7 如图，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为(2,6)，点B在y轴上，且AD//BC//x轴，过B、C、D三点的抛物线的顶点坐标为(2,2)，则抛物线的表达式是y=。

7.$\frac{1}{4}(x-2)^2+2$ 解析:
∵过B、C、D三点的抛物线的顶点坐标为(2,2),AD//BC//x轴,
∴BC=4.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=4.
∵点A的坐标为(2,6),
∴D(6,6).
设抛物线为$y=a(x-2)^2+2$,
代入点D的坐标,得$6=16a+2$,解得$a=\frac{1}{4}$,
∴抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+2$.

【分析】
解题思路：已知抛物线顶点坐标，求解析式优先设二次函数的顶点式，只需再找到一个抛物线上的点的坐标代入即可求出参数a。首先利用抛物线的对称性和平行x轴线段的特点，结合平行四边形对边相等的性质，求出点D的坐标，再代入顶点式计算即可。
首先，抛物线顶点为(2,2)，可得对称轴为直线x=2；BC平行x轴，因此B、C关于对称轴对称，点B在y轴（x=0），可求出BC的长度；再根据平行四边形对边相等，得AD=BC，结合AD平行x轴和A点坐标，即可求出D点坐标，最后代入顶点式求参数a。
【解析】
∵ 过B、C、D三点的抛物线的顶点坐标为(2,2)，
∴ 抛物线对称轴为直线x=2，设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2+2$（$a≠0$）。
∵ $AD// BC// x$轴，点B在y轴上（横坐标为0），B、C关于对称轴x=2对称，
∴ $BC=2×(2-0)=4$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD=BC=4$。
∵ 点A的坐标为(2,6)，AD平行x轴，
∴ 点D纵坐标与A点相同为6，横坐标为$2+4=6$，即$D(6,6)$。
将$D(6,6)$代入$y=a(x-2)^2+2$，得：
$6=a×(6-2)^2+2$
$6=16a+2$
解得$a=\frac{1}{4}$。
∴ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+2$。
【答案】
$\frac{1}{4}(x-2)^2+2$
【知识点】
二次函数顶点式；平行四边形的性质；抛物线的对称性
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础综合题，解题核心是利用几何图形的性质推导抛物线上点的坐标，再代入顶点式求解，有助于巩固二次函数解析式的求解方法。
【难度系数】
0.7

8.已知抛物线$y=ax^2+2ax-1$.
(1)该抛物线的对称轴为；
(2)若该抛物线的顶点在$x$轴上，求抛物线的表达式；
(3)设点$M(m,y_1)$，$N(2,y_2)$在该抛物线上，若$y_1＞y_2$，求$m$的取值范围.

8.解:(1)$x=-1$
(2)由(1)知,抛物线的顶点坐标为$(-1,-a-1)$,
∵抛物线的顶点在$x$轴上,
∴$-a-1=0$,解得$a=-1$,
∴抛物线的表达式为$y=-x^2-2x-1$.
(3)
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$,
∴$N(2,y_2)$关于直线$x=-1$的对称点为$N'(-4,y_2)$.
①当$a＞0$时,若$y_1＞y_2$,则$m＞2$或$m＜-4$;
②当$a＜0$时,若$y_1＞y_2$,则$-4＜m＜2$.
综上,当$a＞0$时,$m＞2$或$m＜-4$;当$a＜0$时,$-4＜m＜2$.

【分析】
（1）求二次函数对称轴可直接使用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入抛物线对应系数即可计算得到结果，也可通过配方转化为顶点式确定对称轴。
（2）抛物线顶点在x轴上说明顶点纵坐标为0，先结合已求的对称轴代入解析式得到顶点纵坐标，列方程求解a的值，即可确定抛物线的表达式。
（3）二次函数的函数值大小与开口方向、点到对称轴的距离相关：先求出点N关于对称轴的对称点，再分$a＞0$（开口向上，离对称轴越远函数值越大）和$a＜0$（开口向下，离对称轴越近函数值越大）两种情况讨论，即可得出m的取值范围。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=2a$，代入得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
(2) 由(1)知抛物线对称轴为$x=-1$，将$x=-1$代入抛物线解析式，得顶点纵坐标为：
$y=a×(-1)^2+2a×(-1)-1=-a-1$，即顶点坐标为$(-1,-a-1)$。
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴顶点纵坐标为0，即$-a-1=0$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入原解析式，得抛物线表达式为$y=-x^2-2x-1$。
(3)
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$，
∴点$N(2,y_2)$关于直线$x=-1$的对称点为$N'(-4,y_2)$，两点函数值相等。
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，到对称轴距离越远的点函数值越大，若$y_1＞y_2$，则$m＞2$或$m＜-4$；
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，到对称轴距离越近的点函数值越大，若$y_1＞y_2$，则$-4＜m＜2$。
【答案】
(1) $x=-1$
(2) $y=-x^2-2x-1$
(3) 当$a＞0$时，$m＞2$或$m＜-4$；当$a＜0$时，$-4＜m＜2$
【知识点】
二次函数的性质、待定系数法求解析式、二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的核心考点，覆盖对称轴计算、顶点性质、增减性应用等内容，解题时需注意二次函数增减性由开口方向决定，要分类讨论避免漏解，同时可利用对称性简化函数值比较类问题的求解过程。
【难度系数】
0.65

9 如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点$C(0,3)$,顶点坐标为$(1,4)$,点$D(m,n)$是抛物线上一点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)当$-2≤m≤\frac{5}{2}$且$m≠0$时:
①求$n$的取值范围;
②若$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}$,求$m$的值.

9.解:(1)
∵顶点坐标为$(1,4)$,
∴设该抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+4$.
∵与$y$轴交于点$C(0,3)$,
∴$3=a(0-1)^2+4$,解得$a=-1$,
∴该抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+4$.
(2)①由(1)得抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+4$,
∴当$x=1$时,$n$的最大值为4,当$x=-2$时,$n$的最小值为$-5$,
∴$n$的取值范围为$-5≤n≤4$.
②
∵抛物线与$y$轴交于点$C(0,3)$,
∴$OC=3$.
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}$,
∴$\frac{1}{2}AB×OC=\frac{1}{2}AB×|y_D|$,即$|y_D|=3$.
∵抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3$,点$D(m,n)$是抛物线上一点,
∴$|-m^2+2m+3|=3$.
当$-m^2+2m+3=3$时,解得$m=2$或$m=0$(舍去);
当$-m^2+2m+3=-3$时,
解得$m=1-\sqrt{7}$或$m=1+\sqrt{7}$(舍去),
∴$m$的值为2或$1-\sqrt{7}$.

【分析】
(1) 已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式设抛物线解析式，再代入已知点C的坐标求出未知系数a，即可得到抛物线表达式。
(2) ①n是抛物线上点D的纵坐标，即求x在区间$[-2,\frac{5}{2}]$上的二次函数值范围：抛物线开口向下，顶点处函数值最大，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最小值，即可确定n的范围。
②△ABC和△ABD同以AB为底，面积相等则AB边上的高相等，即点D纵坐标的绝对值等于点C的纵坐标3，列绝对值方程求解后，结合m的取值范围舍去不符合的解即可。
【解析】
(1)
∵抛物线的顶点坐标为$(1,4)$，
∴设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+4(a≠0)$，
∵抛物线与y轴交于点$C(0,3)$，将$x=0,y=3$代入解析式得：
$3=a(0-1)^2+4$，解得$a=-1$，
∴抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+4$。
(2) ①由(1)知抛物线解析式为$y=-(x-1)^2+4$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，
当$x=1$时，n取得最大值4；
当$x=-2$时，$n=-(-2-1)^2+4=-5$；
当$x=\frac{5}{2}$时，$n=-(\frac{5}{2}-1)^2+4=\frac{7}{4}$，
比较得最小值为-5，
∴n的取值范围为$-5≤n≤4$。
②
∵点$C(0,3)$，
∴$OC=3$，即△ABC中AB边上的高为3，
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}$，两三角形共底AB，
∴$|y_D|=3$，即$|-m^2+2m+3|=3$。
当$-m^2+2m+3=3$时，解得$m=2$或$m=0$，已知$m≠0$，故舍去$m=0$；
当$-m^2+2m+3=-3$时，解得$m=1+\sqrt{7}$或$m=1-\sqrt{7}$，其中$1+\sqrt{7}＞\frac{5}{2}$，不符合范围舍去，$1-\sqrt{7}$满足$-2≤1-\sqrt{7}≤\frac{5}{2}$。
综上，m的值为2或$1-\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $y=-(x-1)^2+4$（或$y=-x^2+2x+3$）
(2) ①$-5≤n≤4$；②$m=2$或$m=1-\sqrt{7}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的图象与性质，二次函数与面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数的相关应用，解题时需根据已知条件灵活选择解析式的形式，求函数值范围时要结合抛物线开口方向和自变量区间判断最值，处理同底三角形面积相等问题时可转化为高相等简化计算，最后要注意根据给定的自变量范围对解进行取舍。
【难度系数】
0.6

10定义:如果直线$y=-1$与开口向下的抛物线有两个交点,那么这两个交点之间的距离叫作这条抛物线的“反碟长”.如图,抛物线$L_1:y=-x^2$随其顶点沿直线$y=\frac{1}{2}x$平移一定距离后,得到新抛物线$L_2$的“反碟长”恰好为4,那么抛物线$L_2$的表达式是.

10.$y=-(x-6)^2+3$ 解析:由题意,设抛物线$L_1$:$y=-x^2$随其顶点沿直线$y=\frac{1}{2}x$平移一定距离后的顶点为$(m,\frac{1}{2}m)$,
∴抛物线$L_2$:$y=-(x-m)^2+\frac{1}{2}m$.
令$y=-1$,
∴$-1=-(x-m)^2+\frac{1}{2}m$,
∴$x=m±\sqrt{1+\frac{1}{2}m}(m≥-2)$,
∴“反碟长”为$2\sqrt{1+\frac{1}{2}m}=4$,解得$m=6$,
∴抛物线$L_2$:$y=-(x-6)^2+3$.

【分析】
解决本题可按以下思路思考：首先回忆抛物线平移的性质，抛物线平移时二次项系数不变，仅顶点位置发生改变，已知顶点沿直线$y=\frac{1}{2}x$平移，因此可设平移后抛物线的顶点为$(m,\frac{1}{2}m)$，进而写出平移后抛物线的顶点式解析式。其次理解新定义“反碟长”：是直线$y=-1$与抛物线两个交点的距离，因此将$y=-1$代入抛物线解析式，解出两个交点的横坐标，两个横坐标的差即为反碟长。最后根据反碟长为4列方程求解$m$的值，代入顶点式即可得到抛物线$L_2$的表达式。
【解析】
设平移后抛物线$L_2$的顶点坐标为$(m,\frac{1}{2}m)$，
∵抛物线平移时二次项系数不变，原抛物线$L_1$的二次项系数为$-1$，
∴$L_2$的解析式为$y=-(x-m)^2+\frac{1}{2}m$。
令$y=-1$，代入解析式得：
$-1=-(x-m)^2+\frac{1}{2}m$
整理得：$(x-m)^2=1+\frac{1}{2}m$
解得：$x=m±\sqrt{1+\frac{1}{2}m}$（需满足$1+\frac{1}{2}m≥0$，即$m≥-2$，保证抛物线与$y=-1$有两个交点）。
根据“反碟长”的定义，两个交点的距离为4，因此：
$(m+\sqrt{1+\frac{1}{2}m})-(m-\sqrt{1+\frac{1}{2}m})=4$
化简得：$2\sqrt{1+\frac{1}{2}m}=4$
两边同时除以2得：$\sqrt{1+\frac{1}{2}m}=2$
两边平方得：$1+\frac{1}{2}m=4$
解得：$m=6$，满足$m≥-2$的要求。
将$m=6$代入$L_2$的顶点式，得$y=-(x-6)^2+\frac{1}{2}×6$，即$y=-(x-6)^2+3$。
【答案】
$y=-(x-6)^2+3$
【知识点】
二次函数平移性质，二次函数与直线交点，新定义应用
【点评】
本题结合二次函数平移、新定义概念与方程求解，解题关键是准确理解“反碟长”的含义，合理设出平移后抛物线的解析式，再根据交点距离列方程求解，能有效考查知识迁移和综合运用能力。
【难度系数】
0.6