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1.如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间满足函数关系$h=20t-5t^2$.则小球从飞出到落地瞬间所需要的时间为 （
A.2秒
B.3秒
C.4秒
D.5秒
C
）A.2秒
B.3秒
C.4秒
D.5秒
答案
1.C
解析
【分析】
要计算小球从飞出到落地的总时间，首先明确小球飞出瞬间和落地瞬间的飞行高度h都为0，因此只需将h=0代入给出的二次函数关系式，解关于t的一元二次方程，舍去代表飞出时刻的t=0的解，剩余的正解就是所求的总时间。
【解析】
解：当小球落地时，飞行高度$h=0$，将$h=0$代入函数$h=20t-5t^2$，可得：
$0=20t-5t^2$
整理得：$5t^2-20t=0$
因式分解得：$5t(t-4)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=4$
其中$t=0$对应小球刚飞出的时刻，因此小球从飞出到落地需要的时间为4秒。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的基础应用题，解题核心是抓住实际场景中“落地”对应的数学特征（高度为0），将实际问题转化为一元二次方程求解问题，同时要注意检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
要计算小球从飞出到落地的总时间，首先明确小球飞出瞬间和落地瞬间的飞行高度h都为0，因此只需将h=0代入给出的二次函数关系式，解关于t的一元二次方程，舍去代表飞出时刻的t=0的解，剩余的正解就是所求的总时间。
【解析】
解：当小球落地时，飞行高度$h=0$，将$h=0$代入函数$h=20t-5t^2$，可得：
$0=20t-5t^2$
整理得：$5t^2-20t=0$
因式分解得：$5t(t-4)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=4$
其中$t=0$对应小球刚飞出的时刻，因此小球从飞出到落地需要的时间为4秒。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的基础应用题，解题核心是抓住实际场景中“落地”对应的数学特征（高度为0），将实际问题转化为一元二次方程求解问题，同时要注意检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
2. 某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获营业额$y$(元)与旅行团人数$x$(人)满足表达式$y=-2x^2+200x+2500$，要使所获营业额最大，则此旅行团应有 （
A.30人
B.40人
C.50人
D.55人
C
）A.30人
B.40人
C.50人
D.55人
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的最值求解。首先明确营业额y是关于人数x的二次函数，二次项系数为-2＜0，因此抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值，只需计算顶点的横坐标即可得到对应旅行团的人数。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，本题中$a=-2$，$b=200$，$c=2500$。
$\because a=-2＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，函数存在最大值，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最大值。
代入数值计算：
$x=-\frac{200}{2×(-2)}=50$
即旅行团人数为50人时，所获营业额最大，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数最值；二次函数实际应用；二次函数图象性质
【点评】
本题属于基础题型，将二次函数知识与生活实际结合，解题关键是根据二次项系数判断函数最值的位置，熟练掌握顶点坐标公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数在实际问题中的最值求解。首先明确营业额y是关于人数x的二次函数，二次项系数为-2＜0，因此抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值，只需计算顶点的横坐标即可得到对应旅行团的人数。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，本题中$a=-2$，$b=200$，$c=2500$。
$\because a=-2＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，函数存在最大值，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最大值。
代入数值计算：
$x=-\frac{200}{2×(-2)}=50$
即旅行团人数为50人时，所获营业额最大，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数最值；二次函数实际应用；二次函数图象性质
【点评】
本题属于基础题型，将二次函数知识与生活实际结合，解题关键是根据二次项系数判断函数最值的位置，熟练掌握顶点坐标公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 周长为12的矩形窗户，当面积最大时，其一边长为 （
A.3
B.6
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6}$
A
）A.3
B.6
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6}$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先明确我们需要将矩形面积转化为关于边长的函数，再求最值：第一步设矩形的一边长为未知数，结合周长公式表示出相邻边的长度；第二步根据矩形面积公式写出面积与边长的函数关系式；第三步利用二次函数的最值性质，求出面积最大时对应的边长即可。
【解析】
设矩形窗户的一边长为$ x $（$ 0＜x＜6 $），
已知矩形周长为12，根据矩形周长公式可得相邻边长为：$ \frac{12}{2}-x=6-x $。
设矩形面积为$ S $，由矩形面积公式得：
$ S=x(6-x)=-x^2+6x $
该函数是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，对于二次函数$ y=ax^2+bx+c(a≠0) $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，此处$ a=-1,b=6 $，代入得：
$ x=-\frac{6}{2×(-1)}=3 $
即当一边长为3时，矩形面积最大。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的最值，矩形周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，既可以通过建立二次函数模型求解，也可以直接利用“周长固定的矩形，为正方形时面积最大”的结论快速判断，解题核心是建立面积与边长的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确我们需要将矩形面积转化为关于边长的函数，再求最值：第一步设矩形的一边长为未知数，结合周长公式表示出相邻边的长度；第二步根据矩形面积公式写出面积与边长的函数关系式；第三步利用二次函数的最值性质，求出面积最大时对应的边长即可。
【解析】
设矩形窗户的一边长为$ x $（$ 0＜x＜6 $），
已知矩形周长为12，根据矩形周长公式可得相邻边长为：$ \frac{12}{2}-x=6-x $。
设矩形面积为$ S $，由矩形面积公式得：
$ S=x(6-x)=-x^2+6x $
该函数是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，对于二次函数$ y=ax^2+bx+c(a≠0) $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，此处$ a=-1,b=6 $，代入得：
$ x=-\frac{6}{2×(-1)}=3 $
即当一边长为3时，矩形面积最大。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的最值，矩形周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，既可以通过建立二次函数模型求解，也可以直接利用“周长固定的矩形，为正方形时面积最大”的结论快速判断，解题核心是建立面积与边长的对应关系。
【难度系数】
0.8
4. 某种礼炮的升空高度$h$(m)与飞行时间$t$(s)的表达式是$h=-\dfrac{5}{2}t^2 + 30t + 1$，则这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
6
s.答案
4.6
解析
【分析】
礼炮升空高度h是飞行时间t的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，最高点对应抛物线的顶点，顶点的横坐标就是点火到引爆的时间。解题时先确定二次函数的a、b值，再代入顶点横坐标公式$t=-\dfrac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
已知礼炮高度与时间的函数表达式为$h=-\dfrac{5}{2}t^2 + 30t + 1$，其中二次项系数$a=-\dfrac{5}{2}$，一次项系数$b=30$。
因为$a=-\dfrac{5}{2}＜0$，所以该二次函数图象开口向下，顶点为函数的最大值点，也就是礼炮的最高点，顶点对应的横坐标t即为所求时间。
根据二次函数顶点横坐标公式：
$t=-\dfrac{b}{2a}$
代入$a=-\dfrac{5}{2}$、$b=30$得：
$t=-\dfrac{30}{2×(-\dfrac{5}{2})}=\dfrac{30}{5}=6$
【答案】
6
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的应用，顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，解题核心是将实际问题中的“最高点”转化为二次函数的顶点特征，熟练运用顶点坐标公式即可快速求出结果。
【难度系数】
0.7
礼炮升空高度h是飞行时间t的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，最高点对应抛物线的顶点，顶点的横坐标就是点火到引爆的时间。解题时先确定二次函数的a、b值，再代入顶点横坐标公式$t=-\dfrac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
已知礼炮高度与时间的函数表达式为$h=-\dfrac{5}{2}t^2 + 30t + 1$，其中二次项系数$a=-\dfrac{5}{2}$，一次项系数$b=30$。
因为$a=-\dfrac{5}{2}＜0$，所以该二次函数图象开口向下，顶点为函数的最大值点，也就是礼炮的最高点，顶点对应的横坐标t即为所求时间。
根据二次函数顶点横坐标公式：
$t=-\dfrac{b}{2a}$
代入$a=-\dfrac{5}{2}$、$b=30$得：
$t=-\dfrac{30}{2×(-\dfrac{5}{2})}=\dfrac{30}{5}=6$
【答案】
6
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的应用，顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，解题核心是将实际问题中的“最高点”转化为二次函数的顶点特征，熟练运用顶点坐标公式即可快速求出结果。
【难度系数】
0.7
5.某公司销售一种藜麦,成本价为30元/千克,若以35元/千克的价格销售,每天可售出450千克.当售价每涨0.5元/千克时,日销售量就会减少15千克.设当日销售单价为x(元/千克)(x≥30,且x是按0.5的倍数上涨),当日销售量为y(千克).有下列说法:
①当$x=36$时,$y=420$;
②$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-30x+1500$;
③若使日销售利润为2880元,且销售量较大,则日销售单价应定为42元/千克;
④若使日销售利润最大,销售价格应定为40元/千克.
其中正确的是 (
A.①②
B.①②④
C.①②③
D.②④
①当$x=36$时,$y=420$;
②$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-30x+1500$;
③若使日销售利润为2880元,且销售量较大,则日销售单价应定为42元/千克;
④若使日销售利润最大,销售价格应定为40元/千克.
其中正确的是 (
B
)A.①②
B.①②④
C.①②③
D.②④
答案
5.B
解析
【分析】
这是一道销售类的函数应用问题，解题时需先明确销售量与销售单价的关系，再结合“总利润=单利润×销售量”的公式，逐个验证4个说法是否正确：①直接代入单价计算对应销售量；②推导销售量y与单价x的函数表达式；③根据利润列方程求解后，结合“销售量较大”的要求选择对应单价；④利用二次函数性质求利润最大值对应的单价即可。
【解析】
我们逐个判断各说法的正确性：
1. 验证说法①：当x=36时，单价比35元上涨了$36-35=1$元，已知每涨0.5元销量减少15千克，因此销量共减少$1÷0.5×15=30$千克，可得$y=450-30=420$，故①正确。
2. 验证说法②：由题意可知，单价每上涨1元，销量减少$15÷0.5=30$千克，因此销售量的表达式为：
$y=450-30(x-35)$
化简得$y=-30x+1500$（$x≥30$），故②正确。
3. 验证说法③：日销售利润$W=(x-30)y$，令$W=2880$，代入$y=-30x+1500$得：
$(x-30)(-30x+1500)=2880$
整理得$x^2-80x+1596=0$
解得$x_1=38$，$x_2=42$
若要销售量较大，由于$y$随$x$增大而减小，因此应选择更小的单价$x=38$，不是42元，故③错误。
4. 验证说法④：利润的表达式为：
$W=(x-30)(-30x+1500)=-30x^2+2400x-45000$
这是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2400}{2×(-30)}=40$，即销售单价为40元时日利润最大，故④正确。
综上，①②④正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数应用，一元二次方程应用，二次函数应用
【点评】
本题结合生活中的销售场景，考查了函数与方程的综合应用，解题的关键是理清单价、销量、利润之间的数量关系，结合函数性质灵活求解。
【难度系数】
0.7
这是一道销售类的函数应用问题，解题时需先明确销售量与销售单价的关系，再结合“总利润=单利润×销售量”的公式，逐个验证4个说法是否正确：①直接代入单价计算对应销售量；②推导销售量y与单价x的函数表达式；③根据利润列方程求解后，结合“销售量较大”的要求选择对应单价；④利用二次函数性质求利润最大值对应的单价即可。
【解析】
我们逐个判断各说法的正确性：
1. 验证说法①：当x=36时，单价比35元上涨了$36-35=1$元，已知每涨0.5元销量减少15千克，因此销量共减少$1÷0.5×15=30$千克，可得$y=450-30=420$，故①正确。
2. 验证说法②：由题意可知，单价每上涨1元，销量减少$15÷0.5=30$千克，因此销售量的表达式为：
$y=450-30(x-35)$
化简得$y=-30x+1500$（$x≥30$），故②正确。
3. 验证说法③：日销售利润$W=(x-30)y$，令$W=2880$，代入$y=-30x+1500$得：
$(x-30)(-30x+1500)=2880$
整理得$x^2-80x+1596=0$
解得$x_1=38$，$x_2=42$
若要销售量较大，由于$y$随$x$增大而减小，因此应选择更小的单价$x=38$，不是42元，故③错误。
4. 验证说法④：利润的表达式为：
$W=(x-30)(-30x+1500)=-30x^2+2400x-45000$
这是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2400}{2×(-30)}=40$，即销售单价为40元时日利润最大，故④正确。
综上，①②④正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数应用，一元二次方程应用，二次函数应用
【点评】
本题结合生活中的销售场景，考查了函数与方程的综合应用，解题的关键是理清单价、销量、利润之间的数量关系，结合函数性质灵活求解。
【难度系数】
0.7
6如图，要在夹角为$30°$的两条小路OA与OB形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边OA和OB上取点P和点Q，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）。若OP和OQ两段篱笆的总长为8米，则当OP=
4
米时，该花坛POQ的面积最大。答案
6.4 解析:设 OP 长为 x 米,则 OQ 长为(8-x)米.
∵∠POQ=30°,
∴点 P 到 OQ 的距离是$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}x$米,
∴$S_{△ POQ}=\frac{(8-x)· \frac{1}{2}x}{2}=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$,
∴当 x=4 时,$S_{△ POQ}$取得最大值,即 OP=4 米时,该花坛 POQ 的面积最大,故答案为 4.
∵∠POQ=30°,
∴点 P 到 OQ 的距离是$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}x$米,
∴$S_{△ POQ}=\frac{(8-x)· \frac{1}{2}x}{2}=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$,
∴当 x=4 时,$S_{△ POQ}$取得最大值,即 OP=4 米时,该花坛 POQ 的面积最大,故答案为 4.
解析
【分析】
要解决三角形花坛面积最大的问题，我们可以按以下思路思考：首先，已知OP与OQ的总长为8米，可设OP的长度为x米，进而用x表示出OQ的长度；其次，结合∠POQ=30°的条件，利用含30°角的直角三角形的性质，求出点P到OB边的高；再根据三角形面积公式，将△POQ的面积表示为关于x的函数；最后利用二次函数的最值性质，求出面积最大时对应的x值，即为OP的长度。
【解析】
解：设OP的长为x米，则OQ的长为(8-x)米。
∵∠POQ=30°，
∴点P到OQ（即OB边）的距离为$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}x$米，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ POQ}=\frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × (8-x) × \frac{1}{2}x$
整理得：$S=-\frac{1}{4}x^2 + 2x$
配方得：$S=-\frac{1}{4}(x-4)^2 + 4$
∵二次项系数$-\frac{1}{4}＜0$，函数图象开口向下，
∴当x=4时，$S_{△ POQ}$取得最大值，即此时花坛的面积最大。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的应用；三角形面积计算；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，核心是将几何中的面积最值问题转化为二次函数的最值问题，解题的关键是正确结合几何性质写出面积关于变量的函数表达式，能很好地考察学生的知识迁移与综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决三角形花坛面积最大的问题，我们可以按以下思路思考：首先，已知OP与OQ的总长为8米，可设OP的长度为x米，进而用x表示出OQ的长度；其次，结合∠POQ=30°的条件，利用含30°角的直角三角形的性质，求出点P到OB边的高；再根据三角形面积公式，将△POQ的面积表示为关于x的函数；最后利用二次函数的最值性质，求出面积最大时对应的x值，即为OP的长度。
【解析】
解：设OP的长为x米，则OQ的长为(8-x)米。
∵∠POQ=30°，
∴点P到OQ（即OB边）的距离为$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}x$米，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ POQ}=\frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × (8-x) × \frac{1}{2}x$
整理得：$S=-\frac{1}{4}x^2 + 2x$
配方得：$S=-\frac{1}{4}(x-4)^2 + 4$
∵二次项系数$-\frac{1}{4}＜0$，函数图象开口向下，
∴当x=4时，$S_{△ POQ}$取得最大值，即此时花坛的面积最大。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的应用；三角形面积计算；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，核心是将几何中的面积最值问题转化为二次函数的最值问题，解题的关键是正确结合几何性质写出面积关于变量的函数表达式，能很好地考察学生的知识迁移与综合运用能力。
【难度系数】
0.7
