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1. 如图，抛物线的对称轴为直线$x=1$，与$x$轴交于点$A(-1,0)$，则另一交点的坐标是（
A.$(3,0)$
B.$(-3,0)$
C.$(1,0)$
D.$(2,0)$
A
）A.$(3,0)$
B.$(-3,0)$
C.$(1,0)$
D.$(2,0)$
答案
1.A
解析
【分析】
抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个交点横坐标的平均值等于对称轴对应的横坐标。本题已知对称轴为直线$x=1$，其中一个交点A的坐标为$(-1,0)$，利用对称性即可求出另一个交点的坐标。
【解析】
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$。
因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，对称轴为直线$x=1$，所以两个交点横坐标的中点为对称轴对应的横坐标，即：
$\frac{-1 + x}{2} = 1$
等式两边同乘2得：$-1 + x = 2$
解得：$x=3$
所以另一个交点的坐标为$(3,0)$。
【答案】
A
【知识点】
抛物线的轴对称性；二次函数与x轴交点性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查抛物线对称性的应用，牢记抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键，计算难度较低，掌握对应性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个交点横坐标的平均值等于对称轴对应的横坐标。本题已知对称轴为直线$x=1$，其中一个交点A的坐标为$(-1,0)$，利用对称性即可求出另一个交点的坐标。
【解析】
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$。
因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，对称轴为直线$x=1$，所以两个交点横坐标的中点为对称轴对应的横坐标，即：
$\frac{-1 + x}{2} = 1$
等式两边同乘2得：$-1 + x = 2$
解得：$x=3$
所以另一个交点的坐标为$(3,0)$。
【答案】
A
【知识点】
抛物线的轴对称性；二次函数与x轴交点性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查抛物线对称性的应用，牢记抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键，计算难度较低，掌握对应性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数$y=x^2 -2x -3$的图像如图所示，下列说法中，错误的是（
A.图像与y轴的交点坐标是$(0,-3)$
B.当$x＜0$时，y随x的增大而减小
C.图像与x轴的交点坐标是$(3,0)$和$(-1,0)$
D.顶点坐标是$(1,-3)$
D
）A.图像与y轴的交点坐标是$(0,-3)$
B.当$x＜0$时，y随x的增大而减小
C.图像与x轴的交点坐标是$(3,0)$和$(-1,0)$
D.顶点坐标是$(1,-3)$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查二次函数的基础性质，解题思路是逐一验证每个选项的正确性：首先分别计算二次函数与y轴交点、与x轴交点、对称轴与单调性、顶点坐标，再和选项描述对比，找出错误的选项即可。计算各特征的方法如下：求与y轴交点令x=0代入解析式算y；求与x轴交点令y=0解一元二次方程；判断单调性先求对称轴（公式为$x=-\frac{b}{2a}$），结合开口方向判断增减性；求顶点坐标可通过配方法或者顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=x^2-2x-3$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$：
1. 验证选项A：令$x=0$，代入得$y=0-0-3=-3$，即与y轴交点为$(0,-3)$，A描述正确，不符合题意。
2. 验证选项B：先求对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2×1}=1$，函数开口向上，因此在$x＜1$的区间内y随x的增大而减小，$x＜0$属于$x＜1$的范围，故B描述正确，不符合题意。
3. 验证选项C：令$y=0$，得方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，即与x轴交点为$(3,0)$和$(-1,0)$，C描述正确，不符合题意。
4. 验证选项D：用配方法变形解析式：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-1-3=(x-1)^2-4$，因此顶点坐标为$(1,-4)$，不是$(1,-3)$，D描述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与坐标轴的交点；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，难度较低，只要熟练掌握二次函数交点、单调性、顶点坐标的计算方法，就能快速判断出错误选项。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的基础性质，解题思路是逐一验证每个选项的正确性：首先分别计算二次函数与y轴交点、与x轴交点、对称轴与单调性、顶点坐标，再和选项描述对比，找出错误的选项即可。计算各特征的方法如下：求与y轴交点令x=0代入解析式算y；求与x轴交点令y=0解一元二次方程；判断单调性先求对称轴（公式为$x=-\frac{b}{2a}$），结合开口方向判断增减性；求顶点坐标可通过配方法或者顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=x^2-2x-3$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$：
1. 验证选项A：令$x=0$，代入得$y=0-0-3=-3$，即与y轴交点为$(0,-3)$，A描述正确，不符合题意。
2. 验证选项B：先求对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2×1}=1$，函数开口向上，因此在$x＜1$的区间内y随x的增大而减小，$x＜0$属于$x＜1$的范围，故B描述正确，不符合题意。
3. 验证选项C：令$y=0$，得方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，即与x轴交点为$(3,0)$和$(-1,0)$，C描述正确，不符合题意。
4. 验证选项D：用配方法变形解析式：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-1-3=(x-1)^2-4$，因此顶点坐标为$(1,-4)$，不是$(1,-3)$，D描述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与坐标轴的交点；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，难度较低，只要熟练掌握二次函数交点、单调性、顶点坐标的计算方法，就能快速判断出错误选项。
【难度系数】
0.8
3. 已知某函数的图像如图所示.
(1)求这个函数的表达式；
(2)求这个函数的对称轴及顶点坐标；
(3)根据图像,求当x为何值时,y＞0? 当x为何值时,y＜0?
(1)求这个函数的表达式；
(2)求这个函数的对称轴及顶点坐标；
(3)根据图像,求当x为何值时,y＞0? 当x为何值时,y＜0?
答案
3.解:(1)设函数的表达式为 $y=a(x+1)(x-2)$,
由题意可得 $a(0+1)(0-2)=2$,解得 $a=-1$,
故 $y=-(x+1)(x-2)=-x^2+x+2$.
(2)$\because y=-x^2+x+2=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}$,
$\therefore$ 函数的对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$,顶点坐标为 $(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$.
(3)由图像可知,当$-1＜x＜2$ 时,$y＞0$;当 $x＜-1$或 $x＞2$ 时,$y＜0$.
由题意可得 $a(0+1)(0-2)=2$,解得 $a=-1$,
故 $y=-(x+1)(x-2)=-x^2+x+2$.
(2)$\because y=-x^2+x+2=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}$,
$\therefore$ 函数的对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$,顶点坐标为 $(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$.
(3)由图像可知,当$-1＜x＜2$ 时,$y＞0$;当 $x＜-1$或 $x＞2$ 时,$y＜0$.
解析
【分析】
（1）首先观察图像可知该函数是二次函数，且抛物线与x轴交于(-1,0)、(2,0)两点，因此优先选用交点式设函数解析式，再代入抛物线与y轴的交点(0,2)即可求出未知系数a，整理后得到函数表达式。
（2）求对称轴和顶点坐标时，可将二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，直接读取对称轴和顶点坐标，也可使用对称轴、顶点坐标公式计算，两种方法均符合要求。
（3）判断y的正负时结合图像分析：函数图像在x轴上方时对应的x范围是y＞0的解集，在x轴下方时对应的x范围是y＜0的解集，注意交点处y=0，不包含在对应范围内。
【解析】
(1) 设该二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-2)$，
将点$(0,2)$代入上式，得$a(0+1)(0-2)=2$，
解得$a=-1$，
因此函数表达式为$y=-(x+1)(x-2)$，整理得$y=-x^2+x+2$。
(2) 将一般式配方为顶点式：
$y=-x^2+x+2=-(x^2-x)+2=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}$，
由此可得函数的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$。
(3) 观察图像可知，抛物线与x轴交点为$(-1,0)$和$(2,0)$：
当$-1＜x＜2$时，函数图像在x轴上方，此时$y＞0$；
当$x＜-1$或$x＞2$时，函数图像在x轴下方，此时$y＜0$。
【答案】
(1) $y=-x^2+x+2$
(2) 对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$
(3) 当$-1＜x＜2$时，$y＞0$；当$x＜-1$或$x＞2$时，$y＜0$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的常规基础题，综合考察了交点式求解析式、配方法转化顶点式、数形结合解不等式的相关知识，解题核心是能从图像中准确提取交点坐标等有效信息。
【难度系数】
0.7
（1）首先观察图像可知该函数是二次函数，且抛物线与x轴交于(-1,0)、(2,0)两点，因此优先选用交点式设函数解析式，再代入抛物线与y轴的交点(0,2)即可求出未知系数a，整理后得到函数表达式。
（2）求对称轴和顶点坐标时，可将二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，直接读取对称轴和顶点坐标，也可使用对称轴、顶点坐标公式计算，两种方法均符合要求。
（3）判断y的正负时结合图像分析：函数图像在x轴上方时对应的x范围是y＞0的解集，在x轴下方时对应的x范围是y＜0的解集，注意交点处y=0，不包含在对应范围内。
【解析】
(1) 设该二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-2)$，
将点$(0,2)$代入上式，得$a(0+1)(0-2)=2$，
解得$a=-1$，
因此函数表达式为$y=-(x+1)(x-2)$，整理得$y=-x^2+x+2$。
(2) 将一般式配方为顶点式：
$y=-x^2+x+2=-(x^2-x)+2=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}$，
由此可得函数的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$。
(3) 观察图像可知，抛物线与x轴交点为$(-1,0)$和$(2,0)$：
当$-1＜x＜2$时，函数图像在x轴上方，此时$y＞0$；
当$x＜-1$或$x＞2$时，函数图像在x轴下方，此时$y＜0$。
【答案】
(1) $y=-x^2+x+2$
(2) 对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$
(3) 当$-1＜x＜2$时，$y＞0$；当$x＜-1$或$x＞2$时，$y＜0$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的常规基础题，综合考察了交点式求解析式、配方法转化顶点式、数形结合解不等式的相关知识，解题核心是能从图像中准确提取交点坐标等有效信息。
【难度系数】
0.7
4 已知二次函数 $y=x^2 -2x -3$.
(1)求该二次函数图像与x轴、y轴的交点；
(2)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数 $y=x^2 -2x -3$ 的图像；
(3)结合函数图像，直接写出当 $-4≤ y≤0$ 时，x的取值范围.
(1)求该二次函数图像与x轴、y轴的交点；
(2)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数 $y=x^2 -2x -3$ 的图像；
(3)结合函数图像，直接写出当 $-4≤ y≤0$ 时，x的取值范围.
答案
4.解:(1)当 $y=0$ 时,$x^2-2x-3=0$,解得 $x_1=-1,x_2=3$,
$\therefore$ 抛物线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1,0)$、$(3,0)$.
当 $x=0$ 时,$y=x^2-2x-3=-3$,
$\therefore$ 抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,-3)$.
(2)$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(1,-4)$,作图如下.
(3)当 $y=-4$ 时,$x=1$,
当 $y=0$ 时,$x_1=-1,x_2=3$,
$\therefore$ 当 $-4≤ y≤ 0$ 时,$x$ 的取值范围为 $-1≤ x≤ 3$.
解析
【分析】
(1) 求函数图像与坐标轴交点有固定思路：与x轴交点即函数值y=0时对应的x值，解对应的一元二次方程即可得到交点横坐标；与y轴交点即自变量x=0时对应的y值，代入解析式计算即可得到交点纵坐标。
(2) 画二次函数图像时，先将一般式配方为顶点式确定顶点坐标，再结合第(1)问求出的与坐标轴的交点，选取对应的对称点，描点后用平滑曲线连线即可得到函数图像。
(3) 求解指定y值区间对应的x范围，运用数形结合思想：先找到y=-4和y=0时对应的x值，再结合二次函数开口向上的图像特征，即可确定满足条件的x的取值区间。
【解析】
(1) 求与x轴的交点：令$y=0$，可得方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，因此二次函数与x轴的交点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$。
求与y轴的交点：令$x=0$，代入解析式得$y=0^2 - 2×0 -3=-3$，因此二次函数与y轴的交点坐标为$(0,-3)$。
(2) 将二次函数一般式配方为顶点式：$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$，可得抛物线的顶点坐标为$(1,-4)$。结合第(1)问得到的交点坐标，在坐标系中描出顶点、与坐标轴的交点等关键点，用平滑曲线连接各点，得到二次函数图像如下：
(3) 结合图像观察：当$y=-4$时，对应顶点的横坐标$x=1$；当$y=0$时，对应x轴交点的横坐标$x=-1$和$x=3$。因为二次函数开口向上，在顶点处取得最小值-4，所以当$-4≤y≤0$时，x的取值范围是$-1≤x≤3$。
【答案】
(1) 与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,-3)$；
(2) 图像如下：
(3) $-1≤x≤3$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、二次函数图像绘制、二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，将二次函数解析式、图像、与一元二次方程的关系结合考察，解题时需要熟练掌握二次函数的基本性质，运用数形结合思想能更直观地求解自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
(1) 求函数图像与坐标轴交点有固定思路：与x轴交点即函数值y=0时对应的x值，解对应的一元二次方程即可得到交点横坐标；与y轴交点即自变量x=0时对应的y值，代入解析式计算即可得到交点纵坐标。
(2) 画二次函数图像时，先将一般式配方为顶点式确定顶点坐标，再结合第(1)问求出的与坐标轴的交点，选取对应的对称点，描点后用平滑曲线连线即可得到函数图像。
(3) 求解指定y值区间对应的x范围，运用数形结合思想：先找到y=-4和y=0时对应的x值，再结合二次函数开口向上的图像特征，即可确定满足条件的x的取值区间。
【解析】
(1) 求与x轴的交点：令$y=0$，可得方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，因此二次函数与x轴的交点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$。
求与y轴的交点：令$x=0$，代入解析式得$y=0^2 - 2×0 -3=-3$，因此二次函数与y轴的交点坐标为$(0,-3)$。
(2) 将二次函数一般式配方为顶点式：$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$，可得抛物线的顶点坐标为$(1,-4)$。结合第(1)问得到的交点坐标，在坐标系中描出顶点、与坐标轴的交点等关键点，用平滑曲线连接各点，得到二次函数图像如下：
(3) 结合图像观察：当$y=-4$时，对应顶点的横坐标$x=1$；当$y=0$时，对应x轴交点的横坐标$x=-1$和$x=3$。因为二次函数开口向上，在顶点处取得最小值-4，所以当$-4≤y≤0$时，x的取值范围是$-1≤x≤3$。
【答案】
(1) 与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,-3)$；
(2) 图像如下：
(3) $-1≤x≤3$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、二次函数图像绘制、二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，将二次函数解析式、图像、与一元二次方程的关系结合考察，解题时需要熟练掌握二次函数的基本性质，运用数形结合思想能更直观地求解自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
