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12 如图，已知抛物线$y=ax^2+bx-4$与$x$轴分别交于点$A(2,0)$、$B(-4,0)$，与$y$轴交于点$C$，点$Q$是抛物线上一点。
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点$Q$在直线$BC$下方的抛物线上，过点$Q$作$QD⊥ x$轴于点$D$，交直线$BC$于点$E$，作$QF⊥ BC$于点$F$，当$BE=2EF$时，求点$Q$的坐标。
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点$Q$在直线$BC$下方的抛物线上，过点$Q$作$QD⊥ x$轴于点$D$，交直线$BC$于点$E$，作$QF⊥ BC$于点$F$，当$BE=2EF$时，求点$Q$的坐标。
答案
12.解:(1)由已知可设 $y=a(x+4)(x-2)=a(x^2+2x-8)$,则$-8a=-4$,得 $a=\frac{1}{2}$,进而有 $b=2a=1$,
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{2}x^2+x-4$.
(2)由(1)知 $y=\frac{1}{2}x^2+x-4$,
当 $x=0$ 时,$y=-4$,$\therefore C(0,-4)$,
$\therefore OB=OC$,$\therefore ∠ BCO=∠ OBC=45°$,
$\therefore ∠ BED=∠ QEF=45°$.
$\because QF⊥ BC$,$\therefore ∠ QFE=90°$,
$\therefore ∠ EQF=∠ QEF=45°$,$\therefore EF=QF$.
设直线 $BC$ 的表达式为 $y=ax+b$,
则 $\begin{cases}-4a+b=0,\\b=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=-4,\end{cases}$
$\therefore BC$ 的表达式为 $y=-x-4$.
设点 $E(x,-x-4)$,则点 $Q(x,\frac{1}{2}x^2+x-4)$,
则 $EQ=-x-4-(\frac{1}{2}x^2+x-4)=-\frac{1}{2}x^2-2x=\sqrt{2}EF$.
$\because BE=\sqrt{2}BD=\sqrt{2}(x+4)$,$BE=2EF$,
$\therefore \sqrt{2}(x+4)=\sqrt{2}(-\frac{1}{2}x^2-2x)$,
解得 $x=-4$(舍去)或 $x=-2$,$\therefore$ 点 $Q(-2,-4)$.
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{2}x^2+x-4$.
(2)由(1)知 $y=\frac{1}{2}x^2+x-4$,
当 $x=0$ 时,$y=-4$,$\therefore C(0,-4)$,
$\therefore OB=OC$,$\therefore ∠ BCO=∠ OBC=45°$,
$\therefore ∠ BED=∠ QEF=45°$.
$\because QF⊥ BC$,$\therefore ∠ QFE=90°$,
$\therefore ∠ EQF=∠ QEF=45°$,$\therefore EF=QF$.
设直线 $BC$ 的表达式为 $y=ax+b$,
则 $\begin{cases}-4a+b=0,\\b=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=-4,\end{cases}$
$\therefore BC$ 的表达式为 $y=-x-4$.
设点 $E(x,-x-4)$,则点 $Q(x,\frac{1}{2}x^2+x-4)$,
则 $EQ=-x-4-(\frac{1}{2}x^2+x-4)=-\frac{1}{2}x^2-2x=\sqrt{2}EF$.
$\because BE=\sqrt{2}BD=\sqrt{2}(x+4)$,$BE=2EF$,
$\therefore \sqrt{2}(x+4)=\sqrt{2}(-\frac{1}{2}x^2-2x)$,
解得 $x=-4$(舍去)或 $x=-2$,$\therefore$ 点 $Q(-2,-4)$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设抛物线解析式，对比原式的常数项即可求出系数a，进而得到完整的抛物线表达式。
(2) 首先求出抛物线与y轴交点C的坐标，可判定△OBC是等腰直角三角形，推导得出△QEF也为等腰直角三角形，得到线段间的比例关系；再求出直线BC的解析式，利用Q、E横坐标相同的特点设点坐标，用含x的式子表示出BE、EF的长度，结合BE=2EF的等量关系列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到点Q的坐标。
【解析】
(1) 已知抛物线与x轴交于$A(2,0)$、$B(-4,0)$，设抛物线解析式为$y=a(x+4)(x-2)$，展开得$y=ax^2+2ax-8a$。
结合抛物线原式$y=ax^2+bx-4$，可得$-8a=-4$，解得$a=\frac{1}{2}$，则$b=2a=1$。
(2) 对抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+x-4$，令$x=0$，得$y=-4$，即$C(0,-4)$，因此$OB=OC=4$，$∠ BCO=∠ OBC=45°$。
由$QD⊥ x$轴、$QF⊥ BC$，可得$∠ QEF=45°$，$△ QEF$为等腰直角三角形，故$EQ=\sqrt{2}EF$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+m$，将$B(-4,0)$、$C(0,-4)$代入得：
$\begin{cases}-4k+m=0\\m=-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\m=-4\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x-4$。
设点E横坐标为$x$，则$E(x,-x-4)$，因$QD⊥ x$轴，Q横坐标也为$x$，即$Q(x,\frac{1}{2}x^2+x-4)$。
则$EQ=(-x-4)-(\frac{1}{2}x^2+x-4)=-\frac{1}{2}x^2-2x$，$BE=\sqrt{2}(x+4)$。
结合$BE=2EF$，代入线段关系得：
$\sqrt{2}(x+4)=\sqrt{2}(-\frac{1}{2}x^2-2x)$
整理得$x^2+6x+8=0$，解得$x=-4$（与B重合，舍去）或$x=-2$。
将$x=-2$代入抛物线解析式得$y=-4$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x^2+x-4}$；(2) 点Q的坐标为$\boldsymbol{(-2,-4)}$。
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数解析式求解，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题第一问属于基础考点，掌握二次函数交点式的应用即可快速求解；第二问将二次函数与几何性质结合，需要通过角度关系推导线段比例，合理设点列方程，同时要注意检验解是否符合题意，考查了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设抛物线解析式，对比原式的常数项即可求出系数a，进而得到完整的抛物线表达式。
(2) 首先求出抛物线与y轴交点C的坐标，可判定△OBC是等腰直角三角形，推导得出△QEF也为等腰直角三角形，得到线段间的比例关系；再求出直线BC的解析式，利用Q、E横坐标相同的特点设点坐标，用含x的式子表示出BE、EF的长度，结合BE=2EF的等量关系列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到点Q的坐标。
【解析】
(1) 已知抛物线与x轴交于$A(2,0)$、$B(-4,0)$，设抛物线解析式为$y=a(x+4)(x-2)$，展开得$y=ax^2+2ax-8a$。
结合抛物线原式$y=ax^2+bx-4$，可得$-8a=-4$，解得$a=\frac{1}{2}$，则$b=2a=1$。
(2) 对抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+x-4$，令$x=0$，得$y=-4$，即$C(0,-4)$，因此$OB=OC=4$，$∠ BCO=∠ OBC=45°$。
由$QD⊥ x$轴、$QF⊥ BC$，可得$∠ QEF=45°$，$△ QEF$为等腰直角三角形，故$EQ=\sqrt{2}EF$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+m$，将$B(-4,0)$、$C(0,-4)$代入得：
$\begin{cases}-4k+m=0\\m=-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\m=-4\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x-4$。
设点E横坐标为$x$，则$E(x,-x-4)$，因$QD⊥ x$轴，Q横坐标也为$x$，即$Q(x,\frac{1}{2}x^2+x-4)$。
则$EQ=(-x-4)-(\frac{1}{2}x^2+x-4)=-\frac{1}{2}x^2-2x$，$BE=\sqrt{2}(x+4)$。
结合$BE=2EF$，代入线段关系得：
$\sqrt{2}(x+4)=\sqrt{2}(-\frac{1}{2}x^2-2x)$
整理得$x^2+6x+8=0$，解得$x=-4$（与B重合，舍去）或$x=-2$。
将$x=-2$代入抛物线解析式得$y=-4$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x^2+x-4}$；(2) 点Q的坐标为$\boldsymbol{(-2,-4)}$。
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数解析式求解，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题第一问属于基础考点，掌握二次函数交点式的应用即可快速求解；第二问将二次函数与几何性质结合，需要通过角度关系推导线段比例，合理设点列方程，同时要注意检验解是否符合题意，考查了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
13在代数的领域内,存在着一类具有独特性质的方程,它们被称为“单位根方程”.此类方程的特点在于至少具备一个解:$x=1$.
例如:方程$x^2 - x=0$有解$x=1$,所以$x^2 - x=0$为“单位根方程”.
(1)下列方程是“单位根方程”的有
①$3x - 3=0$ ②$|x - 4|=4$ ③$x^2 + 2x - 3=0$
(2)如图,抛物线$y=ax^2 + bx + 3$与$x$轴正半轴交于点$A$、$B$,与$y$轴交于点$C$,作直线$BC$,已知$S_{△ ABC}=3$,且当$y=0$时,关于$x$的方程$ax^2 + bx + 3=0$为“单位根方程”,求该抛物线的表达式.
例如:方程$x^2 - x=0$有解$x=1$,所以$x^2 - x=0$为“单位根方程”.
(1)下列方程是“单位根方程”的有
①③
;(填序号)①$3x - 3=0$ ②$|x - 4|=4$ ③$x^2 + 2x - 3=0$
(2)如图,抛物线$y=ax^2 + bx + 3$与$x$轴正半轴交于点$A$、$B$,与$y$轴交于点$C$,作直线$BC$,已知$S_{△ ABC}=3$,且当$y=0$时,关于$x$的方程$ax^2 + bx + 3=0$为“单位根方程”,求该抛物线的表达式.
答案
13.解:(1)①$3x-3=0$,解得 $x=1$,
$\therefore 3x-3=0$ 是“单位根方程”;
②$|x-4|=4$,解得 $x_1=0$,$x_2=8$,
$\therefore |x-4|=4$ 不是“单位根方程”;
③$x^2+2x-3=0$,解得 $x_1=-3$,$x_2=1$,
$\therefore x^2+2x-3=0$ 是“单位根方程”.
$\therefore$ 是“单位根方程”的有①③.
(2)$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+3$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$、$B$,与 $y$ 轴交于点 $C$,
$\therefore C(0,3)$,$\therefore OC=3$.
$\because S_{△ ABC}=3$,即 $\frac{1}{2}AB· OC=3$,$\therefore AB=2$.
设 $A(x_1,0)$,$B(x_2,0)$,$\therefore |x_2-x_1|=2$.
由题意可得 $x=1$ 是方程 $ax^2+bx+3=0$ 的解,
$\therefore a+b+3=0$,$\therefore b=-(a+3)$.
又 $\because x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=\frac{3}{a}$,
$\therefore (x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=2^2$,
即 $(-\frac{b}{a})^2-4×\frac{3}{a}=4$,整理得 $b^2-12a=4a^2$,
$\therefore (a+3)^2-12a=4a^2$,解得 $a=-3$ 或 $a=1$.
$\because$ 抛物线的开口向上,$\therefore a=1$,$\therefore b=-4$,
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=x^2-4x+3$.
$\therefore 3x-3=0$ 是“单位根方程”;
②$|x-4|=4$,解得 $x_1=0$,$x_2=8$,
$\therefore |x-4|=4$ 不是“单位根方程”;
③$x^2+2x-3=0$,解得 $x_1=-3$,$x_2=1$,
$\therefore x^2+2x-3=0$ 是“单位根方程”.
$\therefore$ 是“单位根方程”的有①③.
(2)$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+3$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$、$B$,与 $y$ 轴交于点 $C$,
$\therefore C(0,3)$,$\therefore OC=3$.
$\because S_{△ ABC}=3$,即 $\frac{1}{2}AB· OC=3$,$\therefore AB=2$.
设 $A(x_1,0)$,$B(x_2,0)$,$\therefore |x_2-x_1|=2$.
由题意可得 $x=1$ 是方程 $ax^2+bx+3=0$ 的解,
$\therefore a+b+3=0$,$\therefore b=-(a+3)$.
又 $\because x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=\frac{3}{a}$,
$\therefore (x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=2^2$,
即 $(-\frac{b}{a})^2-4×\frac{3}{a}=4$,整理得 $b^2-12a=4a^2$,
$\therefore (a+3)^2-12a=4a^2$,解得 $a=-3$ 或 $a=1$.
$\because$ 抛物线的开口向上,$\therefore a=1$,$\therefore b=-4$,
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=x^2-4x+3$.
解析
【分析】
(1) 第一问考查新定义的理解应用，解题核心是明确“单位根方程”的判定规则：方程存在解$x=1$，只需逐个验证$x=1$代入各方程是否成立，或解方程判断是否含根$x=1$即可。
(2) 第二问为二次函数综合题，解题思路如下：①先根据抛物线解析式求出与y轴交点C的坐标，得到OC的长度，结合三角形面积求出AB的长度；②根据“单位根方程”的定义，可知$x=1$是方程$ax^2+bx+3=0$的根，代入得到$a$与$b$的关系式；③利用一元二次方程根与系数的关系，结合两根差的绝对值为AB的长度列方程求解$a$，再根据抛物线开口向上的性质取舍$a$的取值，最终求出$b$，得到抛物线表达式。
【解析】
(1) ①方程$3x-3=0$，解得$x=1$，含根$x=1$，是“单位根方程”；
②方程$|x-4|=4$，去绝对值得$x-4=\pm4$，解得$x_1=8,x_2=0$，不含根$x=1$，不是“单位根方程”；
③方程$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3,x_2=1$，含根$x=1$，是“单位根方程”。
因此是“单位根方程”的是①③。
(2) 抛物线$y=ax^2+bx+3$与y轴交于点C，令$x=0$得$y=3$，即$C(0,3)$，故$OC=3$。
由$S_{△ ABC}=3$，根据三角形面积公式$\frac{1}{2}·AB·OC=3$，代入$OC=3$得$\frac{1}{2}×AB×3=3$，解得$AB=2$。
设方程$ax^2+bx+3=0$的两根为$x_1,x_2$（即A、B的横坐标），则$|x_2-x_1|=AB=2$。
∵方程$ax^2+bx+3=0$是“单位根方程”，
∴$x=1$是方程的根，代入得$a+b+3=0$，整理得$b=-(a+3)$。
根据根与系数的关系，得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{3}{a}$。
由$(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入$|x_2-x_1|=2$得：
$(-\frac{b}{a})^2 - 4×\frac{3}{a}=2^2$
整理得$b^2-12a=4a^2$，将$b=-(a+3)$代入得：
$(a+3)^2-12a=4a^2$
化简得$a^2+2a-3=0$，解得$a=1$或$a=-3$。
由图像可知抛物线开口向上，故$a＞0$，取$a=1$，代入$b=-(a+3)$得$b=-4$。
【答案】
(1) $\boxed{①③}$
(2) $\boxed{y=x^2-4x+3}$
【知识点】
新定义类问题、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系
【点评】
本题结合新定义考查代数与函数的综合应用，第一问难度较低，准确理解新定义即可快速判断；第二问需要综合运用二次函数图像性质、三角形面积公式、一元二次方程根与系数的关系求解，解题时需注意结合图像特征对参数取值进行取舍，对知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问考查新定义的理解应用，解题核心是明确“单位根方程”的判定规则：方程存在解$x=1$，只需逐个验证$x=1$代入各方程是否成立，或解方程判断是否含根$x=1$即可。
(2) 第二问为二次函数综合题，解题思路如下：①先根据抛物线解析式求出与y轴交点C的坐标，得到OC的长度，结合三角形面积求出AB的长度；②根据“单位根方程”的定义，可知$x=1$是方程$ax^2+bx+3=0$的根，代入得到$a$与$b$的关系式；③利用一元二次方程根与系数的关系，结合两根差的绝对值为AB的长度列方程求解$a$，再根据抛物线开口向上的性质取舍$a$的取值，最终求出$b$，得到抛物线表达式。
【解析】
(1) ①方程$3x-3=0$，解得$x=1$，含根$x=1$，是“单位根方程”；
②方程$|x-4|=4$，去绝对值得$x-4=\pm4$，解得$x_1=8,x_2=0$，不含根$x=1$，不是“单位根方程”；
③方程$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3,x_2=1$，含根$x=1$，是“单位根方程”。
因此是“单位根方程”的是①③。
(2) 抛物线$y=ax^2+bx+3$与y轴交于点C，令$x=0$得$y=3$，即$C(0,3)$，故$OC=3$。
由$S_{△ ABC}=3$，根据三角形面积公式$\frac{1}{2}·AB·OC=3$，代入$OC=3$得$\frac{1}{2}×AB×3=3$，解得$AB=2$。
设方程$ax^2+bx+3=0$的两根为$x_1,x_2$（即A、B的横坐标），则$|x_2-x_1|=AB=2$。
∵方程$ax^2+bx+3=0$是“单位根方程”，
∴$x=1$是方程的根，代入得$a+b+3=0$，整理得$b=-(a+3)$。
根据根与系数的关系，得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{3}{a}$。
由$(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入$|x_2-x_1|=2$得：
$(-\frac{b}{a})^2 - 4×\frac{3}{a}=2^2$
整理得$b^2-12a=4a^2$，将$b=-(a+3)$代入得：
$(a+3)^2-12a=4a^2$
化简得$a^2+2a-3=0$，解得$a=1$或$a=-3$。
由图像可知抛物线开口向上，故$a＞0$，取$a=1$，代入$b=-(a+3)$得$b=-4$。
【答案】
(1) $\boxed{①③}$
(2) $\boxed{y=x^2-4x+3}$
【知识点】
新定义类问题、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系
【点评】
本题结合新定义考查代数与函数的综合应用，第一问难度较低，准确理解新定义即可快速判断；第二问需要综合运用二次函数图像性质、三角形面积公式、一元二次方程根与系数的关系求解，解题时需注意结合图像特征对参数取值进行取舍，对知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
