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名师微课
1.已知关于x的二次函数$y=(x-2)^2+1$，下列结论错误的是 （
A.开口向上
B.对称轴为直线$x=2$
C.最小值为1
D.当$x＜2$时，y随x的增大而增大
1.已知关于x的二次函数$y=(x-2)^2+1$，下列结论错误的是 （
D
）A.开口向上
B.对称轴为直线$x=2$
C.最小值为1
D.当$x＜2$时，y随x的增大而增大
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题时首先确定解析式中$a、h、k$的取值，再依次对应开口方向、对称轴、最值、增减性四个性质逐一判断选项对错即可，注意题目要求选出错误的结论。
【解析】
对于二次函数$y=(x-2)^2+1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=2$，$k=1$：
1. 判断A选项：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，A结论正确，不符合题意；
2. 判断B选项：顶点式的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴为直线$x=2$，B结论正确，不符合题意；
3. 判断C选项：因为抛物线开口向上，顶点为函数最低点，顶点纵坐标为$k=1$，因此函数的最小值为1，C结论正确，不符合题意；
4. 判断D选项：抛物线开口向上时，在对称轴左侧（$x＜h$）$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞h$）$y$随$x$的增大而增大，因此当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次函数顶点式相关性质的识记与应用，熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义及增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题时首先确定解析式中$a、h、k$的取值，再依次对应开口方向、对称轴、最值、增减性四个性质逐一判断选项对错即可，注意题目要求选出错误的结论。
【解析】
对于二次函数$y=(x-2)^2+1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=2$，$k=1$：
1. 判断A选项：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，A结论正确，不符合题意；
2. 判断B选项：顶点式的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴为直线$x=2$，B结论正确，不符合题意；
3. 判断C选项：因为抛物线开口向上，顶点为函数最低点，顶点纵坐标为$k=1$，因此函数的最小值为1，C结论正确，不符合题意；
4. 判断D选项：抛物线开口向上时，在对称轴左侧（$x＜h$）$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞h$）$y$随$x$的增大而增大，因此当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次函数顶点式相关性质的识记与应用，熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义及增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 在平面直角坐标系中，将二次函数$y=(x+1)^2+3$的图像向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 （
A.$y=(x+3)^2+2$
B.$y=(x-1)^2+2$
C.$y=(x-1)^2+4$
D.$y=(x+3)^2+4$
B
）A.$y=(x+3)^2+2$
B.$y=(x-1)^2+2$
C.$y=(x-1)^2+4$
D.$y=(x+3)^2+4$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查二次函数图像的平移，解题核心是掌握二次函数顶点式的平移规律“左加右减，上加下减”：左右平移是对自变量x进行调整，向左平移n个单位则x替换为x+n，向右平移n个单位则x替换为x-n；上下平移是对函数整体的常数项进行调整，向上平移n个单位则整体加n，向下平移n个单位则整体减n。我们可以按照题目给出的平移顺序分步计算平移后的函数表达式。
【解析】
已知原二次函数为$y=(x+1)^2+3$：
1. 第一步将图像向右平移2个单位长度，根据“左加右减”原则，将x替换为$x-2$，代入得：
$y=(x-2+1)^2+3=(x-1)^2+3$
2. 第二步将所得图像再向下平移1个单位长度，根据“上加下减”原则，在函数整体后减1，得：
$y=(x-1)^2+3-1=(x-1)^2+2$
因此所得抛物线对应的函数表达式为$y=(x-1)^2+2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图像平移规律
2. 二次函数顶点式应用
【点评】
本题属于基础类题目，解题关键是准确理解平移规律中“左加右减”是针对自变量x的运算，不要混淆平移方向和加减的对应关系，掌握规律后可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图像的平移，解题核心是掌握二次函数顶点式的平移规律“左加右减，上加下减”：左右平移是对自变量x进行调整，向左平移n个单位则x替换为x+n，向右平移n个单位则x替换为x-n；上下平移是对函数整体的常数项进行调整，向上平移n个单位则整体加n，向下平移n个单位则整体减n。我们可以按照题目给出的平移顺序分步计算平移后的函数表达式。
【解析】
已知原二次函数为$y=(x+1)^2+3$：
1. 第一步将图像向右平移2个单位长度，根据“左加右减”原则，将x替换为$x-2$，代入得：
$y=(x-2+1)^2+3=(x-1)^2+3$
2. 第二步将所得图像再向下平移1个单位长度，根据“上加下减”原则，在函数整体后减1，得：
$y=(x-1)^2+3-1=(x-1)^2+2$
因此所得抛物线对应的函数表达式为$y=(x-1)^2+2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图像平移规律
2. 二次函数顶点式应用
【点评】
本题属于基础类题目，解题关键是准确理解平移规律中“左加右减”是针对自变量x的运算，不要混淆平移方向和加减的对应关系，掌握规律后可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3.已知点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在二次函数$y=(x-1)^2+1$的图像上，如果$x_1＞x_2＞1$，那么$y_1$
＞
$y_2$.(填“＞”“＜”或“=”)答案
3.＞
解析
【分析】
解题时首先观察二次函数的解析式为顶点式，第一步先确定抛物线的开口方向和对称轴，第二步判断x＞1区间内函数的增减性，第三步结合x₁、x₂的大小关系，就能推导得出y₁和y₂的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=(x-1)^2+1$：
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线$x=1$，
由此可得：当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，
又已知$x_1＞x_2＞1$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数增减性的应用，解题核心是先明确抛物线的开口方向与对称轴，再对应判断自变量所在区间的函数变化规律即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察二次函数的解析式为顶点式，第一步先确定抛物线的开口方向和对称轴，第二步判断x＞1区间内函数的增减性，第三步结合x₁、x₂的大小关系，就能推导得出y₁和y₂的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=(x-1)^2+1$：
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线$x=1$，
由此可得：当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，
又已知$x_1＞x_2＞1$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数增减性的应用，解题核心是先明确抛物线的开口方向与对称轴，再对应判断自变量所在区间的函数变化规律即可求解。
【难度系数】
0.8
4.已知抛物线$y=a(x-h)^2+k$是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的.
(1)求出$a、h、k$的值.
(2)在同一平面直角坐标系中，画出$y=a(x-h)^2+k$与$y=-\frac{1}{2}x^2$的图像；
(3)观察$y=a(x-h)^2+k$的图像，当x______时，y随x的增大而增大；当x______时，函数y有最________值，最________值是________.
(4)观察$y=a(x-h)^2+k$的图像，对于一切x的值，函数y的取值范围是多少？
(1)求出$a、h、k$的值.
(2)在同一平面直角坐标系中，画出$y=a(x-h)^2+k$与$y=-\frac{1}{2}x^2$的图像；
(3)观察$y=a(x-h)^2+k$的图像，当x______时，y随x的增大而增大；当x______时，函数y有最________值，最________值是________.
(4)观察$y=a(x-h)^2+k$的图像，对于一切x的值，函数y的取值范围是多少？
答案
4.解:(1)
∵抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标是$(0,0)$，
∴向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线的顶点坐标是$(1,2)$，
∴平移后得到的抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$，
即$a=-\frac{1}{2},h=1,k=2$.
(2)画图略.
(3)$＜1$(或$≤1$) $=1$ 大 大 $2$
(4)对于一切$x$的值，函数值$y$的取值范围是$y≤2$.
∵抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标是$(0,0)$，
∴向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线的顶点坐标是$(1,2)$，
∴平移后得到的抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$，
即$a=-\frac{1}{2},h=1,k=2$.
(2)画图略.
(3)$＜1$(或$≤1$) $=1$ 大 大 $2$
(4)对于一切$x$的值，函数值$y$的取值范围是$y≤2$.
解析
【分析】
(1) 第一问依据抛物线平移的核心性质：平移仅改变位置，不改变开口方向、大小，因此二次项系数a不变；再结合“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移规律，求出平移后抛物线的顶点坐标，代入顶点式即可得h、k的值。
(2) 画二次函数图像可按“定顶点、找对称轴、描对称点、平滑连线”的步骤完成，两个抛物线形状相同，仅位置不同。
(3) 第三问结合抛物线开口方向和对称轴判断：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，顶点处取得最大值。
(4) 第四问根据函数的最大值，即可确定全体x对应的y的取值范围。
【解析】
(1) 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，将其向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点坐标变为$(1,2)$。
因为抛物线平移不改变二次项系数，所以平移后抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$，即$a=-\frac{1}{2}$，$h=1$，$k=2$。
(2) 画图提示：先确定两个抛物线的顶点、对称轴，再各取3~5组对称点，平滑连线即可。（画图略）
(3) 由$a=-\frac{1}{2}＜0$可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$（或$x≤1$）时，y随x的增大而增大；当$x=1$时，函数y有最大值，最大值为2。
(4) 由于抛物线开口向下，顶点为图像最高点，函数最大值为2，因此对任意x，函数值y的取值范围是$y≤2$。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{2},h=1,k=2$
(2) 画图略
(3) $＜1$(或$≤1$)；$=1$；大；大；$2$
(4) $y≤2$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查平移规则和顶点式的核心性质，熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性、最值的对应关系，是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问依据抛物线平移的核心性质：平移仅改变位置，不改变开口方向、大小，因此二次项系数a不变；再结合“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移规律，求出平移后抛物线的顶点坐标，代入顶点式即可得h、k的值。
(2) 画二次函数图像可按“定顶点、找对称轴、描对称点、平滑连线”的步骤完成，两个抛物线形状相同，仅位置不同。
(3) 第三问结合抛物线开口方向和对称轴判断：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，顶点处取得最大值。
(4) 第四问根据函数的最大值，即可确定全体x对应的y的取值范围。
【解析】
(1) 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，将其向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点坐标变为$(1,2)$。
因为抛物线平移不改变二次项系数，所以平移后抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$，即$a=-\frac{1}{2}$，$h=1$，$k=2$。
(2) 画图提示：先确定两个抛物线的顶点、对称轴，再各取3~5组对称点，平滑连线即可。（画图略）
(3) 由$a=-\frac{1}{2}＜0$可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$（或$x≤1$）时，y随x的增大而增大；当$x=1$时，函数y有最大值，最大值为2。
(4) 由于抛物线开口向下，顶点为图像最高点，函数最大值为2，因此对任意x，函数值y的取值范围是$y≤2$。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{2},h=1,k=2$
(2) 画图略
(3) $＜1$(或$≤1$)；$=1$；大；大；$2$
(4) $y≤2$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查平移规则和顶点式的核心性质，熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性、最值的对应关系，是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 将抛物线$y=(x-1)^2 -3$向上平移k个单位长度后，所得抛物线经过点$(1,3)$，则k的值为(
A.0
B.1
C.3
D.6
D
)A.0
B.1
C.3
D.6
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”，先写出平移后的抛物线解析式；再根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将已知点的坐标代入平移后的解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
1. 写出平移后的抛物线解析式：
抛物线向上平移k个单位，根据“上加下减”的平移规律，平移后解析式为：
$y=(x-1)^2 -3 +k$
2. 代入点的坐标列方程：
因为平移后的抛物线经过点$(1,3)$，将$x=1$，$y=3$代入上述解析式得：
$3=(1-1)^2 -3 +k$
3. 解方程：
化简得$3=0 -3 +k$，解得$k=6$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查平移规则的应用和函数图象与点坐标的对应关系，只要熟练掌握平移口诀和代入求值的方法，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”，先写出平移后的抛物线解析式；再根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将已知点的坐标代入平移后的解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
1. 写出平移后的抛物线解析式：
抛物线向上平移k个单位，根据“上加下减”的平移规律，平移后解析式为：
$y=(x-1)^2 -3 +k$
2. 代入点的坐标列方程：
因为平移后的抛物线经过点$(1,3)$，将$x=1$，$y=3$代入上述解析式得：
$3=(1-1)^2 -3 +k$
3. 解方程：
化简得$3=0 -3 +k$，解得$k=6$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查平移规则的应用和函数图象与点坐标的对应关系，只要熟练掌握平移口诀和代入求值的方法，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
6 如图，将函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +4$的图像沿y轴向上平移得到一个新函数的图像，其中点A(1,m)、B(4,n)平移后的对应点分别为点A'、B'。若曲线段AB扫过的面积（图中的阴影部分）为9，则新图像的函数表达式是（
A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -2$
B.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +7$
C.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -5$
D.$y=-\frac{1}{2}x^2 -1$
B
）A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -2$
B.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +7$
C.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -5$
D.$y=-\frac{1}{2}x^2 -1$
答案
6.B
解析
【分析】
解题思路如下：①首先明确二次函数沿y轴上下平移的规律是“上加下减常数项”，即只改变解析式的常数项，其余部分不变，因此只需先求出向上平移的距离即可得到新函数解析式；②曲线段AB扫过的阴影面积属于不规则图形面积，利用平移的性质，可通过割补法将其转化为平行四边形的面积：该平行四边形的底等于A、B两点的横坐标差，高等于图像向上平移的距离；③根据阴影面积列方程求出平移距离，代入平移规律即可得到结果。
【解析】
第一步：计算A、B两点的水平距离：
已知点A横坐标为1，点B横坐标为4，因此两点的水平距离为$4-1=3$。
第二步：求平移距离：
设图像沿y轴向上平移的距离为$h$，根据平移性质，阴影部分面积等于底为3、高为$h$的平行四边形的面积，列方程：
$3h=9$
解得$h=3$，即图像向上平移了3个单位长度。
第三步：求新函数解析式：
原函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +4$，根据二次函数“上加下减”的平移规律，向上平移3个单位后，新函数解析式为：
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +4+3=\frac{1}{2}(x-2)^2 +7$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律，割补法求面积，平行四边形面积计算
【点评】
本题将二次函数平移与面积计算结合，解题的核心是灵活运用平移的性质，将不规则的阴影面积转化为规则的平行四边形面积，无需计算A、B两点的纵坐标即可快速求解，是二次函数平移类的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先明确二次函数沿y轴上下平移的规律是“上加下减常数项”，即只改变解析式的常数项，其余部分不变，因此只需先求出向上平移的距离即可得到新函数解析式；②曲线段AB扫过的阴影面积属于不规则图形面积，利用平移的性质，可通过割补法将其转化为平行四边形的面积：该平行四边形的底等于A、B两点的横坐标差，高等于图像向上平移的距离；③根据阴影面积列方程求出平移距离，代入平移规律即可得到结果。
【解析】
第一步：计算A、B两点的水平距离：
已知点A横坐标为1，点B横坐标为4，因此两点的水平距离为$4-1=3$。
第二步：求平移距离：
设图像沿y轴向上平移的距离为$h$，根据平移性质，阴影部分面积等于底为3、高为$h$的平行四边形的面积，列方程：
$3h=9$
解得$h=3$，即图像向上平移了3个单位长度。
第三步：求新函数解析式：
原函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +4$，根据二次函数“上加下减”的平移规律，向上平移3个单位后，新函数解析式为：
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +4+3=\frac{1}{2}(x-2)^2 +7$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律，割补法求面积，平行四边形面积计算
【点评】
本题将二次函数平移与面积计算结合，解题的核心是灵活运用平移的性质，将不规则的阴影面积转化为规则的平行四边形面积，无需计算A、B两点的纵坐标即可快速求解，是二次函数平移类的典型考题。
【难度系数】
0.7
