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8.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从点A、B同时出发,那么经过
3
s,四边形APQC的面积最小.答案
8.3 解析:设移动时间为 $x(x≤6)\mathrm{s}$,四边形 $APQC$ 的面积为 $y\ \mathrm{cm}^2$,由题意,得 $BP=AB-AP=(6-x)\ \mathrm{cm},BQ=2x\ \mathrm{cm}$.
$\because ∠ B=90°,AB=6\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore y=S_{\mathrm{Rt}△ ABC}-S_{\mathrm{Rt}△ BPQ}=\frac{1}{2}AB· BC-\frac{1}{2}BP· BQ=\frac{1}{2}×6×12-\frac{1}{2}(6-x)· 2x$,
整理,得 $y=x^2-6x+36=(x-3)^2+27$,
由二次函数的性质可知,当 $x=3$ 时,$y$ 取得最小值27,即经过 3 s,四边形 $APQC$ 的面积最小.
$\because ∠ B=90°,AB=6\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore y=S_{\mathrm{Rt}△ ABC}-S_{\mathrm{Rt}△ BPQ}=\frac{1}{2}AB· BC-\frac{1}{2}BP· BQ=\frac{1}{2}×6×12-\frac{1}{2}(6-x)· 2x$,
整理,得 $y=x^2-6x+36=(x-3)^2+27$,
由二次函数的性质可知,当 $x=3$ 时,$y$ 取得最小值27,即经过 3 s,四边形 $APQC$ 的面积最小.
解析
【分析】
我们要计算四边形APQC的最小面积，该图形是不规则图形，直接求面积较为复杂，因此采用割补法：用△ABC的固定总面积减去△PBQ的面积来表示四边形APQC的面积。首先设运动时间为x s，根据P、Q的运动速度，用含x的代数式表示出线段BP、BQ的长度，再结合直角三角形面积公式推导得到四边形面积关于x的函数表达式，该表达式为二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解对应的x值即可，注意要结合动点的移动限制确定x的取值范围。
【解析】
解：设经过$x\ \mathrm{s}$（$0＜x＜6$，P不与B重合、Q不与C重合），四边形APQC的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，则$BP=AB-AP=(6-x)\ \mathrm{cm}$。
已知$∠ B=90°$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，则：
$\begin{aligned}y&=S_{\mathrm{Rt}△ ABC}-S_{\mathrm{Rt}△ BPQ}\\&=\frac{1}{2}× AB× BC - \frac{1}{2}× BP× BQ\\&=\frac{1}{2}×6×12 - \frac{1}{2}×(6-x)×2x\\&=36 - (6-x)x\\&=x^2 -6x +36\\&=(x-3)^2 +27\end{aligned}$
该二次函数开口向上，在顶点处取得最小值，当$x=3$时，$y$取最小值27，符合x的取值范围。
【答案】
3
【知识点】
二次函数最值，动点面积计算，三角形面积公式
【点评】
本题是代数几何结合的基础题型，通过割补法将不规则图形面积转化为易求的三角形面积差，建立二次函数模型即可求解，解题的关键是正确用运动时间表示出相关线段的长度，理清各量之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
我们要计算四边形APQC的最小面积，该图形是不规则图形，直接求面积较为复杂，因此采用割补法：用△ABC的固定总面积减去△PBQ的面积来表示四边形APQC的面积。首先设运动时间为x s，根据P、Q的运动速度，用含x的代数式表示出线段BP、BQ的长度，再结合直角三角形面积公式推导得到四边形面积关于x的函数表达式，该表达式为二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解对应的x值即可，注意要结合动点的移动限制确定x的取值范围。
【解析】
解：设经过$x\ \mathrm{s}$（$0＜x＜6$，P不与B重合、Q不与C重合），四边形APQC的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，则$BP=AB-AP=(6-x)\ \mathrm{cm}$。
已知$∠ B=90°$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，则：
$\begin{aligned}y&=S_{\mathrm{Rt}△ ABC}-S_{\mathrm{Rt}△ BPQ}\\&=\frac{1}{2}× AB× BC - \frac{1}{2}× BP× BQ\\&=\frac{1}{2}×6×12 - \frac{1}{2}×(6-x)×2x\\&=36 - (6-x)x\\&=x^2 -6x +36\\&=(x-3)^2 +27\end{aligned}$
该二次函数开口向上，在顶点处取得最小值，当$x=3$时，$y$取最小值27，符合x的取值范围。
【答案】
3
【知识点】
二次函数最值，动点面积计算，三角形面积公式
【点评】
本题是代数几何结合的基础题型，通过割补法将不规则图形面积转化为易求的三角形面积差，建立二次函数模型即可求解，解题的关键是正确用运动时间表示出相关线段的长度，理清各量之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
9 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为$(-1,-2)$，点 B 的坐标为$(5,4)$。已知抛物线$y=x^2 - 2x + c$与线段 AB 有公共点，则 c 的取值范围是
$-11≤ c≤ \frac{5}{4}$
。答案
9.$-11≤ c≤ \frac{5}{4}$ 解析:如图,抛物线 $y=x^2-2x+c$ 与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,c)$.
设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b$.
把 $A(-1,-2)、B(5,4)$ 代入,得 $-k+b=-2$, $5k+b=4$,解得 $k=1,b=-1$,
$\therefore$ 直线 $AB$ 的表达式为 $y=x-1$.
当直线 $AB$ 与抛物线 $y=x^2-2x+c$ 相切时,抛物线 $y=x^2-2x+c$ 与 $y$ 轴的交点最高,即 $c$ 的值最大,
把 $y=x-1$ 代入 $y=x^2-2x+c$,得 $x^2-3x+c+1=0$,则 $\Delta=0$,即 $9-4(c+1)=0$,解得 $c=\frac{5}{4}$.
当抛物线 $y=x^2-2x+c$ 过点 $B$ 时,抛物线 $y=x^2-2x+c$ 与 $y$ 轴的交点最低,即 $c$ 的值最小,
把 $B(5,4)$ 代入 $y=x^2-2x+c$ 得,$25-10+c=4$,解得 $c=-11$,$\therefore c$ 的取值范围为 $-11≤ c≤ \frac{5}{4}$.
解析
【分析】
要解决抛物线与线段AB有公共点时c的取值范围，可按以下思路思考：第一步，先求线段AB所在直线的解析式，方便后续联立方程；第二步，找c的最大值：当抛物线和直线AB刚好相切（仅一个公共点，且该点在线段AB上）时，c取得最大值，可通过联立方程令判别式Δ=0求解；第三步，找c的最小值：抛物线$y=x^2-2x+c$开口向上，c越小抛物线整体位置越低，当抛物线向下移动到刚好经过线段AB的端点时，c取得最小值，代入两个端点计算后取更小的c作为下限，最终即可得到c的取值范围。
【解析】
1. 求直线AB的解析式
设直线AB的表达式为$y=kx+b$，将$A(-1,-2)$、$B(5,4)$代入得：
$\begin{cases}-k+b=-2 \\5k+b=4 \end{cases}$
两式相减得$6k=6$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-k+b=-2$得$b=-1$，
因此直线AB的解析式为$y=x-1$。
2. 求c的最大值
当抛物线与直线AB相切时，二者只有1个公共点，此时c最大。
将$y=x-1$代入$y=x^2-2x+c$，整理得$x^2-3x+(c+1)=0$，
相切时该一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$：
$\Delta=(-3)^2-4×1×(c+1)=5-4c=0$，解得$c=\frac{5}{4}$，
此时交点横坐标$x=\frac{3}{2}$，属于线段AB的x取值范围$-1≤ x≤5$，符合要求。
3. 求c的最小值
抛物线开口向上，c越小抛物线位置越低，代入线段AB的端点求c的最小值：
代入$A(-1,-2)$：$(-1)^2-2×(-1)+c=-2$，解得$c=-5$；
代入$B(5,4)$：$5^2-2×5+c=4$，解得$c=-11$。
取更小的$c=-11$作为下限，若$c＜-11$，抛物线位置过低，与线段AB无交点。
综上，c的取值范围为$-11≤ c≤\frac{5}{4}$。
【答案】
$-11≤ c≤ \frac{5}{4}$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数图象性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，解题核心是找准两个临界状态：抛物线与直线AB相切、抛物线经过线段AB的端点，解题时要注意题目限制是抛物线与线段有公共点，而非与直线有公共点，避免忽略线段的取值范围导致出错。
【难度系数】
0.6
要解决抛物线与线段AB有公共点时c的取值范围，可按以下思路思考：第一步，先求线段AB所在直线的解析式，方便后续联立方程；第二步，找c的最大值：当抛物线和直线AB刚好相切（仅一个公共点，且该点在线段AB上）时，c取得最大值，可通过联立方程令判别式Δ=0求解；第三步，找c的最小值：抛物线$y=x^2-2x+c$开口向上，c越小抛物线整体位置越低，当抛物线向下移动到刚好经过线段AB的端点时，c取得最小值，代入两个端点计算后取更小的c作为下限，最终即可得到c的取值范围。
【解析】
1. 求直线AB的解析式
设直线AB的表达式为$y=kx+b$，将$A(-1,-2)$、$B(5,4)$代入得：
$\begin{cases}-k+b=-2 \\5k+b=4 \end{cases}$
两式相减得$6k=6$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-k+b=-2$得$b=-1$，
因此直线AB的解析式为$y=x-1$。
2. 求c的最大值
当抛物线与直线AB相切时，二者只有1个公共点，此时c最大。
将$y=x-1$代入$y=x^2-2x+c$，整理得$x^2-3x+(c+1)=0$，
相切时该一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$：
$\Delta=(-3)^2-4×1×(c+1)=5-4c=0$，解得$c=\frac{5}{4}$，
此时交点横坐标$x=\frac{3}{2}$，属于线段AB的x取值范围$-1≤ x≤5$，符合要求。
3. 求c的最小值
抛物线开口向上，c越小抛物线位置越低，代入线段AB的端点求c的最小值：
代入$A(-1,-2)$：$(-1)^2-2×(-1)+c=-2$，解得$c=-5$；
代入$B(5,4)$：$5^2-2×5+c=4$，解得$c=-11$。
取更小的$c=-11$作为下限，若$c＜-11$，抛物线位置过低，与线段AB无交点。
综上，c的取值范围为$-11≤ c≤\frac{5}{4}$。
【答案】
$-11≤ c≤ \frac{5}{4}$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数图象性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，解题核心是找准两个临界状态：抛物线与直线AB相切、抛物线经过线段AB的端点，解题时要注意题目限制是抛物线与线段有公共点，而非与直线有公共点，避免忽略线段的取值范围导致出错。
【难度系数】
0.6
10如图，直线 $ l: y = \frac{1}{3}x + b $ 经过点 $ M(0, \frac{1}{4}) $，一组抛物线的顶点 $ B_1(1, y_1)、B_2(2, y_2)、B_3(3, y_3)、\dots、B_n(n, y_n) $（$ n $ 为正整数）依次是直线 $ l $ 上的点，这组抛物线与 $ x $ 轴正半轴的交点依次是：$ A_1(x_1, 0)、A_2(x_2, 0)、A_3(x_3, 0)、\dots、A_{n+1}(x_{n+1}, 0) $（$ n $ 为正整数）。设 $ x_1 = d(0 ＜ d ＜ 1) $，若抛物线的顶点与 $ x $ 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为“美丽抛物线”。当 $ d(0 ＜ d ＜ 1) $ 的大小变化时美丽抛物线相应的 $ d $ 的值是
$\frac{5}{12}$或$\frac{11}{12}$
。答案
10.$\frac{5}{12}$或$\frac{11}{12}$ 解析:由题意,得直线 $ l:y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}$,
当 $ x=1 $ 时,$y=\frac{7}{12}$,即 $ B_1(1,\frac{7}{12}) $;
当 $ x=2 $ 时,$y=\frac{11}{12}$,即 $ B_2(2,\frac{11}{12}) $.
$\because A_1(d,0),A_2(2-d,0)$,
若 $ B_1 $ 为直角顶点,则 $ A_1A_2 $ 的中点 $ (1,0) $ 到 $ B_1 $ 的距离与到 $ A_1 $ 和 $ A_2 $ 的距离相等,
即 $ 1-d=\frac{7}{12} $,解得 $ d=\frac{5}{12} $;
同理,若 $ B_2 $ 为直角顶点,则 $ A_2A_3 $ 的中点 $ (2,0) $ 到 $ B_2 $ 的距离与到 $ A_3 $ 和 $ A_2 $ 的距离相等,
即 $ 2-(2-d)=\frac{11}{12} $,解得 $ d=\frac{11}{12} $;
若 $ B_3 $ 为直角顶点,求出的 $ d $ 为负数,并且从 $ B_3 $ 之后的点 $ B $,求出的 $ d $ 都为负数,
$\therefore d$ 的值是 $\frac{5}{12}$或$\frac{11}{12}$.
当 $ x=1 $ 时,$y=\frac{7}{12}$,即 $ B_1(1,\frac{7}{12}) $;
当 $ x=2 $ 时,$y=\frac{11}{12}$,即 $ B_2(2,\frac{11}{12}) $.
$\because A_1(d,0),A_2(2-d,0)$,
若 $ B_1 $ 为直角顶点,则 $ A_1A_2 $ 的中点 $ (1,0) $ 到 $ B_1 $ 的距离与到 $ A_1 $ 和 $ A_2 $ 的距离相等,
即 $ 1-d=\frac{7}{12} $,解得 $ d=\frac{5}{12} $;
同理,若 $ B_2 $ 为直角顶点,则 $ A_2A_3 $ 的中点 $ (2,0) $ 到 $ B_2 $ 的距离与到 $ A_3 $ 和 $ A_2 $ 的距离相等,
即 $ 2-(2-d)=\frac{11}{12} $,解得 $ d=\frac{11}{12} $;
若 $ B_3 $ 为直角顶点,求出的 $ d $ 为负数,并且从 $ B_3 $ 之后的点 $ B $,求出的 $ d $ 都为负数,
$\therefore d$ 的值是 $\frac{5}{12}$或$\frac{11}{12}$.
解析
【分析】
首先根据直线$l$过点$M(0,\frac{1}{4})$求出直线的解析式，再结合“美丽抛物线”的定义和抛物线的轴对称性可知：顶点与x轴两交点构成的直角三角形为等腰直角三角形，因此顶点的纵坐标等于顶点横坐标到相邻x轴交点的水平距离。接下来分别对各顶点为直角顶点的情况分类讨论求出对应$d$的值，最后结合$0＜d＜1$的范围筛选符合条件的解即可。
【解析】
1. 求直线$l$的解析式
将点$M(0,\frac{1}{4})$代入$y=\frac{1}{3}x+b$，得$b=\frac{1}{4}$，因此直线$l$的解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}$。
2. 求顶点$B_1$、$B_2$的纵坐标
当$x=1$时，$y_1=\frac{1}{3}×1+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$，即$B_1(1,\frac{7}{12})$；
当$x=2$时，$y_2=\frac{1}{3}×2+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}$，即$B_2(2,\frac{11}{12})$。
3. 分类讨论美丽抛物线的情况
抛物线关于过顶点的竖直线对称，若$B_n$为直角顶点，则$A_n$、$A_{n+1}$关于$x=n$对称，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，即顶点纵坐标等于中点$(n,0)$到点$A_n$的距离。
① 若$B_1$为直角顶点：
$A_1(d,0)$，中点为$(1,0)$，则$1-d=\frac{7}{12}$，解得$d=\frac{5}{12}$，满足$0＜d＜1$，符合要求。
② 若$B_2$为直角顶点：
由对称性得$A_2$的坐标为$2-d$，中点为$(2,0)$，则$2-(2-d)=\frac{11}{12}$，解得$d=\frac{11}{12}$，满足$0＜d＜1$，符合要求。
③ 若$B_3$及之后的顶点为直角顶点，计算得到的$d$均为负数，不符合$0＜d＜1$的范围，舍去。
【答案】
$\frac{5}{12}$或$\frac{11}{12}$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数的对称性；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为新定义类综合题，结合了一次函数、二次函数与几何图形的性质，解题核心是利用抛物线的对称性转化线段关系，同时要注意分类讨论所有可能情况，并结合取值范围对解进行筛选，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
首先根据直线$l$过点$M(0,\frac{1}{4})$求出直线的解析式，再结合“美丽抛物线”的定义和抛物线的轴对称性可知：顶点与x轴两交点构成的直角三角形为等腰直角三角形，因此顶点的纵坐标等于顶点横坐标到相邻x轴交点的水平距离。接下来分别对各顶点为直角顶点的情况分类讨论求出对应$d$的值，最后结合$0＜d＜1$的范围筛选符合条件的解即可。
【解析】
1. 求直线$l$的解析式
将点$M(0,\frac{1}{4})$代入$y=\frac{1}{3}x+b$，得$b=\frac{1}{4}$，因此直线$l$的解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}$。
2. 求顶点$B_1$、$B_2$的纵坐标
当$x=1$时，$y_1=\frac{1}{3}×1+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$，即$B_1(1,\frac{7}{12})$；
当$x=2$时，$y_2=\frac{1}{3}×2+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}$，即$B_2(2,\frac{11}{12})$。
3. 分类讨论美丽抛物线的情况
抛物线关于过顶点的竖直线对称，若$B_n$为直角顶点，则$A_n$、$A_{n+1}$关于$x=n$对称，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，即顶点纵坐标等于中点$(n,0)$到点$A_n$的距离。
① 若$B_1$为直角顶点：
$A_1(d,0)$，中点为$(1,0)$，则$1-d=\frac{7}{12}$，解得$d=\frac{5}{12}$，满足$0＜d＜1$，符合要求。
② 若$B_2$为直角顶点：
由对称性得$A_2$的坐标为$2-d$，中点为$(2,0)$，则$2-(2-d)=\frac{11}{12}$，解得$d=\frac{11}{12}$，满足$0＜d＜1$，符合要求。
③ 若$B_3$及之后的顶点为直角顶点，计算得到的$d$均为负数，不符合$0＜d＜1$的范围，舍去。
【答案】
$\frac{5}{12}$或$\frac{11}{12}$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数的对称性；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为新定义类综合题，结合了一次函数、二次函数与几何图形的性质，解题核心是利用抛物线的对称性转化线段关系，同时要注意分类讨论所有可能情况，并结合取值范围对解进行筛选，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
三、解答题
11. 新定义:如果二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像经过点$(-1,0)$，那么称此二次函数图像为“定点抛物线”.
(1)试判断二次函数$y=x^2-4x-5$的图像是否为“定点抛物线”；
(2)若“定点抛物线”$y=x^2 - mx +2 -k$与x轴只有一个公共点，求k的值.
11. 新定义:如果二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像经过点$(-1,0)$，那么称此二次函数图像为“定点抛物线”.
(1)试判断二次函数$y=x^2-4x-5$的图像是否为“定点抛物线”；
(2)若“定点抛物线”$y=x^2 - mx +2 -k$与x轴只有一个公共点，求k的值.
答案
11.解:(1)将点$(-1,0)$代入$y=x^2-4x-5$,
得$1+4-5=0$,
$\therefore$二次函数$y=x^2-4x-5$的图像是“定点抛物线”.
(2)$\because$“定点抛物线”$y=x^2-mx+2-k$与$x$轴只有一个公共点,
$\therefore \begin{cases}1+m+2-k=0,\\m^2-4(2-k)=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-2,\\k=1.\end{cases}$
得$1+4-5=0$,
$\therefore$二次函数$y=x^2-4x-5$的图像是“定点抛物线”.
(2)$\because$“定点抛物线”$y=x^2-mx+2-k$与$x$轴只有一个公共点,
$\therefore \begin{cases}1+m+2-k=0,\\m^2-4(2-k)=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-2,\\k=1.\end{cases}$
解析
【分析】
（1）首先明确“定点抛物线”的定义：图像经过点$(-1,0)$的二次函数就是定点抛物线。判断给定函数是否符合要求，只需将$x=-1$代入函数解析式，验证对应的$y$值是否为0即可。
（2）第二问先利用“定点抛物线”的定义，将点$(-1,0)$代入解析式得到第一个关于$m$、$k$的方程；再根据抛物线与x轴只有一个公共点，可知对应一元二次方程的判别式$\Delta=0$，得到第二个关于$m$、$k$的方程，联立两个方程求解即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 将$x=-1$代入$y=x^2-4x-5$，得：
$y=(-1)^2-4×(-1)-5=1+4-5=0$，
即点$(-1,0)$在该二次函数的图像上，
$\therefore$ 二次函数$y=x^2-4x-5$的图像是“定点抛物线”。
(2) $\because$ $y=x^2 - mx +2 -k$是“定点抛物线”，
$\therefore$ 将$(-1,0)$代入解析式得：$1+m+2-k=0$ ①；
$\because$ 该抛物线与x轴只有一个公共点，
$\therefore$ 对应一元二次方程的判别式$\Delta=0$，即$m^2-4(2-k)=0$ ②；
联立①②得方程组$\begin{cases}1+m+2-k=0\\m^2-4(2-k)=0\end{cases}$，
由①得$k=m+3$，代入②得$m^2-4(2-m-3)=0$，
整理得$(m+2)^2=0$，解得$m=-2$，
代入$k=m+3$得$k=-2+3=1$。
【答案】
(1) 二次函数$y=x^2-4x-5$的图像是“定点抛物线”；(2) $k=1$
【知识点】
新定义问题，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础应用，解题关键是准确理解新定义的含义，结合二次函数与x轴交点个数和判别式的关系列方程求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确“定点抛物线”的定义：图像经过点$(-1,0)$的二次函数就是定点抛物线。判断给定函数是否符合要求，只需将$x=-1$代入函数解析式，验证对应的$y$值是否为0即可。
（2）第二问先利用“定点抛物线”的定义，将点$(-1,0)$代入解析式得到第一个关于$m$、$k$的方程；再根据抛物线与x轴只有一个公共点，可知对应一元二次方程的判别式$\Delta=0$，得到第二个关于$m$、$k$的方程，联立两个方程求解即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 将$x=-1$代入$y=x^2-4x-5$，得：
$y=(-1)^2-4×(-1)-5=1+4-5=0$，
即点$(-1,0)$在该二次函数的图像上，
$\therefore$ 二次函数$y=x^2-4x-5$的图像是“定点抛物线”。
(2) $\because$ $y=x^2 - mx +2 -k$是“定点抛物线”，
$\therefore$ 将$(-1,0)$代入解析式得：$1+m+2-k=0$ ①；
$\because$ 该抛物线与x轴只有一个公共点，
$\therefore$ 对应一元二次方程的判别式$\Delta=0$，即$m^2-4(2-k)=0$ ②；
联立①②得方程组$\begin{cases}1+m+2-k=0\\m^2-4(2-k)=0\end{cases}$，
由①得$k=m+3$，代入②得$m^2-4(2-m-3)=0$，
整理得$(m+2)^2=0$，解得$m=-2$，
代入$k=m+3$得$k=-2+3=1$。
【答案】
(1) 二次函数$y=x^2-4x-5$的图像是“定点抛物线”；(2) $k=1$
【知识点】
新定义问题，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础应用，解题关键是准确理解新定义的含义，结合二次函数与x轴交点个数和判别式的关系列方程求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
12. 如图，已知关于$ x $的二次函数$ y = x^2 + bx + c $的图像经过点$ A(4,5) $与点$ B(0,-3) $，且与$ x $轴交于点$ C $、$ D $。
(1) 求该二次函数的表达式，以及与$ x $轴的交点坐标；
(2) 若点$ Q(m,n) $在该二次函数图像上，
① 求$ n $的最小值；
② 若点$ Q $到$ x $轴的距离小于3，请结合函数图像直接写出$ m $的取值范围。
(1) 求该二次函数的表达式，以及与$ x $轴的交点坐标；
(2) 若点$ Q(m,n) $在该二次函数图像上，
① 求$ n $的最小值；
② 若点$ Q $到$ x $轴的距离小于3，请结合函数图像直接写出$ m $的取值范围。
答案
12.解:(1)将点$ A、B $的坐标代入抛物线表达式,
得$\begin{cases}5=16+4b+c,\\c=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=-3,\end{cases}$
故抛物线的表达式为$ y=x^2-2x-3 $.
令$ y=x^2-2x-3=0 $,解得$ x=3 $或$-1$,
故抛物线与$ x $轴的交点坐标为$(3,0)、(-1,0)$.
(2)①$ y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4≥-4 $,
故$ n $的最小值为$-4$.
②令$ |y|=|x^2-2x-3|=3 $,
解得$ x=0 $或$ 2 $或$ 1\pm\sqrt{7} $,
故$ m $的取值范围为$ 1-\sqrt{7}＜m＜0 $或$ 2＜m＜1+\sqrt{7} $.
得$\begin{cases}5=16+4b+c,\\c=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=-3,\end{cases}$
故抛物线的表达式为$ y=x^2-2x-3 $.
令$ y=x^2-2x-3=0 $,解得$ x=3 $或$-1$,
故抛物线与$ x $轴的交点坐标为$(3,0)、(-1,0)$.
(2)①$ y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4≥-4 $,
故$ n $的最小值为$-4$.
②令$ |y|=|x^2-2x-3|=3 $,
解得$ x=0 $或$ 2 $或$ 1\pm\sqrt{7} $,
故$ m $的取值范围为$ 1-\sqrt{7}＜m＜0 $或$ 2＜m＜1+\sqrt{7} $.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图像经过两个定点，可使用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于未知系数b、c的方程组，解方程组即可求出函数表达式；求函数与x轴的交点，只需令y=0，解对应的一元二次方程，所得根就是交点的横坐标。
(2) ① 该二次函数开口向上，顶点处函数值最小，可通过配方法将解析式化为顶点式，直接得到函数的最小值即n的最小值；② 点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，因此只需解不等式$|x^2-2x-3|＜3$，先求出$|x^2-2x-3|=3$时的x值，再结合函数图像即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(4,5)$、$B(0,-3)$代入二次函数$y = x^2 + bx + c$，得：
$\begin{cases}5=16+4b+c\\c=-3\end{cases}$
将$c=-3$代入第一个方程，解得$b=-2$，因此二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x=3$或$x=-1$，因此函数与x轴的交点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$。
(2) ① 将解析式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore (x-1)^2-4≥-4$，即函数的最小值为-4，因此n的最小值为-4。
② 点Q到x轴的距离小于3，即$|n|＜3$，也就是$|x^2-2x-3|＜3$，
先解方程$|x^2-2x-3|=3$：
当$x^2-2x-3=3$时，$x^2-2x-6=0$，解得$x=1\pm\sqrt{7}$；
当$x^2-2x-3=-3$时，$x^2-2x=0$，解得$x=0$或$x=2$。
结合二次函数图像，可得m的取值范围为$1-\sqrt{7}＜m＜0$或$2＜m＜1+\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$，与x轴交点坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$、$\boldsymbol{(3,0)}$；
(2) ① n的最小值为$\boldsymbol{-4}$；② m的取值范围为$\boldsymbol{1-\sqrt{7}＜m＜0}$或$\boldsymbol{2＜m＜1+\sqrt{7}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，涵盖了解析式求解、坐标轴交点计算、最值求解以及结合图像解不等式的考点，解题时运用数形结合思想可更快速直观地得到不等式的解集。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数图像经过两个定点，可使用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于未知系数b、c的方程组，解方程组即可求出函数表达式；求函数与x轴的交点，只需令y=0，解对应的一元二次方程，所得根就是交点的横坐标。
(2) ① 该二次函数开口向上，顶点处函数值最小，可通过配方法将解析式化为顶点式，直接得到函数的最小值即n的最小值；② 点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，因此只需解不等式$|x^2-2x-3|＜3$，先求出$|x^2-2x-3|=3$时的x值，再结合函数图像即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(4,5)$、$B(0,-3)$代入二次函数$y = x^2 + bx + c$，得：
$\begin{cases}5=16+4b+c\\c=-3\end{cases}$
将$c=-3$代入第一个方程，解得$b=-2$，因此二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x=3$或$x=-1$，因此函数与x轴的交点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$。
(2) ① 将解析式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore (x-1)^2-4≥-4$，即函数的最小值为-4，因此n的最小值为-4。
② 点Q到x轴的距离小于3，即$|n|＜3$，也就是$|x^2-2x-3|＜3$，
先解方程$|x^2-2x-3|=3$：
当$x^2-2x-3=3$时，$x^2-2x-6=0$，解得$x=1\pm\sqrt{7}$；
当$x^2-2x-3=-3$时，$x^2-2x=0$，解得$x=0$或$x=2$。
结合二次函数图像，可得m的取值范围为$1-\sqrt{7}＜m＜0$或$2＜m＜1+\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$，与x轴交点坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$、$\boldsymbol{(3,0)}$；
(2) ① n的最小值为$\boldsymbol{-4}$；② m的取值范围为$\boldsymbol{1-\sqrt{7}＜m＜0}$或$\boldsymbol{2＜m＜1+\sqrt{7}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，涵盖了解析式求解、坐标轴交点计算、最值求解以及结合图像解不等式的考点，解题时运用数形结合思想可更快速直观地得到不等式的解集。
【难度系数】
0.7
