9 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.
如图，在平面直角坐标系中，点 A、C 在 x 轴上，球网 AB 与 y 轴的水平距离 OA＝3 m，CA＝2 m，击球点 P 在 y 轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)近似满足一次函数关系$y=-0.4x+2.8$；若选择吊球，羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)近似满足二次函数关系$y=a(x-1)^2+3.2$.
(1)求点 P 的坐标和 a 的值；
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到点 C 的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$)

9.解:(1)在 y=-0.4x+2.8 中,
令 x=0,得 y=2.8.
∴点 P 的坐标为(0,2.8).
把 P(0,2.8)代入$y=a(x-1)^2+3.2$,得 a+3.2=2.8,解得 a=-0.4,
∴a 的值是-0.4.
(2)
∵OA=3 m,CA=2 m,
∴OC=5 m,
∴C(5,0).
在 y=-0.4x+2.8 中,令 y=0,得 x=7;
在$y=-0.4(x-1)^2+3.2$中,
令 y=0,
得$x=-2\sqrt{2}+1$(舍去)或$x=2\sqrt{2}+1≈3.82$.
∵|7-5|＞|3.82-5|,
∴选择吊球方式,球的落地点到点 C 的距离更近.

【分析】
（1）已知击球点P在y轴上，横坐标为0，将x=0代入扣球对应的一次函数解析式即可求出P点纵坐标，得到P点坐标；再将P点坐标代入吊球对应的二次函数解析式，解关于a的一元一次方程即可求出a的值。
（2）首先根据OA、CA的长度计算OC的长度，得到C点坐标；落地点的高度为0，因此分别令两个函数的y=0，求解对应的x值即得到两种击球方式落地点的横坐标，再分别计算两个横坐标到C点横坐标5的距离，比较距离大小即可判断哪种击球方式符合要求。
【解析】
(1) 在一次函数$y=-0.4x+2.8$中，令$x=0$，得：
$y=-0.4×0+2.8=2.8$
∴点P的坐标为$(0,2.8)$。
将$P(0,2.8)$代入二次函数$y=a(x-1)^2+3.2$，得：
$a×(0-1)^2+3.2=2.8$
即$a+3.2=2.8$，解得$a=-0.4$。
(2) 由题意得$OC=OA+CA=3+2=5(\mathrm{m})$，
∴$C(5,0)$。
① 求扣球落地点：在$y=-0.4x+2.8$中，令$y=0$，得：
$0=-0.4x+2.8$，解得$x=7$，
扣球落地点到C的距离为$|7-5|=2(\mathrm{m})$。
② 求吊球落地点：将$a=-0.4$代入二次函数得$y=-0.4(x-1)^2+3.2$，令$y=0$，得：
$0=-0.4(x-1)^2+3.2$
整理得$(x-1)^2=8$，解得$x=1+2\sqrt{2}$或$x=1-2\sqrt{2}$（水平距离为正，舍去）。
代入$\sqrt{2}\approx1.41$得$x\approx1+2×1.41=3.82$，
吊球落地点到C的距离为$|3.82-5|=1.18(\mathrm{m})$。
∵$2＞1.18$，
∴吊球的落地点到C的距离更近。
【答案】
(1) $P(0,2.8)$，$a=-0.4$；
(2) 应选择吊球方式。
【知识点】
一次函数应用，二次函数应用，函数与方程
【点评】
本题结合体育运动场景考查函数的实际应用，解题核心是明确坐标的实际含义，掌握求函数与坐标轴交点的方法，能将实际问题转化为函数计算问题，很好地考查了知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7

10某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度$OM=12$米，顶点$P$到底部$OM$的距离为9米.将该抛物线放入平面直角坐标系中，点$M$在$x$轴上.其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形内部支架（由线段$AB$、$PN$、$DC$构成），点$B$、$N$、$C$在$OM$上，且$OB=BN=NC=CM$，点$A$、$D$在抛物线上，$AB$、$PN$、$DC$均垂直于$OM$；
方案二是“H”形内部支架（由线段$A'B'$、$D'C'$、$EF$构成），点$B'$、$C'$在$OM$上，且$OB'=B'C'=C'M$，点$A'$、$D'$在抛物线上，$A'B'$、$D'C'$均垂直于$OM$，$E$、$F$分别是$A'B'$、$D'C'$的中点.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架更节省材料？请说明理由.

10.解:(1)
∵该抛物线型构件的底部宽度 OM=12 米,顶点 P 到底部 OM 的距离为 9 米,
∴顶点 P 的坐标为 P(6,9),点 O 的坐标为 O(0,0),点 M 的坐标为 M(12,0).
设抛物线的表达式为$y=a(x-6)^2+9$.
将O(0,0)的坐标代入,
得$0=a(0-6)^2+9$,解得$a=-\frac{1}{4}$,
∴该抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{4}(x-6)^2+9$,即$y=-\frac{1}{4}x^2+3x$.
(2)方案二的内部支架更节省材料.理由如下:
方案一:
∵$OB=BN=NC=CM=\frac{1}{4}OM,OM=12$米,
∴OB=3 米,OC=9 米.
当 x=3 时,$y=-\frac{1}{4}(3-6)^2+9=\frac{27}{4}$,即$AB=\frac{27}{4}$米;
当 x=9 时,$y=-\frac{1}{4}(9-6)^2+9=\frac{27}{4}$,即$DC=\frac{27}{4}$米,
∴方案一内部支架材料总长度为$AB+PN+DC=\frac{27}{4}+9+\frac{27}{4}=\frac{45}{2}$(米).
方案二:
∵$OB'=B'C'=C'M=\frac{1}{3}OM,OM=12$米,
∴OB'=4 米,OC'=8 米,EF=B'C'=4 米.
当 x=4 时,$y=-\frac{1}{4}(4-6)^2+9=8$,
即 A'B'=8 米;
当 x=8 时,$y=-\frac{1}{4}(8-6)^2+9=8$,
即 C'D'=8 米,
∴方案二内部支架材料总长度为$A'B'+EF+C'D'=8+4+8=20$(米).
∵$\frac{45}{2}＞20$,
∴方案二的内部支架更节省材料.

【分析】
（1）求抛物线解析式时，已知抛物线顶点坐标及与x轴的两个交点坐标，优先选用顶点式设解析式，再代入已知点坐标求出未知系数即可。
（2）要判断哪个方案更节省材料，只需要分别计算两个方案内部支架的总长度，再比较大小即可：先根据线段等分关系求出对应点的横坐标，代入抛物线解析式求出竖直线段的长度，再结合已知的水平线段长度求和，最后比较两个总长度的大小。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线顶点P的坐标为(6,9)，且抛物线过点O(0,0)、M(12,0)。
设抛物线的表达式为$y=a(x-6)^2+9$，将O(0,0)代入得：
$0=a(0-6)^2+9$，解得$a=-\frac{1}{4}$，
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{4}(x-6)^2+9$，整理为一般式为$y=-\frac{1}{4}x^2+3x$。
(2) 方案二更节省材料，理由如下：
方案一：
∵$OB=BN=NC=CM=\frac{1}{4}OM$，$OM=12$米，
∴$OB=3$米，$OC=9$米，$PN=9$米。
当$x=3$时，$y=-\frac{1}{4}(3-6)^2+9=\frac{27}{4}$，即$AB=\frac{27}{4}$米；
当$x=9$时，$y=-\frac{1}{4}(9-6)^2+9=\frac{27}{4}$，即$DC=\frac{27}{4}$米；
∴方案一支架总长度：$AB+PN+DC=\frac{27}{4}+9+\frac{27}{4}=\frac{45}{2}$（米）。
方案二：
∵$OB'=B'C'=C'M=\frac{1}{3}OM$，$OM=12$米，
∴$OB'=4$米，$OC'=8$米，$EF=B'C'=4$米。
当$x=4$时，$y=-\frac{1}{4}(4-6)^2+9=8$，即$A'B'=8$米；
当$x=8$时，$y=-\frac{1}{4}(8-6)^2+9=8$，即$D'C'=8$米；
∴方案二支架总长度：$A'B'+EF+D'C'=8+4+8=20$（米）。
∵$\frac{45}{2}=22.5＞20$，
∴方案二的内部支架更节省材料。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{4}x^2+3x}$（或$y=-\frac{1}{4}(x-6)^2+9$）；
(2) 方案二的内部支架更节省材料。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；实数大小比较
【点评】
本题结合实际生产场景考查二次函数的应用，解题核心是准确求解二次函数解析式，再结合题意计算对应线段的长度，侧重考察学生将实际问题转化为数学问题的能力，计算时注意细心即可。
【难度系数】
0.7