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5. 抛物线$y=ax^2+2ax+a^2+2$的一部分如图所示，那么该抛物线在$y$轴右侧与$x$轴交点的坐标是（
A.$(\dfrac{1}{2},0)$
B.$(1,0)$
C.$(2,0)$
D.$(3,0)$
B
）A.$(\dfrac{1}{2},0)$
B.$(1,0)$
C.$(2,0)$
D.$(3,0)$
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路：首先利用二次函数对称轴公式求出抛物线的对称轴，再根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质，结合已知的交点$(-3,0)$，即可计算出y轴右侧的另一个交点坐标。也可先代入已知交点求参数$a$，再解一元二次方程求另一个根，利用对称性求解更简便。
【解析】
第一步：求抛物线对称轴。对于抛物线$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中抛物线解析式为$y=ax^2+2ax+a^2+2$，其中$b=2a$，代入公式得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，即抛物线对称轴为直线$x=-1$。
第二步：利用对称性求另一交点。抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知其中一个交点为$(-3,0)$，设右侧交点横坐标为$m$，则两个交点横坐标的中点等于对称轴横坐标：
$\frac{-3+m}{2}=-1$
解得：$-3+m=-2$，$m=1$。
所以y轴右侧与x轴交点坐标为$(1,0)$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数图像的对称性；二次函数与x轴交点
【点评】
本题重点考查二次函数对称性的灵活应用，相比代入求参数再解方程的方法，利用对称轴求解更高效，需要熟练掌握二次函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用二次函数对称轴公式求出抛物线的对称轴，再根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质，结合已知的交点$(-3,0)$，即可计算出y轴右侧的另一个交点坐标。也可先代入已知交点求参数$a$，再解一元二次方程求另一个根，利用对称性求解更简便。
【解析】
第一步：求抛物线对称轴。对于抛物线$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中抛物线解析式为$y=ax^2+2ax+a^2+2$，其中$b=2a$，代入公式得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，即抛物线对称轴为直线$x=-1$。
第二步：利用对称性求另一交点。抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知其中一个交点为$(-3,0)$，设右侧交点横坐标为$m$，则两个交点横坐标的中点等于对称轴横坐标：
$\frac{-3+m}{2}=-1$
解得：$-3+m=-2$，$m=1$。
所以y轴右侧与x轴交点坐标为$(1,0)$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数图像的对称性；二次函数与x轴交点
【点评】
本题重点考查二次函数对称性的灵活应用，相比代入求参数再解方程的方法，利用对称轴求解更高效，需要熟练掌握二次函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
6.若$ m、n(n＜m) $是关于$ x $的一元二次方程$ 1-(x-a)(x-b)=0 $的两个根，且$ b＜a $，则$ m、n、b、a $的大小关系是（
A.$ m＜a＜b＜n $
B.$ a＜m＜n＜b $
C.$ b＜n＜m＜a $
D.$ n＜b＜a＜m $
D
）A.$ m＜a＜b＜n $
B.$ a＜m＜n＜b $
C.$ b＜n＜m＜a $
D.$ n＜b＜a＜m $
答案
6.D
解析
【分析】
要判断m、n、b、a的大小关系，我们可以采用数形结合的方法，将一元二次方程的根转化为二次函数图象与直线的交点横坐标来分析。首先把原方程变形，构造对应的二次函数，先找到该二次函数与x轴的交点（即b和a），再根据方程的根对应函数值为1的点，结合抛物线开口方向判断两个根的位置，最后结合已知的大小关系排序即可。
【解析】
1. 先对原方程变形：$1-(x-a)(x-b)=0$可整理为$(x-a)(x-b)=1$。
2. 构造二次函数$y=(x-a)(x-b)$，该函数二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上。当$y=0$时，方程$(x-a)(x-b)=0$的解为$x=b$和$x=a$，结合$b＜a$，可知抛物线与x轴的两个交点从左到右依次为$(b,0)$、$(a,0)$。
3. 原方程的两个根$m、n$，就是抛物线$y=(x-a)(x-b)$与直线$y=1$的两个交点的横坐标。
4. 由于抛物线开口向上，只有当$x＜b$或$x＞a$时，函数值$y＞0$，而$y=1＞0$，因此两个交点分别位于$x=b$的左侧和$x=a$的右侧。
5. 结合已知$n＜m$，可知左侧交点横坐标为$n$，右侧交点横坐标为$m$，因此大小关系为$n＜b＜a＜m$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与方程的关系；二次函数图象性质；数形结合
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，通过数形结合将抽象的根的大小问题转化为直观的图象交点位置问题，无需复杂计算即可快速得出结论，是解决这类大小比较问题的常用技巧。
【难度系数】
0.65
要判断m、n、b、a的大小关系，我们可以采用数形结合的方法，将一元二次方程的根转化为二次函数图象与直线的交点横坐标来分析。首先把原方程变形，构造对应的二次函数，先找到该二次函数与x轴的交点（即b和a），再根据方程的根对应函数值为1的点，结合抛物线开口方向判断两个根的位置，最后结合已知的大小关系排序即可。
【解析】
1. 先对原方程变形：$1-(x-a)(x-b)=0$可整理为$(x-a)(x-b)=1$。
2. 构造二次函数$y=(x-a)(x-b)$，该函数二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上。当$y=0$时，方程$(x-a)(x-b)=0$的解为$x=b$和$x=a$，结合$b＜a$，可知抛物线与x轴的两个交点从左到右依次为$(b,0)$、$(a,0)$。
3. 原方程的两个根$m、n$，就是抛物线$y=(x-a)(x-b)$与直线$y=1$的两个交点的横坐标。
4. 由于抛物线开口向上，只有当$x＜b$或$x＞a$时，函数值$y＞0$，而$y=1＞0$，因此两个交点分别位于$x=b$的左侧和$x=a$的右侧。
5. 结合已知$n＜m$，可知左侧交点横坐标为$n$，右侧交点横坐标为$m$，因此大小关系为$n＜b＜a＜m$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与方程的关系；二次函数图象性质；数形结合
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，通过数形结合将抽象的根的大小问题转化为直观的图象交点位置问题，无需复杂计算即可快速得出结论，是解决这类大小比较问题的常用技巧。
【难度系数】
0.65
7. 如图,抛物线$ y=-x^2+mx $的对称轴为直线$ x=2 $.若关于$ x $的一元二次方程$ -x^2+mx-t=0 $（$ t $为实数）在$ 1＜x＜3 $的范围内有解,则$ t $的取值范围是 （
A.$ -5＜t＜4 $
B.$ 3＜t≤4 $
C.$ -5＜t＜3 $
D.$ t＞-5 $
B
）A.$ -5＜t＜4 $
B.$ 3＜t≤4 $
C.$ -5＜t＜3 $
D.$ t＞-5 $
答案
7.B
解析
【分析】
要解决一元二次方程$-x^2+mx-t=0$在$1＜x＜3$范围内有解的问题，可转化为二次函数$y=-x^2+mx$与直线$y=t$在该区间内有交点。解题思路如下：首先利用二次函数对称轴公式求出参数$m$，确定抛物线解析式；再计算抛物线在$1＜x＜3$范围内的函数值取值范围，该范围就是$t$的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 求参数$m$：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。本题中抛物线$y=-x^2+mx$的$a=-1$，$b=m$，已知对称轴为直线$x=2$，代入得：
$\frac{m}{2}=2$，解得$m=4$，因此抛物线解析式为$y=-x^2+4x$。
2. 计算$1＜x＜3$范围内$y$的取值：
抛物线开口向下，顶点在对称轴$x=2$处，代入$x=2$得$y=-2^2+4×2=4$，为区间内的最大值，可取得。
分别计算区间端点的函数值：当$x=1$时，$y=-1^2+4×1=3$；当$x=3$时，$y=-3^2+4×3=3$。由于$x$的取值范围是$1＜x＜3$，端点取不到，因此$y＞3$。
综上，在$1＜x＜3$范围内，$y$的取值为$3＜y≤4$。方程$-x^2+4x-t=0$的解对应$y=-x^2+4x$与$y=t$的交点横坐标，因此$t$的取值范围是$3＜t≤4$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数与一元二次方程的联系；二次函数区间最值
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将方程解的存在性问题转化为函数图象交点问题，解题的核心是准确求出二次函数解析式，并正确计算指定区间内的函数值范围。
【难度系数】
0.7
要解决一元二次方程$-x^2+mx-t=0$在$1＜x＜3$范围内有解的问题，可转化为二次函数$y=-x^2+mx$与直线$y=t$在该区间内有交点。解题思路如下：首先利用二次函数对称轴公式求出参数$m$，确定抛物线解析式；再计算抛物线在$1＜x＜3$范围内的函数值取值范围，该范围就是$t$的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 求参数$m$：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。本题中抛物线$y=-x^2+mx$的$a=-1$，$b=m$，已知对称轴为直线$x=2$，代入得：
$\frac{m}{2}=2$，解得$m=4$，因此抛物线解析式为$y=-x^2+4x$。
2. 计算$1＜x＜3$范围内$y$的取值：
抛物线开口向下，顶点在对称轴$x=2$处，代入$x=2$得$y=-2^2+4×2=4$，为区间内的最大值，可取得。
分别计算区间端点的函数值：当$x=1$时，$y=-1^2+4×1=3$；当$x=3$时，$y=-3^2+4×3=3$。由于$x$的取值范围是$1＜x＜3$，端点取不到，因此$y＞3$。
综上，在$1＜x＜3$范围内，$y$的取值为$3＜y≤4$。方程$-x^2+4x-t=0$的解对应$y=-x^2+4x$与$y=t$的交点横坐标，因此$t$的取值范围是$3＜t≤4$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数与一元二次方程的联系；二次函数区间最值
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将方程解的存在性问题转化为函数图象交点问题，解题的核心是准确求出二次函数解析式，并正确计算指定区间内的函数值范围。
【难度系数】
0.7
8.如图,关于$x$的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与直线$y=3$相交于点$A(0,3)$和点$B$,对称轴为直线$x=2$,那么关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的解为
$x_1=0,x_2=4$
.答案
8.$x_1=0,x_2=4$
解析
【分析】
首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的解，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时的自变量$x$的取值，也就是抛物线与直线$y=3$交点的横坐标。已知其中一个交点为$A(0,3)$，即$x=0$是一个解；再利用二次函数图像关于对称轴对称的性质，两个交点关于对称轴$x=2$对称，即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个解。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=3$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=3$交点的横坐标。
已知其中一个交点为$A(0,3)$，因此$x_1=0$是方程的一个解；
因为二次函数的对称轴为直线$x=2$，抛物线的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x_2$，根据对称轴是两个交点横坐标的中点，可得：
$\frac{0+x_2}{2}=2$
解得$x_2=4$
因此方程$ax^2+bx+c=3$的解为$x_1=0,x_2=4$。
【答案】
$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性；二次函数的对称轴
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数中的应用，不需要求解二次函数解析式，仅利用二次函数的对称性和函数与方程的对应关系即可快速解题，是二次函数章节的基础典型题。
【难度系数】
0.8
首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的解，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时的自变量$x$的取值，也就是抛物线与直线$y=3$交点的横坐标。已知其中一个交点为$A(0,3)$，即$x=0$是一个解；再利用二次函数图像关于对称轴对称的性质，两个交点关于对称轴$x=2$对称，即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个解。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=3$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=3$交点的横坐标。
已知其中一个交点为$A(0,3)$，因此$x_1=0$是方程的一个解；
因为二次函数的对称轴为直线$x=2$，抛物线的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x_2$，根据对称轴是两个交点横坐标的中点，可得：
$\frac{0+x_2}{2}=2$
解得$x_2=4$
因此方程$ax^2+bx+c=3$的解为$x_1=0,x_2=4$。
【答案】
$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性；二次函数的对称轴
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数中的应用，不需要求解二次函数解析式，仅利用二次函数的对称性和函数与方程的对应关系即可快速解题，是二次函数章节的基础典型题。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=x^2 -2x -3$与$x$轴交于点$A$、$B$，与$y$轴交于点$C$，顶点为$D$，则$△ BCD$的面积为
3
。答案
9.3
解析
【分析】
要计算△BCD的面积，首先需要确定B、C、D三点的坐标：B是抛物线与x轴正半轴的交点，C是抛物线与y轴的交点，D是抛物线顶点，可分别通过解方程求x轴交点、代入x=0求y轴交点、配方求顶点的方式得到三点坐标。得到坐标后选用割补法计算面积更简便：先求直线BC的解析式，过D作x轴垂线交BC于E，得到公共底DE的长度，再将△BCD拆分为两个以DE为底的小三角形，两个小三角形的高之和为OB的长度，代入面积公式即可算出结果。
【解析】
1. 求各点坐标：
① 求B点坐标：令$y=x^2-2x-3$中$y=0$，得$x^2-2x-3=0$，因式分解为$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，故$B(3,0)$；
② 求C点坐标：令$x=0$，代入抛物线得$y=-3$，故$C(0,-3)$；
③ 求顶点D坐标：将抛物线配方得$y=(x-1)^2-4$，故顶点$D(1,-4)$。
2. 求直线BC的解析式：
设直线BC解析式为$y=kx+b$，代入$B(3,0)$、$C(0,-3)$得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=-3\end{cases}$
解得$k=1,b=-3$，即直线BC解析式为$y=x-3$。
3. 求线段DE长度：
过D作$DE⊥ x$轴交BC于E，E点横坐标为1，代入$y=x-3$得$y=-2$，故$E(1,-2)$，$DE=|-2-(-4)|=2$。
4. 计算△BCD面积：
△BCD可拆分为△CDE和△BDE，公共底$DE=2$，两个三角形的高之和为$1+(3-1)=3$，因此：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× DE × 3=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
3
【知识点】
二次函数的坐标求解、一次函数解析式求法、坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础应用类题型，解题核心是准确获取关键点坐标，灵活选用割补法简化面积计算，能有效考查学生对二次函数基本性质的掌握和图形面积计算的技巧。
【难度系数】
0.7
要计算△BCD的面积，首先需要确定B、C、D三点的坐标：B是抛物线与x轴正半轴的交点，C是抛物线与y轴的交点，D是抛物线顶点，可分别通过解方程求x轴交点、代入x=0求y轴交点、配方求顶点的方式得到三点坐标。得到坐标后选用割补法计算面积更简便：先求直线BC的解析式，过D作x轴垂线交BC于E，得到公共底DE的长度，再将△BCD拆分为两个以DE为底的小三角形，两个小三角形的高之和为OB的长度，代入面积公式即可算出结果。
【解析】
1. 求各点坐标：
① 求B点坐标：令$y=x^2-2x-3$中$y=0$，得$x^2-2x-3=0$，因式分解为$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，故$B(3,0)$；
② 求C点坐标：令$x=0$，代入抛物线得$y=-3$，故$C(0,-3)$；
③ 求顶点D坐标：将抛物线配方得$y=(x-1)^2-4$，故顶点$D(1,-4)$。
2. 求直线BC的解析式：
设直线BC解析式为$y=kx+b$，代入$B(3,0)$、$C(0,-3)$得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=-3\end{cases}$
解得$k=1,b=-3$，即直线BC解析式为$y=x-3$。
3. 求线段DE长度：
过D作$DE⊥ x$轴交BC于E，E点横坐标为1，代入$y=x-3$得$y=-2$，故$E(1,-2)$，$DE=|-2-(-4)|=2$。
4. 计算△BCD面积：
△BCD可拆分为△CDE和△BDE，公共底$DE=2$，两个三角形的高之和为$1+(3-1)=3$，因此：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× DE × 3=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
3
【知识点】
二次函数的坐标求解、一次函数解析式求法、坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础应用类题型，解题核心是准确获取关键点坐标，灵活选用割补法简化面积计算，能有效考查学生对二次函数基本性质的掌握和图形面积计算的技巧。
【难度系数】
0.7
10 已知关于x的二次函数$y=ax^2+(a^2-1)x-a$的图像与x轴的一个交点坐标为$(m,0)$.若$2＜m＜5$,则a的取值范围是________
答案
10.$-5＜a＜-2$或$\frac{1}{5}＜a＜\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。第一步，令y=0，将二次函数转化为一元二次方程，通过因式分解求出方程的两个根；第二步，已知其中一个根m满足2＜m＜5，分两种情况讨论：两个根分别落在(2,5)区间内，分别解对应的不等式组，求解过程中注意根据不等式特点判断a的正负，避免不等号方向出错，最终整合两种情况的结果即可得到a的取值范围。
【解析】
∵ 函数是关于x的二次函数，
∴ a≠0。
令y=0，得：$ax^2+(a^2-1)x-a=0$，
对左边因式分解得：$(ax-1)(x+a)=0$，
解得方程的两个根为：$x_1=\frac{1}{a}$，$x_2=-a$。
已知二次函数与x轴的一个交点横坐标m满足$2＜m＜5$，分两种情况讨论：
1. 当$m=\frac{1}{a}$时，$2＜\frac{1}{a}＜5$，
由$\frac{1}{a}＞2＞0$可知a＞0，不等式两边同时乘a（正数，不等号方向不变）得：
$2a＜1$且$5a＞1$，解得$\frac{1}{5}＜a＜\frac{1}{2}$；
2. 当$m=-a$时，$2＜-a＜5$，
不等式两边同时乘-1（不等号方向改变）得：$-5＜a＜-2$。
综上，a的取值范围是$-5＜a＜-2$或$\frac{1}{5}＜a＜\frac{1}{2}$。
【答案】
$-5＜a＜-2$或$\frac{1}{5}＜a＜\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；因式分解解一元二次方程；不等式组求解
【点评】
本题核心是将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程的根的问题，解题关键是正确因式分解求出方程的两个根，再分情况讨论根的范围，求解不等式时要注意未知数正负对不等号方向的影响，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。第一步，令y=0，将二次函数转化为一元二次方程，通过因式分解求出方程的两个根；第二步，已知其中一个根m满足2＜m＜5，分两种情况讨论：两个根分别落在(2,5)区间内，分别解对应的不等式组，求解过程中注意根据不等式特点判断a的正负，避免不等号方向出错，最终整合两种情况的结果即可得到a的取值范围。
【解析】
∵ 函数是关于x的二次函数，
∴ a≠0。
令y=0，得：$ax^2+(a^2-1)x-a=0$，
对左边因式分解得：$(ax-1)(x+a)=0$，
解得方程的两个根为：$x_1=\frac{1}{a}$，$x_2=-a$。
已知二次函数与x轴的一个交点横坐标m满足$2＜m＜5$，分两种情况讨论：
1. 当$m=\frac{1}{a}$时，$2＜\frac{1}{a}＜5$，
由$\frac{1}{a}＞2＞0$可知a＞0，不等式两边同时乘a（正数，不等号方向不变）得：
$2a＜1$且$5a＞1$，解得$\frac{1}{5}＜a＜\frac{1}{2}$；
2. 当$m=-a$时，$2＜-a＜5$，
不等式两边同时乘-1（不等号方向改变）得：$-5＜a＜-2$。
综上，a的取值范围是$-5＜a＜-2$或$\frac{1}{5}＜a＜\frac{1}{2}$。
【答案】
$-5＜a＜-2$或$\frac{1}{5}＜a＜\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；因式分解解一元二次方程；不等式组求解
【点评】
本题核心是将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程的根的问题，解题关键是正确因式分解求出方程的两个根，再分情况讨论根的范围，求解不等式时要注意未知数正负对不等号方向的影响，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
11.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像过点$A(1,0)$，点$B(-3,0)$和点$C$.
(1)若点$C(0,-3)$，求二次函数的表达式；
(2)当$-3≤x≤0$时，二次函数的最大值为$m$，最小值为$n$，若$m-n=8$，求$a$的值；
(3)若$z=-ax-3a$且$a＜0$，求证：$y-z+\frac{9}{4}a≤0$.
(1)若点$C(0,-3)$，求二次函数的表达式；
(2)当$-3≤x≤0$时，二次函数的最大值为$m$，最小值为$n$，若$m-n=8$，求$a$的值；
(3)若$z=-ax-3a$且$a＜0$，求证：$y-z+\frac{9}{4}a≤0$.
答案
11.(1)解:设二次函数的表达式为 $y=a(x-1)(x+3)$,把 $C(0,-3)$代入,得$-3=a×(0-1)×(0+3)$,解得 $a=1$,
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=(x-1)(x+3)$,即 $y=x^2+2x-3$.
(2)解:抛物线表达式为 $y=a(x-1)(x+3)$,即 $y=ax^2+2ax-3a$,
抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{2a}{2a}=-1$.
当 $x=-1$ 时,$y$ 有最值 $-4a$.
当 $a＞0$ 时,$x=-3$,$m=0$;$x=-1$,$n=-4a$.
$\because m-n=8$,$\therefore 0+4a=8$,解得 $a=2$;
当 $a＜0$ 时,$x=-1$,$m=-4a$;$x=-3$,$n=0$.
$\because m-n=8$,$\therefore -4a-0=8$,解得 $a=-2$.
综上所述,$a$ 的值为 $2$ 或 $-2$.
(3)证明:$\because y=ax^2+2ax-3a$,$z=-ax-3a$,
$\therefore y-z+\frac{9}{4}a=ax^2+2ax-3a-(-ax-3a)+\frac{9}{4}a=ax^2+3ax+\frac{9}{4}a=a(x+\frac{3}{2})^2$.
$\because a＜0$,$(x+\frac{3}{2})^2≥ 0$,
$\therefore a(x+\frac{3}{2})^2≤ 0$,即 $y-z+\frac{9}{4}a≤ 0$.
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=(x-1)(x+3)$,即 $y=x^2+2x-3$.
(2)解:抛物线表达式为 $y=a(x-1)(x+3)$,即 $y=ax^2+2ax-3a$,
抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{2a}{2a}=-1$.
当 $x=-1$ 时,$y$ 有最值 $-4a$.
当 $a＞0$ 时,$x=-3$,$m=0$;$x=-1$,$n=-4a$.
$\because m-n=8$,$\therefore 0+4a=8$,解得 $a=2$;
当 $a＜0$ 时,$x=-1$,$m=-4a$;$x=-3$,$n=0$.
$\because m-n=8$,$\therefore -4a-0=8$,解得 $a=-2$.
综上所述,$a$ 的值为 $2$ 或 $-2$.
(3)证明:$\because y=ax^2+2ax-3a$,$z=-ax-3a$,
$\therefore y-z+\frac{9}{4}a=ax^2+2ax-3a-(-ax-3a)+\frac{9}{4}a=ax^2+3ax+\frac{9}{4}a=a(x+\frac{3}{2})^2$.
$\because a＜0$,$(x+\frac{3}{2})^2≥ 0$,
$\therefore a(x+\frac{3}{2})^2≤ 0$,即 $y-z+\frac{9}{4}a≤ 0$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点，可优先选用交点式设函数解析式为$y=a(x-1)(x+3)$，再将点C(0,-3)代入解析式求出参数a，最后整理为一般式即可。
(2) 先根据抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴为直线$x=-1$，该对称轴落在给定区间$[-3,0]$内。由于二次函数开口方向由a的符号决定，区间内的最值对应位置不同，因此分$a＞0$、$a＜0$两种情况，分别确定区间内的最大值m和最小值n，代入$m-n=8$求解a即可。
(3) 先将y和z的表达式代入待证的代数式，合并同类项后进行配方，再结合$a＜0$以及平方数的非负性，即可推导得到代数式的取值范围。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为 $y=a(x-1)(x+3)$，把 $C(0,-3)$代入，得$-3=a×(0-1)×(0+3)$，解得 $a=1$，
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=(x-1)(x+3)$，即 $y=x^2+2x-3$。
(2) 抛物线表达式为 $y=a(x-1)(x+3)$，整理得 $y=ax^2+2ax-3a$，
抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
当 $x=-1$ 时，$y$ 有最值 $-4a$。
当 $a＞0$ 时，抛物线开口向上，在区间$[-3,0]$内，$x=-3$时$m=0$；$x=-1$时$n=-4a$。
$\because m-n=8$，$\therefore 0+4a=8$，解得 $a=2$；
当 $a＜0$ 时，抛物线开口向下，在区间$[-3,0]$内，$x=-1$时$m=-4a$；$x=-3$时$n=0$。
$\because m-n=8$，$\therefore -4a-0=8$，解得 $a=-2$。
综上所述，$a$ 的值为 $2$ 或 $-2$。
(3) 证明：$\because y=ax^2+2ax-3a$，$z=-ax-3a$，
$\therefore y-z+\frac{9}{4}a=ax^2+2ax-3a-(-ax-3a)+\frac{9}{4}a=ax^2+3ax+\frac{9}{4}a=a(x+\frac{3}{2})^2$。
$\because a＜0$，$(x+\frac{3}{2})^2≥ 0$，
$\therefore a(x+\frac{3}{2})^2≤ 0$，即 $y-z+\frac{9}{4}a≤ 0$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$；
(2) $a=2$或$a=-2$；
(3) 不等式$y-z+\frac{9}{4}a≤0$成立。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数区间最值；配方法应用
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问是基础的解析式求解考点；第二问需根据开口方向分类讨论区间最值，是易漏分的考点；第三问核心是代数式化简与配方，解题时要注意结合a的符号判断代数式的正负，整体考查的都是二次函数的核心基础知识点。
【难度系数】
0.65
(1) 已知二次函数图象与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点，可优先选用交点式设函数解析式为$y=a(x-1)(x+3)$，再将点C(0,-3)代入解析式求出参数a，最后整理为一般式即可。
(2) 先根据抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴为直线$x=-1$，该对称轴落在给定区间$[-3,0]$内。由于二次函数开口方向由a的符号决定，区间内的最值对应位置不同，因此分$a＞0$、$a＜0$两种情况，分别确定区间内的最大值m和最小值n，代入$m-n=8$求解a即可。
(3) 先将y和z的表达式代入待证的代数式，合并同类项后进行配方，再结合$a＜0$以及平方数的非负性，即可推导得到代数式的取值范围。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为 $y=a(x-1)(x+3)$，把 $C(0,-3)$代入，得$-3=a×(0-1)×(0+3)$，解得 $a=1$，
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=(x-1)(x+3)$，即 $y=x^2+2x-3$。
(2) 抛物线表达式为 $y=a(x-1)(x+3)$，整理得 $y=ax^2+2ax-3a$，
抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
当 $x=-1$ 时，$y$ 有最值 $-4a$。
当 $a＞0$ 时，抛物线开口向上，在区间$[-3,0]$内，$x=-3$时$m=0$；$x=-1$时$n=-4a$。
$\because m-n=8$，$\therefore 0+4a=8$，解得 $a=2$；
当 $a＜0$ 时，抛物线开口向下，在区间$[-3,0]$内，$x=-1$时$m=-4a$；$x=-3$时$n=0$。
$\because m-n=8$，$\therefore -4a-0=8$，解得 $a=-2$。
综上所述，$a$ 的值为 $2$ 或 $-2$。
(3) 证明：$\because y=ax^2+2ax-3a$，$z=-ax-3a$，
$\therefore y-z+\frac{9}{4}a=ax^2+2ax-3a-(-ax-3a)+\frac{9}{4}a=ax^2+3ax+\frac{9}{4}a=a(x+\frac{3}{2})^2$。
$\because a＜0$，$(x+\frac{3}{2})^2≥ 0$，
$\therefore a(x+\frac{3}{2})^2≤ 0$，即 $y-z+\frac{9}{4}a≤ 0$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$；
(2) $a=2$或$a=-2$；
(3) 不等式$y-z+\frac{9}{4}a≤0$成立。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数区间最值；配方法应用
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问是基础的解析式求解考点；第二问需根据开口方向分类讨论区间最值，是易漏分的考点；第三问核心是代数式化简与配方，解题时要注意结合a的符号判断代数式的正负，整体考查的都是二次函数的核心基础知识点。
【难度系数】
0.65
