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7. 如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=AH=CF=CG，已知AB=a，BC=b.
(1)若$\frac{b}{3} ≤ a ≤ 3b$时，求四边形EFGH的面积的最大值；
(2)在(1)的条件下，若a=4，b=16，求四边形EFGH的面积的最大值.
(1)若$\frac{b}{3} ≤ a ≤ 3b$时，求四边形EFGH的面积的最大值；
(2)在(1)的条件下，若a=4，b=16，求四边形EFGH的面积的最大值.
答案
7.解:(1)设 AE=x.
∵矩形 ABCD,
∴∠A=∠D=∠B=∠C=90°,AB=CD,AD=BC. 又
∵AE=AH=CF=CG,
∴△AEH≌△CGF,BE=DG,HD=BF,
∴△BEF≌△DGH,
∴$S_{四边形EFGH}=S_{矩形ABCD}-2S_{△ AEH}-2S_{△ BEF}=ab-2×\frac{1}{2}x^2-2×\frac{1}{2}(a-x)(b-x)=ab-x^2-(ab-ax-bx+x^2)=-2x^2+(a+b)x$.
∵-2＜0,
∴当$x=\frac{a+b}{4}$时,$S_{四边形EFGH}$有最大值.
又
∵$\frac{b}{3}≤a≤3b,0＜x≤a,\frac{a+b}{4}$在此范围内,
∴四边形 EFGH 的面积的最大值为$\frac{-(a+b)^2}{4×(-2)}=\frac{(a+b)^2}{8}$.
(2)当 a=4,b=16 时,四边形 EFGH 的面积=$-2x^2+20x=-2(x-5)^2+50$.
∵x≤b,x≤a,
∴x≤4. 又
∵-2＜0,
∴当 x=4 时,四边形 EFGH 的面积取最大值为 48.
∵矩形 ABCD,
∴∠A=∠D=∠B=∠C=90°,AB=CD,AD=BC. 又
∵AE=AH=CF=CG,
∴△AEH≌△CGF,BE=DG,HD=BF,
∴△BEF≌△DGH,
∴$S_{四边形EFGH}=S_{矩形ABCD}-2S_{△ AEH}-2S_{△ BEF}=ab-2×\frac{1}{2}x^2-2×\frac{1}{2}(a-x)(b-x)=ab-x^2-(ab-ax-bx+x^2)=-2x^2+(a+b)x$.
∵-2＜0,
∴当$x=\frac{a+b}{4}$时,$S_{四边形EFGH}$有最大值.
又
∵$\frac{b}{3}≤a≤3b,0＜x≤a,\frac{a+b}{4}$在此范围内,
∴四边形 EFGH 的面积的最大值为$\frac{-(a+b)^2}{4×(-2)}=\frac{(a+b)^2}{8}$.
(2)当 a=4,b=16 时,四边形 EFGH 的面积=$-2x^2+20x=-2(x-5)^2+50$.
∵x≤b,x≤a,
∴x≤4. 又
∵-2＜0,
∴当 x=4 时,四边形 EFGH 的面积取最大值为 48.
解析
【分析】
本题求解不规则四边形EFGH的面积最值，可采用割补法转化为易求的面积计算：首先利用矩形的性质和已知的等边条件，证明四个角的直角三角形两两全等，再设AE=x，将四边形面积表示为关于x的二次函数，最后结合二次函数的开口方向、对称轴以及x的取值范围求解最值。需注意：二次函数求最值时，必须先判断对称轴是否在自变量的取值范围内，再决定取顶点值还是端点值。
【解析】
(1) 设$AE=x$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，$AB=CD=a$，$AD=BC=b$。
又
∵$AE=AH=CF=CG=x$，
∴$BE=AB-AE=a-x$，$BF=BC-CF=b-x$，$DG=CD-CG=a-x$，$HD=AD-AH=b-x$，
可得$△ AEH ≌ △ CGF$，$△ BEF ≌ △ DGH$。
则四边形EFGH的面积为矩形面积减去四个三角形的面积：
$S_{四边形EFGH}=S_{矩形ABCD}-2S_{△ AEH}-2S_{△ BEF}$
$=ab - 2× \frac{1}{2}x^2 - 2× \frac{1}{2}(a-x)(b-x)$
$=ab -x^2 -(ab -ax -bx +x^2)$
$=-2x^2 +(a+b)x$。
∵二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，
∴当$x=\frac{a+b}{4}$时，$S_{四边形EFGH}$取得最大值。
结合条件$\frac{b}{3}≤ a≤ 3b$，可推导得$0＜\frac{a+b}{4}≤ \min(a,b)$，即对称轴在x的允许取值范围内，
代入顶点最值公式得最大值为：$\frac{4×(-2)×0 -(a+b)^2}{4×(-2)}=\frac{(a+b)^2}{8}$。
(2) 当$a=4$，$b=16$时，代入面积表达式得：
$S=-2x^2 +(4+16)x=-2x^2 +20x=-2(x-5)^2 +50$。
∵x是AE的长，$0＜x≤ AB=4$，且函数在$x＜5$时随x的增大而增大，
∴当$x=4$时，S取得最大值，代入得：
$S=-2×4^2 +20×4=-32+80=48$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{(a+b)^2}{8}}$；(2) $\boldsymbol{48}$
【知识点】
二次函数的应用；矩形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，解题核心是通过割补法将不规则四边形的面积转化为二次函数解析式，求解最值时要特别注意自变量的实际取值范围，不能盲目套用顶点公式，需先判断对称轴与取值范围的位置关系再确定最值点。
【难度系数】
0.6
本题求解不规则四边形EFGH的面积最值，可采用割补法转化为易求的面积计算：首先利用矩形的性质和已知的等边条件，证明四个角的直角三角形两两全等，再设AE=x，将四边形面积表示为关于x的二次函数，最后结合二次函数的开口方向、对称轴以及x的取值范围求解最值。需注意：二次函数求最值时，必须先判断对称轴是否在自变量的取值范围内，再决定取顶点值还是端点值。
【解析】
(1) 设$AE=x$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，$AB=CD=a$，$AD=BC=b$。
又
∵$AE=AH=CF=CG=x$，
∴$BE=AB-AE=a-x$，$BF=BC-CF=b-x$，$DG=CD-CG=a-x$，$HD=AD-AH=b-x$，
可得$△ AEH ≌ △ CGF$，$△ BEF ≌ △ DGH$。
则四边形EFGH的面积为矩形面积减去四个三角形的面积：
$S_{四边形EFGH}=S_{矩形ABCD}-2S_{△ AEH}-2S_{△ BEF}$
$=ab - 2× \frac{1}{2}x^2 - 2× \frac{1}{2}(a-x)(b-x)$
$=ab -x^2 -(ab -ax -bx +x^2)$
$=-2x^2 +(a+b)x$。
∵二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，
∴当$x=\frac{a+b}{4}$时，$S_{四边形EFGH}$取得最大值。
结合条件$\frac{b}{3}≤ a≤ 3b$，可推导得$0＜\frac{a+b}{4}≤ \min(a,b)$，即对称轴在x的允许取值范围内，
代入顶点最值公式得最大值为：$\frac{4×(-2)×0 -(a+b)^2}{4×(-2)}=\frac{(a+b)^2}{8}$。
(2) 当$a=4$，$b=16$时，代入面积表达式得：
$S=-2x^2 +(4+16)x=-2x^2 +20x=-2(x-5)^2 +50$。
∵x是AE的长，$0＜x≤ AB=4$，且函数在$x＜5$时随x的增大而增大，
∴当$x=4$时，S取得最大值，代入得：
$S=-2×4^2 +20×4=-32+80=48$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{(a+b)^2}{8}}$；(2) $\boldsymbol{48}$
【知识点】
二次函数的应用；矩形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，解题核心是通过割补法将不规则四边形的面积转化为二次函数解析式，求解最值时要特别注意自变量的实际取值范围，不能盲目套用顶点公式，需先判断对称轴与取值范围的位置关系再确定最值点。
【难度系数】
0.6
8 城建部门计划修建一条喷泉步行通道.图1是项目示意图.步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置,另一侧是方形水池.图2是喷水时的示意图.喷水装置OA的高度是2米,水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内.当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B,此时距路面的最大高度为3.6米.为避免溅起的水雾影响通道上的行人,计划安装一个透明的倾斜防水罩.防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处,另一端与路面的垂直高度NC为1.8米,且与喷泉水流的水平距离ND为0.3米.点C到水池外壁的水平距离CE=0.6米,求步行通道的宽OE.(结果精确到0.1米,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$)
答案
8.解:如图,以点 O 为坐标原点,OC 所在直线为 x 轴,OA 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,由题意知 A(0,2),B(2,3.6).
∵抛物线的最高点为 B,
∴设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+3.6$.
把 A(0,2)代入,得 4a+3.6=2,解得 a=-0.4,
∴抛物线的表达式为$y=-0.4(x-2)^2+3.6$.
当 y=1.8 时,$-0.4(x-2)^2+3.6=1.8$,
解得$x=2\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
∵点 D 在第一象限,
∴$D(2+\frac{3\sqrt{2}}{2},1.8)$,
∴$OE=x_D-DN-CE≈2+\frac{3×1.41}{2}-0.3-0.6≈3.2$(米).
答:步行通道的宽 OE 的长约为 3.2 米.
解析
【分析】
解决本题需将实际问题转化为二次函数问题求解，思路如下：首先根据题意建立合适的平面直角坐标系，确定已知点的坐标；由于已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式设抛物线解析式，代入已知点坐标求出解析式；再根据防水罩的高度确定对应点的纵坐标，代入解析式求出对应横坐标；最后结合题中给出的水平距离的数量关系，通过线段和差计算出OE的长度，计算时代入参考数据取近似值即可。
【解析】
如图，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意知A(0,2)，B(2,3.6)。
∵抛物线的最高点为B，
∴设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+3.6$。
把A(0,2)代入，得 4a+3.6=2，解得 a=-0.4，
∴抛物线的表达式为$y=-0.4(x-2)^2+3.6$。
当 y=1.8 时，$-0.4(x-2)^2+3.6=1.8$，
解得$x=2\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
∵点D在第一象限，
∴$D(2+\frac{3\sqrt{2}}{2},1.8)$，
∴$OE=x_D-DN-CE≈2+\frac{3×1.41}{2}-0.3-0.6≈3.2$(米)。
【答案】
步行通道的宽OE的长约为3.2米。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数顶点式；二次函数求值
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题关键是建立合适的坐标系将实际问题转化为数学问题，同时需准确提取题中的数量关系，计算时注意近似值的精度要求。
【难度系数】
0.6
解决本题需将实际问题转化为二次函数问题求解，思路如下：首先根据题意建立合适的平面直角坐标系，确定已知点的坐标；由于已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式设抛物线解析式，代入已知点坐标求出解析式；再根据防水罩的高度确定对应点的纵坐标，代入解析式求出对应横坐标；最后结合题中给出的水平距离的数量关系，通过线段和差计算出OE的长度，计算时代入参考数据取近似值即可。
【解析】
如图，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意知A(0,2)，B(2,3.6)。
∵抛物线的最高点为B，
∴设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+3.6$。
把A(0,2)代入，得 4a+3.6=2，解得 a=-0.4，
∴抛物线的表达式为$y=-0.4(x-2)^2+3.6$。
当 y=1.8 时，$-0.4(x-2)^2+3.6=1.8$，
解得$x=2\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
∵点D在第一象限，
∴$D(2+\frac{3\sqrt{2}}{2},1.8)$，
∴$OE=x_D-DN-CE≈2+\frac{3×1.41}{2}-0.3-0.6≈3.2$(米)。
【答案】
步行通道的宽OE的长约为3.2米。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数顶点式；二次函数求值
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题关键是建立合适的坐标系将实际问题转化为数学问题，同时需准确提取题中的数量关系，计算时注意近似值的精度要求。
【难度系数】
0.6
