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13 如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,抛物线 $ y = ax^2 - 4ax + 6 $ 与 x 轴的负半轴交于点 A,与 x 轴的正半轴交于点 B,与 y 轴的正半轴交于点 C,OB=2OA.
(1)直接写出抛物线的表达式: ______;
(2)在(1)的条件下,点 D 是第四象限内抛物线上一点,连接 AD 交 y 轴于点 E,过点 C 作 CF⊥y 轴交抛物线于点 F,连接 DF.设四边形 DECF 的面积为 S,点 D 的横坐标为 t,求 S 与 t 的函数表达式.
(1)直接写出抛物线的表达式: ______;
(2)在(1)的条件下,点 D 是第四象限内抛物线上一点,连接 AD 交 y 轴于点 E,过点 C 作 CF⊥y 轴交抛物线于点 F,连接 DF.设四边形 DECF 的面积为 S,点 D 的横坐标为 t,求 S 与 t 的函数表达式.
答案
13.解:(1)抛物线 $ y=ax^2-4ax+6 $ 与 $ x $ 轴的负半轴交于点 $ A $,与 $ x $ 轴的正半轴交于点 $ B $,与 $ y $ 轴的正半轴交于点 $ C $,$OB=2OA$.
设 $ A(-m,0) $,则 $ B(2m,0) $,
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $ y=a(x+m)(x-2m) $,
即 $ y=ax^2-amx-2am^2 $,
$\therefore \begin{cases}m=4,\\-2am^2=6,\end{cases}$ 解得 $ a=-\frac{3}{16} $,
故答案为 $ y=-\frac{3}{16}x^2+\frac{3}{4}x+6 $.
(2)过点 $ D $ 作 $ DT⊥ y $ 轴于点 $ T $,
由(1)得 $ A(-4,0),B(8,0),C(0,6) $.
$\because$ 抛物线的对称轴为 $ x=\frac{-4+8}{2}=2 $,$\therefore F(4,6) $.
$\because$ 点 $ D $ 的横坐标为 $ t $,$\therefore D(t,-\frac{3}{16}t^2+\frac{3}{4}t+6) $.
设直线 $ AD $ 的表达式为 $ y=kx+b $,
$\begin{cases}kt+b=-\frac{3}{16}t^2+\frac{3}{4}t+6,\\-4k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{3}{16}(t-8),\\b=6-\frac{3}{4}t,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $ AD $ 的表达式为 $ y=-\frac{3}{16}(t-8)x+6-\frac{3}{4}t $,
$\therefore E(0,6-\frac{3}{4}t)$,$\therefore OE=\frac{3}{4}t-6 $,
$\therefore S=\frac{1}{2}t(6+\frac{3}{4}t-6)+\frac{1}{2}×4[6-(-\frac{3}{16}t^2+\frac{3}{4}t+6)]=\frac{3}{4}t^2-\frac{3}{2}t$.
解析
【分析】
(1) 根据OB=2OA设出A、B两点坐标，将抛物线写成交点式后展开，与给定的抛物线一般式对比系数，先求出m的值，再计算a的值，即可得到抛物线表达式。
(2) 先根据抛物线解析式求出A、C点坐标，结合抛物线对称轴得到F点坐标，再用待定系数法求出直线AD的解析式，得到E点坐标，最后用割补法将四边形DECF的面积拆分为两部分分别计算，求和后即可得到S与t的函数表达式。
【解析】
(1) 设$A(-m,0)$（$m＞0$），由$OB=2OA$得$B(2m,0)$，则抛物线的交点式为$y=a(x+m)(x-2m)$，展开得：
$y=ax^2-amx-2am^2$
与原式$y=ax^2-4ax+6$对比系数得：
$\begin{cases}-am=-4a\\-2am^2=6\end{cases}$
$\because a≠0$，解得$m=4$，代入第二个方程得$-32a=6$，$a=-\frac{3}{16}$。
(2) 过点$D$作$DT⊥ y$轴于点$T$，
由(1)得$A(-4,0),B(8,0),C(0,6)$，抛物线对称轴为$x=\frac{-4+8}{2}=2$，$\because CF⊥y$轴，$\therefore F$与$C$关于对称轴对称，得$F(4,6)$。
点$D$横坐标为$t$，则$D(t,-\frac{3}{16}t^2+\frac{3}{4}t+6)$，设直线$AD$解析式为$y=kx+b$，代入$A(-4,0)$和$D$的坐标得：
$\begin{cases}-4k+b=0\\kt+b=-\frac{3}{16}t^2+\frac{3}{4}t+6\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{16}(t-8)\\b=6-\frac{3}{4}t\end{cases}$，则$E(0,6-\frac{3}{4}t)$。
四边形$DECF$面积拆为两部分计算：
$S=\frac{1}{2}t×[6-(6-\frac{3}{4}t)]+\frac{1}{2}×4×[6-(-\frac{3}{16}t^2+\frac{3}{4}t+6)]$
化简得$S=\frac{3}{4}t^2-\frac{3}{2}t$。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{16}x^2+\frac{3}{4}x+6$
(2) $S=\frac{3}{4}t^2-\frac{3}{2}t$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查了二次函数解析式的求解、一次函数解析式的确定以及不规则图形面积的计算，解题的关键是熟练掌握坐标与函数解析式的转化，灵活运用割补法处理面积问题，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1) 根据OB=2OA设出A、B两点坐标，将抛物线写成交点式后展开，与给定的抛物线一般式对比系数，先求出m的值，再计算a的值，即可得到抛物线表达式。
(2) 先根据抛物线解析式求出A、C点坐标，结合抛物线对称轴得到F点坐标，再用待定系数法求出直线AD的解析式，得到E点坐标，最后用割补法将四边形DECF的面积拆分为两部分分别计算，求和后即可得到S与t的函数表达式。
【解析】
(1) 设$A(-m,0)$（$m＞0$），由$OB=2OA$得$B(2m,0)$，则抛物线的交点式为$y=a(x+m)(x-2m)$，展开得：
$y=ax^2-amx-2am^2$
与原式$y=ax^2-4ax+6$对比系数得：
$\begin{cases}-am=-4a\\-2am^2=6\end{cases}$
$\because a≠0$，解得$m=4$，代入第二个方程得$-32a=6$，$a=-\frac{3}{16}$。
(2) 过点$D$作$DT⊥ y$轴于点$T$，
由(1)得$A(-4,0),B(8,0),C(0,6)$，抛物线对称轴为$x=\frac{-4+8}{2}=2$，$\because CF⊥y$轴，$\therefore F$与$C$关于对称轴对称，得$F(4,6)$。
点$D$横坐标为$t$，则$D(t,-\frac{3}{16}t^2+\frac{3}{4}t+6)$，设直线$AD$解析式为$y=kx+b$，代入$A(-4,0)$和$D$的坐标得：
$\begin{cases}-4k+b=0\\kt+b=-\frac{3}{16}t^2+\frac{3}{4}t+6\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{16}(t-8)\\b=6-\frac{3}{4}t\end{cases}$，则$E(0,6-\frac{3}{4}t)$。
四边形$DECF$面积拆为两部分计算：
$S=\frac{1}{2}t×[6-(6-\frac{3}{4}t)]+\frac{1}{2}×4×[6-(-\frac{3}{16}t^2+\frac{3}{4}t+6)]$
化简得$S=\frac{3}{4}t^2-\frac{3}{2}t$。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{16}x^2+\frac{3}{4}x+6$
(2) $S=\frac{3}{4}t^2-\frac{3}{2}t$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查了二次函数解析式的求解、一次函数解析式的确定以及不规则图形面积的计算，解题的关键是熟练掌握坐标与函数解析式的转化，灵活运用割补法处理面积问题，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
14综合与实践:设计公交车停靠站的扩建方案.
【素材1】图1为某公交车停靠站,顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成.图2为某段结构示意图,$C_1$、$C_2$皆为轴对称图形,且关于点$M$成中心对称,该段结构水平宽度为8米.
【素材2】图3为停靠站部分截面示意图,两根长为2.5米的立柱$M_1N_1$、$M_2N_2$竖直立于地面并支撑在对称中心$M_1$、$M_2$处.小温将长为2.8米的竹竿$AB$竖直立于地面,当点$A$触碰到顶棚时,测得$N_2B$为1米.
【素材3】将顶棚扩建,要求顶棚截面为轴对称图形,且水平宽度为27米.计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板.
【任务】
(1)确定中心:求图2中点$M$到该结构最低点的水平距离$l$;
(2)确定形状:在图3中建立合适的平面直角坐标系,求$C_1$的函数表达式;
(3)确定高度:求挡风板的高度.
【素材1】图1为某公交车停靠站,顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成.图2为某段结构示意图,$C_1$、$C_2$皆为轴对称图形,且关于点$M$成中心对称,该段结构水平宽度为8米.
【素材2】图3为停靠站部分截面示意图,两根长为2.5米的立柱$M_1N_1$、$M_2N_2$竖直立于地面并支撑在对称中心$M_1$、$M_2$处.小温将长为2.8米的竹竿$AB$竖直立于地面,当点$A$触碰到顶棚时,测得$N_2B$为1米.
【素材3】将顶棚扩建,要求顶棚截面为轴对称图形,且水平宽度为27米.计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板.
【任务】
(1)确定中心:求图2中点$M$到该结构最低点的水平距离$l$;
(2)确定形状:在图3中建立合适的平面直角坐标系,求$C_1$的函数表达式;
(3)确定高度:求挡风板的高度.
答案
14.解:(1)$\because C_1、C_2$皆为轴对称图形,且关于点$M$成中心对称,水平宽度为8米,
$\therefore 8÷2÷2=2$(米),
$\therefore$ 中点 $ M $ 到该结构最低点间的水平距离 $ l $ 为 2 米.
(2)以点 $ M_2 $ 为原点,如图建立平面直角坐标系.
$\because C_1$ 过点 $(0,0)、(1,0.3)$,对称轴为直线 $ x=2 $,
$\therefore$ 设 $ C_1 $ 的函数表达式为 $ y=a(x-2)^2+h $.
将 $(0,0)、(1,0.3)$ 代入,
得 $\begin{cases}4a+h=0,\\a+h=0.3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-0.1,\\h=0.4,\end{cases}$
$\therefore C_1$ 的函数表达式为 $ y=-0.1(x-2)^2+0.4 $.
(答案不唯一)
(3)$27-8×3=3$(米),$3÷2=1.5$(米),
①当 $ x=1.5+2=3.5 $ 时,
$ y=-0.1×(3.5-2)^2+0.4=0.175 $,
$\therefore h=2.5+0.175=2.675$(米);
②当 $ x=1.5-2=-0.5 $ 时,
$ y=-0.1×(-0.5+2)^2+0.4=-0.175 $,
$\therefore h=2.5+(-0.175)=2.325$(米).
综上所述,挡风板的高度为 2.675 米或 2.325 米.
解析
【分析】
(1) 第一问先利用对称性质分析：C₁、C₂关于M中心对称，说明M是两段的公共对称中心，整段水平宽度8米，因此单段C₁、C₂的水平宽度各为4米；又因为C₁、C₂都是轴对称图形，各自对称轴到自身边缘的水平距离为4÷2=2米，即可得到l的长度。
(2) 第二问首先建立平面直角坐标系，以M₂为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。先确定已知点坐标：M₂为(0,0)，竹竿AB长2.8米、立柱高2.5米，因此A点纵坐标为0.3，又N₂B=1米，得A(1,0.3)；结合第一问结论可知C₁的对称轴为直线x=2，设顶点式二次函数，代入两点即可求解系数得到解析式。
(3) 第三问先计算27米宽度的分段：每段完整结构宽8米，3个完整段共24米，剩余3米，因顶棚为轴对称图形，两侧各剩余1.5米。分别代入对应x值计算函数值，再加立柱高度2.5米，即可得到两种情况的挡风板高度。
【解析】
(1) 已知C₁、C₂均为轴对称图形，且关于点M成中心对称，该段结构总水平宽度为8米，因此单段C₁、C₂的水平宽度为$8÷2=4$米。由于C₁、C₂自身是轴对称图形，其对称轴到自身端点的水平距离为$4÷2=2$米，即$l=2$米。
(2) 以点$M_2$为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得，$C_1$过点$(0,0)$和$A(1, 2.8-2.5=0.3)$，对称轴为直线$x=2$，设$C_1$的函数表达式为$y=a(x-2)^2+h$（$a≠0$）。
将$(0,0)、(1,0.3)$代入得：
$\begin{cases}4a+h=0\\a+h=0.3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-0.1\\h=0.4\end{cases}$
因此$C_1$的函数表达式为$y=-0.1(x-2)^2+0.4$（$0≤x≤4$，坐标系不同表达式不同）。
(3) 扩建后总宽度27米，3个完整段总宽度为$8×3=24$米，剩余宽度为$27-24=3$米，因顶棚为轴对称图形，每侧超出完整段的水平长度为$3÷2=1.5$米。
分两种情况计算：
① 当末端对应$C_1$右侧时，$x=2+1.5=3.5$，代入得$y=-0.1×(3.5-2)^2+0.4=0.175$，挡风板高度为$2.5+0.175=2.675$米。
② 当末端对应$C_2$左侧时，$x=-0.5$，代入得$y=-0.1×(-0.5-2)^2+0.4=-0.175$，挡风板高度为$2.5-0.175=2.325$米。
【答案】
14.解:(1)$\because C_1、C_2$皆为轴对称图形,且关于点$M$成中心对称,水平宽度为8米,
$\therefore 8÷2÷2=2$(米),
$\therefore$ 中点 $ M $ 到该结构最低点间的水平距离 $ l $ 为 2 米.
(2)以点 $ M_2 $ 为原点,如图建立平面直角坐标系.
$\because C_1$ 过点 $(0,0)、(1,0.3)$,对称轴为直线 $ x=2 $,
$\therefore$ 设 $ C_1 $ 的函数表达式为 $ y=a(x-2)^2+h $.
将 $(0,0)、(1,0.3)$ 代入,
得 $\begin{cases}4a+h=0,\\a+h=0.3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-0.1,\\h=0.4,\end{cases}$
$\therefore C_1$的函数表达式为 $ y=-0.1(x-2)^2+0.4 $.
(答案不唯一)
(3)$27-8×3=3$(米),$3÷2=1.5$(米),
①当 $ x=1.5+2=3.5 $ 时,
$ y=-0.1×(3.5-2)^2+0.4=0.175 $,
$\therefore h=2.5+0.175=2.675$(米);
②当 $ x=1.5-2=-0.5 $ 时,
$ y=-0.1×(-0.5+2)^2+0.4=-0.175 $,
$\therefore h=2.5+(-0.175)=2.325$(米).
综上所述,挡风板的高度为 2.675 米或 2.325 米.
【知识点】
对称的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合公交站台顶棚的实际场景，将几何对称性质与二次函数知识结合，需要学生自主提取有效信息建立坐标系求解函数，并结合分类讨论思想计算实际高度，考察了学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问先利用对称性质分析：C₁、C₂关于M中心对称，说明M是两段的公共对称中心，整段水平宽度8米，因此单段C₁、C₂的水平宽度各为4米；又因为C₁、C₂都是轴对称图形，各自对称轴到自身边缘的水平距离为4÷2=2米，即可得到l的长度。
(2) 第二问首先建立平面直角坐标系，以M₂为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。先确定已知点坐标：M₂为(0,0)，竹竿AB长2.8米、立柱高2.5米，因此A点纵坐标为0.3，又N₂B=1米，得A(1,0.3)；结合第一问结论可知C₁的对称轴为直线x=2，设顶点式二次函数，代入两点即可求解系数得到解析式。
(3) 第三问先计算27米宽度的分段：每段完整结构宽8米，3个完整段共24米，剩余3米，因顶棚为轴对称图形，两侧各剩余1.5米。分别代入对应x值计算函数值，再加立柱高度2.5米，即可得到两种情况的挡风板高度。
【解析】
(1) 已知C₁、C₂均为轴对称图形，且关于点M成中心对称，该段结构总水平宽度为8米，因此单段C₁、C₂的水平宽度为$8÷2=4$米。由于C₁、C₂自身是轴对称图形，其对称轴到自身端点的水平距离为$4÷2=2$米，即$l=2$米。
(2) 以点$M_2$为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得，$C_1$过点$(0,0)$和$A(1, 2.8-2.5=0.3)$，对称轴为直线$x=2$，设$C_1$的函数表达式为$y=a(x-2)^2+h$（$a≠0$）。
将$(0,0)、(1,0.3)$代入得：
$\begin{cases}4a+h=0\\a+h=0.3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-0.1\\h=0.4\end{cases}$
因此$C_1$的函数表达式为$y=-0.1(x-2)^2+0.4$（$0≤x≤4$，坐标系不同表达式不同）。
(3) 扩建后总宽度27米，3个完整段总宽度为$8×3=24$米，剩余宽度为$27-24=3$米，因顶棚为轴对称图形，每侧超出完整段的水平长度为$3÷2=1.5$米。
分两种情况计算：
① 当末端对应$C_1$右侧时，$x=2+1.5=3.5$，代入得$y=-0.1×(3.5-2)^2+0.4=0.175$，挡风板高度为$2.5+0.175=2.675$米。
② 当末端对应$C_2$左侧时，$x=-0.5$，代入得$y=-0.1×(-0.5-2)^2+0.4=-0.175$，挡风板高度为$2.5-0.175=2.325$米。
【答案】
14.解:(1)$\because C_1、C_2$皆为轴对称图形,且关于点$M$成中心对称,水平宽度为8米,
$\therefore 8÷2÷2=2$(米),
$\therefore$ 中点 $ M $ 到该结构最低点间的水平距离 $ l $ 为 2 米.
(2)以点 $ M_2 $ 为原点,如图建立平面直角坐标系.
$\because C_1$ 过点 $(0,0)、(1,0.3)$,对称轴为直线 $ x=2 $,
$\therefore$ 设 $ C_1 $ 的函数表达式为 $ y=a(x-2)^2+h $.
将 $(0,0)、(1,0.3)$ 代入,
得 $\begin{cases}4a+h=0,\\a+h=0.3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-0.1,\\h=0.4,\end{cases}$
$\therefore C_1$的函数表达式为 $ y=-0.1(x-2)^2+0.4 $.
(答案不唯一)
(3)$27-8×3=3$(米),$3÷2=1.5$(米),
①当 $ x=1.5+2=3.5 $ 时,
$ y=-0.1×(3.5-2)^2+0.4=0.175 $,
$\therefore h=2.5+0.175=2.675$(米);
②当 $ x=1.5-2=-0.5 $ 时,
$ y=-0.1×(-0.5+2)^2+0.4=-0.175 $,
$\therefore h=2.5+(-0.175)=2.325$(米).
综上所述,挡风板的高度为 2.675 米或 2.325 米.
【知识点】
对称的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合公交站台顶棚的实际场景，将几何对称性质与二次函数知识结合，需要学生自主提取有效信息建立坐标系求解函数，并结合分类讨论思想计算实际高度，考察了学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
