登录
一、选择题
1. 已知抛物线 $ y = x^2 - 2mx + m^2 + 1 $（$ m $ 为常数），下列判断正确的是（
A.该抛物线的开口方向向下
B.该抛物线与 $ y $ 轴交点可能在 $ y $ 轴负半轴上
C.该抛物线与 $ x $ 轴一定有交点
D.若点 $ P(m+2, y_1) $、点 $ Q(m-2, y_2) $ 在该函数图像上，则 $ y_1 = y_2 $
1. 已知抛物线 $ y = x^2 - 2mx + m^2 + 1 $（$ m $ 为常数），下列判断正确的是（
D
）A.该抛物线的开口方向向下
B.该抛物线与 $ y $ 轴交点可能在 $ y $ 轴负半轴上
C.该抛物线与 $ x $ 轴一定有交点
D.若点 $ P(m+2, y_1) $、点 $ Q(m-2, y_2) $ 在该函数图像上，则 $ y_1 = y_2 $
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先将抛物线解析式整理为顶点式，再结合二次函数的性质逐个分析选项：1. 由二次项系数的正负判断开口方向；2. 令x=0求与y轴交点的纵坐标，判断所在半轴；3. 计算判别式Δ的值，判断与x轴的交点情况；4. 先确定抛物线的对称轴，再比较两个点到对称轴的距离，若距离相等则函数值相等。
【解析】
先将抛物线解析式变形：$y = x^2 - 2mx + m^2 + 1 = (x-m)^2 + 1$，依次分析选项：
A选项：二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，故A错误；
B选项：令$x=0$，得$y=m^2 + 1$，$\because m^2≥0$，$\therefore y=m^2+1≥1＞0$，抛物线与y轴交点始终在y轴正半轴，故B错误；
C选项：计算判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2m)^2 - 4×1×(m^2+1) = 4m^2 - 4m^2 -4 = -4 ＜ 0$，抛物线与x轴没有交点，故C错误；
D选项：抛物线的对称轴为直线$x=m$，点$P(m+2,y_1)$到对称轴的距离为$|(m+2)-m|=2$，点$Q(m-2,y_2)$到对称轴的距离为$|(m-2)-m|=2$，两点到对称轴距离相等，根据二次函数的对称性，两点的函数值相等，即$y_1=y_2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象与坐标轴的交点；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，需要熟练掌握开口方向判断、交点求解、判别式的应用以及对称性的运用，属于基础题型，掌握核心性质即可快速判断。
【难度系数】
0.8
解题时先将抛物线解析式整理为顶点式，再结合二次函数的性质逐个分析选项：1. 由二次项系数的正负判断开口方向；2. 令x=0求与y轴交点的纵坐标，判断所在半轴；3. 计算判别式Δ的值，判断与x轴的交点情况；4. 先确定抛物线的对称轴，再比较两个点到对称轴的距离，若距离相等则函数值相等。
【解析】
先将抛物线解析式变形：$y = x^2 - 2mx + m^2 + 1 = (x-m)^2 + 1$，依次分析选项：
A选项：二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，故A错误；
B选项：令$x=0$，得$y=m^2 + 1$，$\because m^2≥0$，$\therefore y=m^2+1≥1＞0$，抛物线与y轴交点始终在y轴正半轴，故B错误；
C选项：计算判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2m)^2 - 4×1×(m^2+1) = 4m^2 - 4m^2 -4 = -4 ＜ 0$，抛物线与x轴没有交点，故C错误；
D选项：抛物线的对称轴为直线$x=m$，点$P(m+2,y_1)$到对称轴的距离为$|(m+2)-m|=2$，点$Q(m-2,y_2)$到对称轴的距离为$|(m-2)-m|=2$，两点到对称轴距离相等，根据二次函数的对称性，两点的函数值相等，即$y_1=y_2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象与坐标轴的交点；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，需要熟练掌握开口方向判断、交点求解、判别式的应用以及对称性的运用，属于基础题型，掌握核心性质即可快速判断。
【难度系数】
0.8
2. 关于x的二次函数$y=ax^2 - 2ax + c$的图像及局部细节如图中所示，则关于x的方程$ax^2 - 2ax + c=0$的较大的根的取值范围是（
A.$0.4 ＜ x ＜ 0.5$
B.$0.5 ＜ x ＜ 0.6$
C.$2.4 ＜ x ＜ 2.5$
D.$2.5 ＜ x ＜ 2.6$
C
）A.$0.4 ＜ x ＜ 0.5$
B.$0.5 ＜ x ＜ 0.6$
C.$2.4 ＜ x ＜ 2.5$
D.$2.5 ＜ x ＜ 2.6$
答案
2.C
解析
【分析】
要确定方程$ax^2 - 2ax + c=0$较大根的取值范围，可结合二次函数的性质分析：首先该方程的根就是对应二次函数图像与x轴交点的横坐标，先通过解析式求出二次函数的对称轴，二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知较小根的取值范围，利用对称性即可推导得到较大根的取值范围。
【解析】
解：1. 求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中函数为$y=ax^2 - 2ax + c$，即$b=-2a$，代入公式得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即该二次函数的对称轴为直线$x=1$。
2. 利用对称性推导较大根的范围
设方程$ax^2 - 2ax + c=0$的两个根为$x_1$（较小根）、$x_2$（较大根），根据二次函数图像的对称性，两个根关于直线$x=1$对称，因此有$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，变形得$x_2=2-x_1$。
由局部图像可知，较小根的取值范围为$-0.5 ＜ x_1 ＜ -0.4$，对不等式变形可得：
$0.4 ＜ -x_1 ＜ 0.5$，不等式两边同时加2得：$2+0.4 ＜ 2-x_1 ＜ 2+0.5$，即$2.4 ＜ x_2 ＜ 2.5$。
因此方程较大根的取值范围是$2.4 ＜ x ＜ 2.5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数性质与一元二次方程的结合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的对称性，建立两个根的关联后结合已知范围推导未知根的范围，属于对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.6
要确定方程$ax^2 - 2ax + c=0$较大根的取值范围，可结合二次函数的性质分析：首先该方程的根就是对应二次函数图像与x轴交点的横坐标，先通过解析式求出二次函数的对称轴，二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知较小根的取值范围，利用对称性即可推导得到较大根的取值范围。
【解析】
解：1. 求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中函数为$y=ax^2 - 2ax + c$，即$b=-2a$，代入公式得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即该二次函数的对称轴为直线$x=1$。
2. 利用对称性推导较大根的范围
设方程$ax^2 - 2ax + c=0$的两个根为$x_1$（较小根）、$x_2$（较大根），根据二次函数图像的对称性，两个根关于直线$x=1$对称，因此有$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，变形得$x_2=2-x_1$。
由局部图像可知，较小根的取值范围为$-0.5 ＜ x_1 ＜ -0.4$，对不等式变形可得：
$0.4 ＜ -x_1 ＜ 0.5$，不等式两边同时加2得：$2+0.4 ＜ 2-x_1 ＜ 2+0.5$，即$2.4 ＜ x_2 ＜ 2.5$。
因此方程较大根的取值范围是$2.4 ＜ x ＜ 2.5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数性质与一元二次方程的结合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的对称性，建立两个根的关联后结合已知范围推导未知根的范围，属于对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.6
3.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度$h$(单位:m)与小球运动时间$t$(单位:s)之间的函数关系为$h=30t-5t^2$,其中$0≤t≤6$.有下列结论:
①当$t=2$时,小球运动到最大高度;②当小球的运动高度为40 m时,运动时间为2 s或4 s;
③小球运动中的最大高度为46 m;④小球从抛出到落地需要6 s.
其中正确的结论有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①当$t=2$时,小球运动到最大高度;②当小球的运动高度为40 m时,运动时间为2 s或4 s;
③小球运动中的最大高度为46 m;④小球从抛出到落地需要6 s.
其中正确的结论有 （
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查二次函数在竖直上抛运动中的应用，解题思路如下：第一步，先将高度h关于时间t的二次函数配方为顶点式，根据二次函数开口方向判断顶点为最大值点，即可判断结论①和③是否正确；第二步，将h=40代入函数解析式，解一元二次方程，结合t的取值范围验证解的合理性，判断结论②；第三步，落地时高度h=0，代入解析式解方程，舍去t=0的初始时刻，即可得到落地时间，判断结论④，最后统计正确结论的个数选择答案。
【解析】
先对函数解析式配方：
$h=30t-5t^2=-5(t^2-6t)=-5(t^2-6t+9-9)=-5(t-3)^2+45$
∵二次项系数$-5＜0$，
∴函数图象开口向下，顶点为最大值点。
1. 判断①③：当$t=3$时，小球达到最大高度，最大高度为45m，故结论①“t=2时到最大高度”错误，结论③“最大高度46m”错误。
2. 判断②：令$h=40$，代入得$30t-5t^2=40$，整理得：
$t^2-6t+8=0$
因式分解得$(t-2)(t-4)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=4$，均满足$0≤t≤6$，故结论②正确。
3. 判断④：小球落地时$h=0$，代入得$30t-5t^2=0$，提取公因式得$5t(6-t)=0$，解得$t_1=0$（抛出初始时刻，舍去），$t_2=6$，故小球从抛出到落地需要6s，结论④正确。
综上，正确的结论是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图象与性质；解一元二次方程
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际场景考查二次函数的相关性质，解题时要注意结合实际意义判断方程解的合理性，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在竖直上抛运动中的应用，解题思路如下：第一步，先将高度h关于时间t的二次函数配方为顶点式，根据二次函数开口方向判断顶点为最大值点，即可判断结论①和③是否正确；第二步，将h=40代入函数解析式，解一元二次方程，结合t的取值范围验证解的合理性，判断结论②；第三步，落地时高度h=0，代入解析式解方程，舍去t=0的初始时刻，即可得到落地时间，判断结论④，最后统计正确结论的个数选择答案。
【解析】
先对函数解析式配方：
$h=30t-5t^2=-5(t^2-6t)=-5(t^2-6t+9-9)=-5(t-3)^2+45$
∵二次项系数$-5＜0$，
∴函数图象开口向下，顶点为最大值点。
1. 判断①③：当$t=3$时，小球达到最大高度，最大高度为45m，故结论①“t=2时到最大高度”错误，结论③“最大高度46m”错误。
2. 判断②：令$h=40$，代入得$30t-5t^2=40$，整理得：
$t^2-6t+8=0$
因式分解得$(t-2)(t-4)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=4$，均满足$0≤t≤6$，故结论②正确。
3. 判断④：小球落地时$h=0$，代入得$30t-5t^2=0$，提取公因式得$5t(6-t)=0$，解得$t_1=0$（抛出初始时刻，舍去），$t_2=6$，故小球从抛出到落地需要6s，结论④正确。
综上，正确的结论是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图象与性质；解一元二次方程
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际场景考查二次函数的相关性质，解题时要注意结合实际意义判断方程解的合理性，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
4.关于$x$的二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$是常数，$a≠0$）的图像经过点$(2,0)$，与$y$轴正半轴相交，其对称轴是直线$x=-1$.则下列结论中，正确的是（
A.$b^2-4ac＜0$
B.当$y＜0$时，$x＞2$
C.方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是$x_1=2$，$x_2=-3$
D.当$m≠-1$时，$am^2+bm＜a-b$
D
）A.$b^2-4ac＜0$
B.当$y＜0$时，$x＞2$
C.方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是$x_1=2$，$x_2=-3$
D.当$m≠-1$时，$am^2+bm＜a-b$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时先梳理题干给出的二次函数性质：①图像过点(2,0)，说明x=2是对应一元二次方程的一个根；②对称轴为直线x=-1，可利用对称轴公式或二次函数对称性推导其他性质；③与y轴正半轴相交，可判断c的符号，进而推导开口方向。再结合二次函数的判别式、零点区间、最值等性质，逐一验证4个选项即可。
【解析】
先根据已知条件推导核心结论：
1. 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，可得$b=2a$；
2. 函数过点$(2,0)$，代入解析式得$4a+2b+c=0$，将$b=2a$代入得$c=-8a$；
3. 函数与y轴正半轴相交，即$x=0$时$y=c＞0$，因此$-8a＞0$，得$a＜0$，抛物线开口向下；
4. 由二次函数对称性，已知一个零点为$x=2$，对称轴为$x=-1$，设另一零点为$x_2$，则$\frac{2+x_2}{2}=-1$，解得$x_2=-4$，即方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$2$和$-4$。
逐一分析选项：
选项A：抛物线与x轴有两个交点，因此判别式$b^2-4ac＞0$，A错误；
选项B：抛物线开口向下，$y＜0$的区间为$x＜-4$或$x＞2$，B遗漏$x＜-4$的情况，错误；
选项C：方程的两个根为$2$和$-4$，不是$-3$，C错误；
选项D：$x=-1$是抛物线对称轴，且抛物线开口向下，因此$x=-1$时函数取最大值，即对任意$m≠-1$，都有$am^2+bm+c ＜ a·(-1)^2 + b·(-1) + c$，两边同时减去$c$，得$am^2+bm ＜ a-b$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数性质的综合应用题型，需要熟练掌握二次函数的对称性、系数与图像的关系、最值特点等知识点，通过已知条件推导核心参数关系，再逐一排除错误选项即可求解。
【难度系数】
0.6
解题时先梳理题干给出的二次函数性质：①图像过点(2,0)，说明x=2是对应一元二次方程的一个根；②对称轴为直线x=-1，可利用对称轴公式或二次函数对称性推导其他性质；③与y轴正半轴相交，可判断c的符号，进而推导开口方向。再结合二次函数的判别式、零点区间、最值等性质，逐一验证4个选项即可。
【解析】
先根据已知条件推导核心结论：
1. 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，可得$b=2a$；
2. 函数过点$(2,0)$，代入解析式得$4a+2b+c=0$，将$b=2a$代入得$c=-8a$；
3. 函数与y轴正半轴相交，即$x=0$时$y=c＞0$，因此$-8a＞0$，得$a＜0$，抛物线开口向下；
4. 由二次函数对称性，已知一个零点为$x=2$，对称轴为$x=-1$，设另一零点为$x_2$，则$\frac{2+x_2}{2}=-1$，解得$x_2=-4$，即方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$2$和$-4$。
逐一分析选项：
选项A：抛物线与x轴有两个交点，因此判别式$b^2-4ac＞0$，A错误；
选项B：抛物线开口向下，$y＜0$的区间为$x＜-4$或$x＞2$，B遗漏$x＜-4$的情况，错误；
选项C：方程的两个根为$2$和$-4$，不是$-3$，C错误；
选项D：$x=-1$是抛物线对称轴，且抛物线开口向下，因此$x=-1$时函数取最大值，即对任意$m≠-1$，都有$am^2+bm+c ＜ a·(-1)^2 + b·(-1) + c$，两边同时减去$c$，得$am^2+bm ＜ a-b$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数性质的综合应用题型，需要熟练掌握二次函数的对称性、系数与图像的关系、最值特点等知识点，通过已知条件推导核心参数关系，再逐一排除错误选项即可求解。
【难度系数】
0.6
5已知某二次函数上两点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$.当$1＜x_1＜x_2$时，$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＞0$；当$x_1＜x_2＜1$时，$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＜0$，则该二次函数的表达式可以是（
A.$y=2(x+1)^2$
B.$y=2(x-1)^2$
C.$y=-2(x+1)^2$
D.$y=-2(x-1)^2$
B
）A.$y=2(x+1)^2$
B.$y=2(x-1)^2$
C.$y=-2(x+1)^2$
D.$y=-2(x-1)^2$
答案
5.B
解析
【分析】
首先解读已知条件的含义：当$x_2＞x_1$时，$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＞0$说明$y_2＞y_1$，对应区间函数单调递增；$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＜0$说明$y_2＜y_1$，对应区间函数单调递减。结合题目可得：该二次函数在$x＞1$时递增，$x＜1$时递减，因此二次函数对称轴为$x=1$，且开口向上（开口向上的二次函数对称轴左侧递减、右侧递增），最后比对选项即可得出答案。
【解析】
步骤1：判断函数不同区间的增减性
① 当$1＜x_1＜x_2$时，$x_2-x_1＞0$，结合$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＞0$可得$y_2-y_1＞0$，即$y$随$x$的增大而增大；
② 当$x_1＜x_2＜1$时，$x_2-x_1＞0$，结合$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＜0$可得$y_2-y_1＜0$，即$y$随$x$的增大而减小。
步骤2：确定二次函数的性质
由上述增减性可知，二次函数对称轴为$x=1$，且开口向上。
步骤3：逐一比对选项
A选项：对称轴为$x=-1$，不符合要求，排除；
B选项：对称轴为$x=1$，二次项系数$2＞0$，开口向上，符合要求；
C选项：对称轴为$x=-1$，且二次项系数$-2＜0$，开口向下，不符合要求，排除；
D选项：对称轴为$x=1$，但二次项系数$-2＜0$，开口向下，$x＞1$时$y$随$x$增大而减小，不符合要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的增减性、二次函数的顶点式
【点评】
本题核心是通过不等式判断函数的增减性，再结合二次函数增减性和开口方向、对称轴的对应关系求解，熟练掌握二次函数的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
首先解读已知条件的含义：当$x_2＞x_1$时，$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＞0$说明$y_2＞y_1$，对应区间函数单调递增；$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＜0$说明$y_2＜y_1$，对应区间函数单调递减。结合题目可得：该二次函数在$x＞1$时递增，$x＜1$时递减，因此二次函数对称轴为$x=1$，且开口向上（开口向上的二次函数对称轴左侧递减、右侧递增），最后比对选项即可得出答案。
【解析】
步骤1：判断函数不同区间的增减性
① 当$1＜x_1＜x_2$时，$x_2-x_1＞0$，结合$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＞0$可得$y_2-y_1＞0$，即$y$随$x$的增大而增大；
② 当$x_1＜x_2＜1$时，$x_2-x_1＞0$，结合$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＜0$可得$y_2-y_1＜0$，即$y$随$x$的增大而减小。
步骤2：确定二次函数的性质
由上述增减性可知，二次函数对称轴为$x=1$，且开口向上。
步骤3：逐一比对选项
A选项：对称轴为$x=-1$，不符合要求，排除；
B选项：对称轴为$x=1$，二次项系数$2＞0$，开口向上，符合要求；
C选项：对称轴为$x=-1$，且二次项系数$-2＜0$，开口向下，不符合要求，排除；
D选项：对称轴为$x=1$，但二次项系数$-2＜0$，开口向下，$x＞1$时$y$随$x$增大而减小，不符合要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的增减性、二次函数的顶点式
【点评】
本题核心是通过不等式判断函数的增减性，再结合二次函数增减性和开口方向、对称轴的对应关系求解，熟练掌握二次函数的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
6.如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-3,0)$，且其对称轴是直线$x=1$，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是
$x_1=-3,x_2=5$
。答案
6.$x_1=-3,x_2=5$
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，已知抛物线过点$A(-3,0)$，可得$x=-3$是其中一个根。接下来利用抛物线的轴对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知对称轴为直线$x=1$，通过对称点的坐标特征就能求出另一个交点的横坐标，即方程的另一个根。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，
已知抛物线经过点$A(-3,0)$，
∴ $x_1=-3$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根。
∵ 抛物线是轴对称图形，对称轴为直线$x=1$，
∴ 抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=1$对称。
设方程的另一个根为$x_2$，根据对称点横坐标的中点为对称轴横坐标，可得：
$\frac{-3+x_2}{2}=1$
解得$x_2=5$。
【答案】
$x_1=-3,x_2=5$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，抛物线的对称性
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是建立一元二次方程的根和抛物线与x轴交点横坐标的对应关系，再结合抛物线对称性求解，掌握二次函数的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，已知抛物线过点$A(-3,0)$，可得$x=-3$是其中一个根。接下来利用抛物线的轴对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知对称轴为直线$x=1$，通过对称点的坐标特征就能求出另一个交点的横坐标，即方程的另一个根。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，
已知抛物线经过点$A(-3,0)$，
∴ $x_1=-3$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根。
∵ 抛物线是轴对称图形，对称轴为直线$x=1$，
∴ 抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=1$对称。
设方程的另一个根为$x_2$，根据对称点横坐标的中点为对称轴横坐标，可得：
$\frac{-3+x_2}{2}=1$
解得$x_2=5$。
【答案】
$x_1=-3,x_2=5$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，抛物线的对称性
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是建立一元二次方程的根和抛物线与x轴交点横坐标的对应关系，再结合抛物线对称性求解，掌握二次函数的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
7用长为8 m的铝合金条制成如图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是
$\frac{8}{3}\ \mathrm{m}^2$
.答案
7.$\frac{8}{3}\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
要解决窗户最大透光面积问题，首先结合窗框结构分析铝合金条的组成：该窗框含3条横向边框、2条纵向边框，总长度为8m。我们可以先设其中一类边长为未知数，用总长度表示出另一类边长，再将透光面积表示为关于未知数的二次函数，最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，求解最大面积。
【解析】
设窗框横向边长为$x\ \mathrm{m}$，大矩形纵向边长为$y\ \mathrm{m}$。
根据铝合金条总长为8$\mathrm{m}$，可得等量关系：
$3x + 2y = 8$，整理得$y = \frac{8 - 3x}{2}$，其中$0 ＜ x ＜ \frac{8}{3}$（边长为正）。
窗户透光面积为大矩形的面积，因此：
$S = x · y = x · \frac{8 - 3x}{2} = -\frac{3}{2}x^2 + 4x$
这是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×(-\frac{3}{2})} = \frac{4}{3}$。
将$x = \frac{4}{3}$代入面积公式：
$S_{\mathrm{max}} = -\frac{3}{2}× (\frac{4}{3})^2 + 4× \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$\frac{8}{3}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数最值、矩形面积计算、实际问题列函数式
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题的核心是结合图形梳理各边长度的和的关系，正确建立面积的函数表达式，求解时要注意自变量的取值范围需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决窗户最大透光面积问题，首先结合窗框结构分析铝合金条的组成：该窗框含3条横向边框、2条纵向边框，总长度为8m。我们可以先设其中一类边长为未知数，用总长度表示出另一类边长，再将透光面积表示为关于未知数的二次函数，最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，求解最大面积。
【解析】
设窗框横向边长为$x\ \mathrm{m}$，大矩形纵向边长为$y\ \mathrm{m}$。
根据铝合金条总长为8$\mathrm{m}$，可得等量关系：
$3x + 2y = 8$，整理得$y = \frac{8 - 3x}{2}$，其中$0 ＜ x ＜ \frac{8}{3}$（边长为正）。
窗户透光面积为大矩形的面积，因此：
$S = x · y = x · \frac{8 - 3x}{2} = -\frac{3}{2}x^2 + 4x$
这是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×(-\frac{3}{2})} = \frac{4}{3}$。
将$x = \frac{4}{3}$代入面积公式：
$S_{\mathrm{max}} = -\frac{3}{2}× (\frac{4}{3})^2 + 4× \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$\frac{8}{3}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数最值、矩形面积计算、实际问题列函数式
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题的核心是结合图形梳理各边长度的和的关系，正确建立面积的函数表达式，求解时要注意自变量的取值范围需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
