta=0$，
即$\Delta=(-2m)^2-4×1×(m^2+4 - k)=0$，
化简得：$4m^2-4m^2-16+4k=0$，解得$k=4$。
【答案】
(1) 不论$m$为何值，该函数图像与$x$轴没有公共点；
(2) 沿$y$轴向下平移4个单位长度。
【知识点】
二次函数与x轴交点判定、二次函数图像平移、判别式的应用
【点评】
本题核心是将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程判别式的符号问题，同时需要熟练掌握函数图像平移的“上加下减”规则，是二次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
10 某班数学兴趣小组对函数 $ y = |x^2 - 2x| $ 的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整。
（1）自变量 $ x $ 的取值范围是全体实数，$ x $ 与 $ y $ 的几组对应值列表如下：
其中，$ m = $
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数图像的另一部分。
（3）进一步探究函数图像解决问题：
①方程 $ |x^2 - 2x| = \frac{1}{2} $ 有
②在（2）中的平面直角坐标系中画出直线 $ y = -x + 1 $，根据图像写出方程 $ |x^2 - 2x| = -x + 1 $ 的一个正数根约为
（1）自变量 $ x $ 的取值范围是全体实数，$ x $ 与 $ y $ 的几组对应值列表如下：
其中，$ m = $
1.25
。（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数图像的另一部分。
（3）进一步探究函数图像解决问题：
①方程 $ |x^2 - 2x| = \frac{1}{2} $ 有
4
个实数根；②在（2）中的平面直角坐标系中画出直线 $ y = -x + 1 $，根据图像写出方程 $ |x^2 - 2x| = -x + 1 $ 的一个正数根约为
0.4
。（精确到 0.1）答案
10.解:(1)1.25
(2)如图1所示。
(3)①由函数图像知函数图像与 $ x=\dfrac{1}{2} $ 有 4 个交点，
∴对应的方程 $ |x^2-2x|=\dfrac{1}{2} $ 有 4 个实数根.
故答案为 4.
②如图 2,由图像和表格可知方程 $ |x^2-2x|=-x+1 $ 的一个正数根约为 0.4,故答案为 0.4.
解析
【分析】
（1）求表格中m的值，只需将m对应的自变量x代入函数解析式$ y = |x^2 - 2x| $，计算即可得到结果；
（2）函数$ y = |x^2 - 2x| $的图像可由二次函数$ y=x^2-2x $得到：将$ y=x^2-2x $图像中x轴下方的部分沿x轴翻折至x轴上方，x轴上方的部分保持不变，据此补充绘制剩余的函数图像即可；
（3）①方程$ |x^2 - 2x| = \frac{1}{2} $的实数根个数，等价于函数$ y = |x^2 - 2x| $与直线$ y=\frac{1}{2} $的交点个数，观察图像数出交点个数即可；
②方程$ |x^2 - 2x| = -x + 1 $的正数根，等价于函数$ y = |x^2 - 2x| $与直线$ y=-x+1 $在x正半轴的交点横坐标，绘制直线后读取近似值即可。
【解析】
（1）将对应x值代入$ y = |x^2 - 2x| $计算，可得$m=1.25$；
（2）根据绝对值函数的图像翻折规则，补充完整函数图像，如图1所示；
（3）①观察函数$ y = |x^2 - 2x| $的图像，其与直线$ y=\frac{1}{2} $共有4个交点，因此方程$ |x^2 - 2x| = \frac{1}{2} $有4个实数根；
②绘制直线$ y=-x+1 $，观察可得它与函数图像在正半轴的交点横坐标约为0.4，因此方程的一个正数根约为0.4，如图2所示。
【答案】
（1）$\boldsymbol{1.25}$
（2）
（3）①$\boldsymbol{4}$；②$\boldsymbol{0.4}$
【知识点】
绝对值二次函数的图像，函数与方程的关系，数形结合思想
【点评】
本题结合绝对值二次函数的图像探究，考查了函数图像的绘制、函数交点与方程根的对应关系，解题时利用数形结合的方法可以快速得到结果，是函数类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
（1）求表格中m的值，只需将m对应的自变量x代入函数解析式$ y = |x^2 - 2x| $，计算即可得到结果；
（2）函数$ y = |x^2 - 2x| $的图像可由二次函数$ y=x^2-2x $得到：将$ y=x^2-2x $图像中x轴下方的部分沿x轴翻折至x轴上方，x轴上方的部分保持不变，据此补充绘制剩余的函数图像即可；
（3）①方程$ |x^2 - 2x| = \frac{1}{2} $的实数根个数，等价于函数$ y = |x^2 - 2x| $与直线$ y=\frac{1}{2} $的交点个数，观察图像数出交点个数即可；
②方程$ |x^2 - 2x| = -x + 1 $的正数根，等价于函数$ y = |x^2 - 2x| $与直线$ y=-x+1 $在x正半轴的交点横坐标，绘制直线后读取近似值即可。
【解析】
（1）将对应x值代入$ y = |x^2 - 2x| $计算，可得$m=1.25$；
（2）根据绝对值函数的图像翻折规则，补充完整函数图像，如图1所示；
（3）①观察函数$ y = |x^2 - 2x| $的图像，其与直线$ y=\frac{1}{2} $共有4个交点，因此方程$ |x^2 - 2x| = \frac{1}{2} $有4个实数根；
②绘制直线$ y=-x+1 $，观察可得它与函数图像在正半轴的交点横坐标约为0.4，因此方程的一个正数根约为0.4，如图2所示。
【答案】
（1）$\boldsymbol{1.25}$
（2）
（3）①$\boldsymbol{4}$；②$\boldsymbol{0.4}$
【知识点】
绝对值二次函数的图像，函数与方程的关系，数形结合思想
【点评】
本题结合绝对值二次函数的图像探究，考查了函数图像的绘制、函数交点与方程根的对应关系，解题时利用数形结合的方法可以快速得到结果，是函数类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
