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8.已知一条抛物线的开口方向和形状与$y=3x^2$相同，顶点在抛物线$y=(x+2)^2$的顶点上.
(1)这条抛物线的表达式为
(2)若将(1)中的抛物线向右平移4个单位长度，得到的新抛物线的表达式为
(3)若将(1)中的抛物线的顶点不变，开口方向相反，所得的新抛物线的表达式为
(4)若将(1)中的抛物线沿$y$轴翻折，所得到的新抛物线的表达式为
(1)这条抛物线的表达式为
$y=3(x+2)^2$
；(2)若将(1)中的抛物线向右平移4个单位长度，得到的新抛物线的表达式为
$y=3(x-2)^2$
；(3)若将(1)中的抛物线的顶点不变，开口方向相反，所得的新抛物线的表达式为
$y=-3(x+2)^2$
；(4)若将(1)中的抛物线沿$y$轴翻折，所得到的新抛物线的表达式为
$y=3(x-2)^2$
.答案
8.(1)$y=3(x+2)^2$ (2)$y=3(x-2)^2$ (3)$y=-3(x+2)^2$ (4)$y=3(x-2)^2$
解析
【分析】
解决本题需要紧扣二次函数顶点式$y=a(x+m)^2$的性质：①$a$决定抛物线的开口方向和形状大小，$|a|$相等则形状相同，$a$的正负决定开口方向；②抛物线顶点坐标为$(-m,0)$；③平移遵循“左加右减、上加下减”的规律；④沿y轴翻折时，函数中所有的$x$替换为$-x$。
解题时按小问逐一应用对应性质即可：
(1) 先确定$a$的值，再确定顶点对应的$m$值，写出解析式；
(2) 应用平移“右减”规律，把原式中的$x$替换为$x-4$化简；
(3) 开口相反则$a$变为原来的相反数，顶点不变则其余参数不变；
(4) 沿y轴翻折则把原式中的$x$替换为$-x$化简。
【解析】
(1) 已知所求抛物线开口方向和形状与$y=3x^2$相同，故$a=3$；
抛物线$y=(x+2)^2$的顶点为$(-2,0)$，即所求抛物线顶点为$(-2,0)$，代入顶点式$y=a(x+m)^2$得$m=2$，因此解析式为$y=3(x+2)^2$。
(2) 将抛物线向右平移4个单位，根据“左加右减”的平移规律，将原式中$x$替换为$x-4$：
$y=3[(x-4)+2]^2=3(x-2)^2$。
(3) 顶点不变，开口方向相反，则$a$变为原来的相反数，即$a=-3$，其余参数不变，因此解析式为$y=-3(x+2)^2$。
(4) 沿y轴翻折，将原式中$x$替换为$-x$：
$y=3(-x+2)^2=3(x-2)^2$。
【答案】
(1)$y=3(x+2)^2$；(2)$y=3(x-2)^2$；(3)$y=-3(x+2)^2$；(4)$y=3(x-2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像平移；二次函数图像对称变换
【点评】
本题围绕形如$y=a(x+m)^2$的二次函数核心考点展开，考察内容均为基础变换规律，熟练掌握$a$的意义、平移和翻折的变换规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需要紧扣二次函数顶点式$y=a(x+m)^2$的性质：①$a$决定抛物线的开口方向和形状大小，$|a|$相等则形状相同，$a$的正负决定开口方向；②抛物线顶点坐标为$(-m,0)$；③平移遵循“左加右减、上加下减”的规律；④沿y轴翻折时，函数中所有的$x$替换为$-x$。
解题时按小问逐一应用对应性质即可：
(1) 先确定$a$的值，再确定顶点对应的$m$值，写出解析式；
(2) 应用平移“右减”规律，把原式中的$x$替换为$x-4$化简；
(3) 开口相反则$a$变为原来的相反数，顶点不变则其余参数不变；
(4) 沿y轴翻折则把原式中的$x$替换为$-x$化简。
【解析】
(1) 已知所求抛物线开口方向和形状与$y=3x^2$相同，故$a=3$；
抛物线$y=(x+2)^2$的顶点为$(-2,0)$，即所求抛物线顶点为$(-2,0)$，代入顶点式$y=a(x+m)^2$得$m=2$，因此解析式为$y=3(x+2)^2$。
(2) 将抛物线向右平移4个单位，根据“左加右减”的平移规律，将原式中$x$替换为$x-4$：
$y=3[(x-4)+2]^2=3(x-2)^2$。
(3) 顶点不变，开口方向相反，则$a$变为原来的相反数，即$a=-3$，其余参数不变，因此解析式为$y=-3(x+2)^2$。
(4) 沿y轴翻折，将原式中$x$替换为$-x$：
$y=3(-x+2)^2=3(x-2)^2$。
【答案】
(1)$y=3(x+2)^2$；(2)$y=3(x-2)^2$；(3)$y=-3(x+2)^2$；(4)$y=3(x-2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像平移；二次函数图像对称变换
【点评】
本题围绕形如$y=a(x+m)^2$的二次函数核心考点展开，考察内容均为基础变换规律，熟练掌握$a$的意义、平移和翻折的变换规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9 已知二次函数$y=-(x+h)^2$（$h$为常数），当$2≤ x≤5$时，函数的最大值为$-1$，则$h$的值为
－1或－6
答案
9. －1或－6 解析:
∵二次函数$y=-(x+h)^2$的图像开口向下,对称轴为直线$x=-h$,
∴当$x＜-h$时,y随x的增大而增大,当$x＞-h$时,y随x的增大而减小,
∴若$-h＜2$,即$h＞-2$,则当$x=2$时,函数y取最大值,即$-1=-(2+h)^2$,解得$h=-1$或$h=-3$(舍去);
若$2≤-h≤5$,即$-5≤h≤-2$,则当$x=-h$时,函数y取最大值0,不符合题意;
若$-h＞5$,即$h＜-5$,则当$x=5$时,函数y取最大值,即$-1=-(5+h)^2$,解得$h=-4$(舍去)或$h=-6$。
综上,h的值为－1或－6。
∵二次函数$y=-(x+h)^2$的图像开口向下,对称轴为直线$x=-h$,
∴当$x＜-h$时,y随x的增大而增大,当$x＞-h$时,y随x的增大而减小,
∴若$-h＜2$,即$h＞-2$,则当$x=2$时,函数y取最大值,即$-1=-(2+h)^2$,解得$h=-1$或$h=-3$(舍去);
若$2≤-h≤5$,即$-5≤h≤-2$,则当$x=-h$时,函数y取最大值0,不符合题意;
若$-h＞5$,即$h＜-5$,则当$x=5$时,函数y取最大值,即$-1=-(5+h)^2$,解得$h=-4$(舍去)或$h=-6$。
综上,h的值为－1或－6。
解析
【分析】
首先明确该二次函数为顶点式，开口向下，其最大值的位置由对称轴与给定区间[2,5]的位置关系决定。解题时先确定函数的对称轴、开口方向和增减性，再分三类讨论：①对称轴在区间左侧；②对称轴在区间内部；③对称轴在区间右侧，分别求出对应情形下的最大值，列方程求解后结合每类的取值范围对结果进行取舍，最终得到符合要求的h值。
【解析】
∵二次函数$y=-(x+h)^2$的图像开口向下，对称轴为直线$x=-h$，
∴当$x＜-h$时，y随x的增大而增大，当$x＞-h$时，y随x的增大而减小，
①若$-h＜2$，即$h＞-2$，则在$2≤x≤5$范围内y随x增大而减小，当$x=2$时函数取最大值，代入得$-1=-(2+h)^2$，解得$h=-1$或$h=-3$，结合$h＞-2$的前提，舍去$h=-3$，得$h=-1$；
②若$2≤-h≤5$，即$-5≤h≤-2$，则函数最大值为顶点处的0，与题设最大值为-1矛盾，该情况无符合条件的h；
③若$-h＞5$，即$h＜-5$，则在$2≤x≤5$范围内y随x增大而增大，当$x=5$时函数取最大值，代入得$-1=-(5+h)^2$，解得$h=-4$或$h=-6$，结合$h＜-5$的前提，舍去$h=-4$，得$h=-6$。
综上，h的值为-1或-6。
【答案】
－1或－6
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数给定区间的最值求解，关键是结合对称轴与区间的位置关系分类讨论，求解后要根据分类前提对结果取舍，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确该二次函数为顶点式，开口向下，其最大值的位置由对称轴与给定区间[2,5]的位置关系决定。解题时先确定函数的对称轴、开口方向和增减性，再分三类讨论：①对称轴在区间左侧；②对称轴在区间内部；③对称轴在区间右侧，分别求出对应情形下的最大值，列方程求解后结合每类的取值范围对结果进行取舍，最终得到符合要求的h值。
【解析】
∵二次函数$y=-(x+h)^2$的图像开口向下，对称轴为直线$x=-h$，
∴当$x＜-h$时，y随x的增大而增大，当$x＞-h$时，y随x的增大而减小，
①若$-h＜2$，即$h＞-2$，则在$2≤x≤5$范围内y随x增大而减小，当$x=2$时函数取最大值，代入得$-1=-(2+h)^2$，解得$h=-1$或$h=-3$，结合$h＞-2$的前提，舍去$h=-3$，得$h=-1$；
②若$2≤-h≤5$，即$-5≤h≤-2$，则函数最大值为顶点处的0，与题设最大值为-1矛盾，该情况无符合条件的h；
③若$-h＞5$，即$h＜-5$，则在$2≤x≤5$范围内y随x增大而增大，当$x=5$时函数取最大值，代入得$-1=-(5+h)^2$，解得$h=-4$或$h=-6$，结合$h＜-5$的前提，舍去$h=-4$，得$h=-6$。
综上，h的值为-1或-6。
【答案】
－1或－6
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数给定区间的最值求解，关键是结合对称轴与区间的位置关系分类讨论，求解后要根据分类前提对结果取舍，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
10. 如图，抛物线$y=2(x-2)^2$与平行于$x$轴的直线交于点$A$、$B$，抛物线顶点为$C$，$△ ABC$为等边三角形，求：
(1)抛物线的顶点坐标和增减性；
(2)点$B$的坐标；
(3)$△ ABC$的面积。
(1)抛物线的顶点坐标和增减性；
(2)点$B$的坐标；
(3)$△ ABC$的面积。
答案
10.解:(1)抛物线$y=2(x-2)^2$的顶点坐标是$(2,0)$。
增减性:当$x＜2$时,函数值 y 随 x 的增大而减小;当$x＞2$时,函数值 y 随 x 的增大而增大。
(2)如图
,过点 C 作 $CD⊥AB$,垂足为 D,设 AD 为 $a(a＞0)$。
∵$△ABC$ 为等边三角形,$CD⊥AB$,
∴$AD=DB=a,∠ACD=30°$,
∴$CD=\sqrt{3}a$,
∴点 B 的坐标为$(2+a,\sqrt{3}a)$,
∴$\sqrt{3}a=2(2+a-2)^2$,
∴$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore B(\frac{4+\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$。
(3)$\because a=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore AD=DB=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$CD=\frac{3}{2}$,
∴$AB=\sqrt{3}$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
解析
【分析】
(1) 第一问已知抛物线为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可直接根据顶点式特征得到顶点坐标；再结合开口方向，即可判断对称轴两侧的增减性。
(2) 第二问求点B坐标，可利用等边三角形“三线合一”的性质，过C作AB的垂线CD，设$AD=a$，用含a的式子表示点B的坐标，再将点B坐标代入抛物线解析式求解a，即可得到点B坐标。
(3) 第三问求三角形面积，先根据a的值得到等边三角形的底AB和高CD的长度，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 抛物线解析式为$y=2(x-2)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=2,k=0$，因此顶点坐标为$(2,0)$。
$\because a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$ 增减性：当$x＜2$时，函数值y随x的增大而减小；当$x＞2$时，函数值y随x的增大而增大。
(2) 如图，过点C作$CD⊥AB$，垂足为D。
设$AD=a(a＞0)$，
$\because △ABC$为等边三角形，$CD⊥AB$，
$\therefore AD=DB=a$，$∠ACD=30°$，
$\therefore CD=\sqrt{3}a$，
$\because AB$平行于x轴，点C坐标为$(2,0)$，
$\therefore$ 点B的坐标为$(2+a,\sqrt{3}a)$。
将点B坐标代入抛物线解析式得：
$\sqrt{3}a=2(2+a-2)^2$，
整理得$a(2a-\sqrt{3})=0$，
$\because a＞0$，$\therefore 2a-\sqrt{3}=0$，解得$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore 2+a=\frac{4+\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}a=\frac{3}{2}$，即$B(\frac{4+\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$。
(3) 由$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$得，$AB=2a=\sqrt{3}$，高$CD=\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) 顶点坐标是$(2,0)$；当$x＜2$时，函数值 y 随 x 的增大而减小，当$x＞2$时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
(2) 如图，点B的坐标为$(\frac{4+\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$。
(3) $△ABC$的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，等边三角形的性质，二次函数图像上点的特征
【点评】
本题结合了二次函数性质和等边三角形性质考查，解题关键是利用几何特征设参数表示点坐标，再代入函数解析式建立方程求解，熟练掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知抛物线为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可直接根据顶点式特征得到顶点坐标；再结合开口方向，即可判断对称轴两侧的增减性。
(2) 第二问求点B坐标，可利用等边三角形“三线合一”的性质，过C作AB的垂线CD，设$AD=a$，用含a的式子表示点B的坐标，再将点B坐标代入抛物线解析式求解a，即可得到点B坐标。
(3) 第三问求三角形面积，先根据a的值得到等边三角形的底AB和高CD的长度，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 抛物线解析式为$y=2(x-2)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=2,k=0$，因此顶点坐标为$(2,0)$。
$\because a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$ 增减性：当$x＜2$时，函数值y随x的增大而减小；当$x＞2$时，函数值y随x的增大而增大。
(2) 如图
，过点C作$CD⊥AB$，垂足为D。设$AD=a(a＞0)$，
$\because △ABC$为等边三角形，$CD⊥AB$，
$\therefore AD=DB=a$，$∠ACD=30°$，
$\therefore CD=\sqrt{3}a$，
$\because AB$平行于x轴，点C坐标为$(2,0)$，
$\therefore$ 点B的坐标为$(2+a,\sqrt{3}a)$。
将点B坐标代入抛物线解析式得：
$\sqrt{3}a=2(2+a-2)^2$，
整理得$a(2a-\sqrt{3})=0$，
$\because a＞0$，$\therefore 2a-\sqrt{3}=0$，解得$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore 2+a=\frac{4+\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}a=\frac{3}{2}$，即$B(\frac{4+\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$。
(3) 由$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$得，$AB=2a=\sqrt{3}$，高$CD=\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) 顶点坐标是$(2,0)$；当$x＜2$时，函数值 y 随 x 的增大而减小，当$x＞2$时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
(2) 如图
，点B的坐标为$(\frac{4+\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$。(3) $△ABC$的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，等边三角形的性质，二次函数图像上点的特征
【点评】
本题结合了二次函数性质和等边三角形性质考查，解题关键是利用几何特征设参数表示点坐标，再代入函数解析式建立方程求解，熟练掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
11在平面直角坐标系$xOy$中，将直线$l:y=-\frac{3}{4}x - 3$沿$x$轴翻折，得到一条新直线与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，将抛物线$C_1:y=\frac{1}{3}x^2$沿$x$轴平移，得到一条新抛物线$C_2$与$y$轴交于点$D$，与直线$AB$交于点$E$、$F$，连接$DF$，满足$DF // x$轴。求：
(1)直线$AB$的表达式；
(2)抛物线$C_2$的表达式。
(1)直线$AB$的表达式；
(2)抛物线$C_2$的表达式。
答案
11.解:(1)由题意得 $A(-4,0),B(0,3)$。
设直线 AB 的表达式为 $y=kx+3(k≠0)$,
∴$-4k+3=0$,解得 $k=\frac{3}{4}$,
∴直线 AB 的表达式为 $y=\frac{3}{4}x+3$。
(2)设平移后抛物线 $C_2$ 的顶点为 $P(n,0)$,则抛物线 $C_2$ 的表达式为 $y=\frac{1}{3}(x-n)^2$,$\therefore D(0,\frac{1}{3}n^2)$。
∵$DF// x$ 轴,
∴点 $F(2n,\frac{1}{3}n^2)$。
又点 F 在直线 AB 上,
∴$\frac{1}{3}n^2=\frac{3}{4}×2n+3$,解得 $n_1=6$,$n_2=-\frac{3}{2}$。
∴抛物线 $C_2$ 的表达式为 $y=\frac{1}{3}(x-6)^2$ 或 $y=\frac{1}{3}(x+\frac{3}{2})^2$。
设直线 AB 的表达式为 $y=kx+3(k≠0)$,
∴$-4k+3=0$,解得 $k=\frac{3}{4}$,
∴直线 AB 的表达式为 $y=\frac{3}{4}x+3$。
(2)设平移后抛物线 $C_2$ 的顶点为 $P(n,0)$,则抛物线 $C_2$ 的表达式为 $y=\frac{1}{3}(x-n)^2$,$\therefore D(0,\frac{1}{3}n^2)$。
∵$DF// x$ 轴,
∴点 $F(2n,\frac{1}{3}n^2)$。
又点 F 在直线 AB 上,
∴$\frac{1}{3}n^2=\frac{3}{4}×2n+3$,解得 $n_1=6$,$n_2=-\frac{3}{2}$。
∴抛物线 $C_2$ 的表达式为 $y=\frac{1}{3}(x-6)^2$ 或 $y=\frac{1}{3}(x+\frac{3}{2})^2$。
解析
【分析】
(1) 求直线AB的解析式时，先利用沿x轴翻折的坐标变化规律找A、B两点坐标：x轴上的点翻折后坐标不变，y轴上的点翻折后y值变为相反数，求出原直线与坐标轴的交点翻折后的坐标，再用待定系数法即可求出直线AB的表达式。
(2) 求抛物线$C_2$的解析式时，抛物线沿x轴平移后开口、形状不变，顶点仍在x轴上，因此可设顶点式表达$C_2$。先求出$C_2$与y轴交点D的坐标，由$DF// x$轴可知D、F纵坐标相等，结合抛物线的轴对称性推出F点的横坐标，再将F代入直线AB的解析式解方程，即可求出n的值，得到$C_2$的表达式。
【解析】
(1) 对于原直线$l:y=-\frac{3}{4}x - 3$：
令$y=0$，解得$x=-4$，沿x轴翻折后该点不变，故$A(-4,0)$；
令$x=0$，解得$y=-3$，沿x轴翻折后y值取反，故$B(0,3)$。
设直线AB的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(0,3)$代入得$b=3$，即$y=kx+3$；
将$A(-4,0)$代入得：$-4k+3=0$，解得$k=\frac{3}{4}$。
(2) 设平移后抛物线$C_2$的顶点为$P(n,0)$，则$C_2$的表达式为$y=\frac{1}{3}(x-n)^2$。
令$x=0$，得$y=\frac{1}{3}n^2$，即$D(0,\frac{1}{3}n^2)$。
∵$DF// x$轴，
∴F的纵坐标为$\frac{1}{3}n^2$；
又$C_2$的对称轴为直线$x=n$，D与F关于对称轴对称，故F的横坐标为$2n$，即$F(2n,\frac{1}{3}n^2)$。
将F坐标代入直线AB解析式得：
$\frac{1}{3}n^2=\frac{3}{4}×2n + 3$
解得$n_1=6$，$n_2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{4}x+3$
(2) $y=\frac{1}{3}(x-6)^2$或$y=\frac{1}{3}(x+\frac{3}{2})^2$
【知识点】
一次函数翻折变换，二次函数平移，二次函数对称性
【点评】
本题综合考查一次函数和二次函数的变换性质，解题关键是抓住函数变换前后的坐标规律，结合平行于x轴的点的坐标特征和抛物线的对称性找到对应点坐标，代入解析式求解即可，对提升函数类综合问题的分析能力有很大帮助。
【难度系数】
0.65
(1) 求直线AB的解析式时，先利用沿x轴翻折的坐标变化规律找A、B两点坐标：x轴上的点翻折后坐标不变，y轴上的点翻折后y值变为相反数，求出原直线与坐标轴的交点翻折后的坐标，再用待定系数法即可求出直线AB的表达式。
(2) 求抛物线$C_2$的解析式时，抛物线沿x轴平移后开口、形状不变，顶点仍在x轴上，因此可设顶点式表达$C_2$。先求出$C_2$与y轴交点D的坐标，由$DF// x$轴可知D、F纵坐标相等，结合抛物线的轴对称性推出F点的横坐标，再将F代入直线AB的解析式解方程，即可求出n的值，得到$C_2$的表达式。
【解析】
(1) 对于原直线$l:y=-\frac{3}{4}x - 3$：
令$y=0$，解得$x=-4$，沿x轴翻折后该点不变，故$A(-4,0)$；
令$x=0$，解得$y=-3$，沿x轴翻折后y值取反，故$B(0,3)$。
设直线AB的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(0,3)$代入得$b=3$，即$y=kx+3$；
将$A(-4,0)$代入得：$-4k+3=0$，解得$k=\frac{3}{4}$。
(2) 设平移后抛物线$C_2$的顶点为$P(n,0)$，则$C_2$的表达式为$y=\frac{1}{3}(x-n)^2$。
令$x=0$，得$y=\frac{1}{3}n^2$，即$D(0,\frac{1}{3}n^2)$。
∵$DF// x$轴，
∴F的纵坐标为$\frac{1}{3}n^2$；
又$C_2$的对称轴为直线$x=n$，D与F关于对称轴对称，故F的横坐标为$2n$，即$F(2n,\frac{1}{3}n^2)$。
将F坐标代入直线AB解析式得：
$\frac{1}{3}n^2=\frac{3}{4}×2n + 3$
解得$n_1=6$，$n_2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{4}x+3$
(2) $y=\frac{1}{3}(x-6)^2$或$y=\frac{1}{3}(x+\frac{3}{2})^2$
【知识点】
一次函数翻折变换，二次函数平移，二次函数对称性
【点评】
本题综合考查一次函数和二次函数的变换性质，解题关键是抓住函数变换前后的坐标规律，结合平行于x轴的点的坐标特征和抛物线的对称性找到对应点坐标，代入解析式求解即可，对提升函数类综合问题的分析能力有很大帮助。
【难度系数】
0.65
12已知直线$x=c$交抛物线$y_1=-(x-a)^2$于点$A(c,m)$，交抛物线$y_2=-(x-b)^2$于点$B(c,n)$，下列结论：①若$a＞b＞c$，则$m＜n$；②若$b＞a＞c$，则$m＜n$；③若$c＞b＞a$，则$m＜n$；④若$a＞c＞b$，则$m＜n$。其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
12.B 解析:
∵抛物线$y_1=-(x-a)^2$经过点$A(c,m)$,
∴$m=-(c-a)^2$,同理可得 $n=-(c-b)^2$,
∴$m-n=-(c-a)^2+(c-b)^2=(a-b)(2c-a-b)$。
若 $a＞b＞c$,则 $a-b＞0$,$2c-a-b＜0$,
∴$m-n＜0$,即 $m＜n$,故①正确;
若 $b＞a＞c$,则 $a-b＜0$,$2c-a-b＜0$,
∴$m-n＞0$,即 $m＞n$,故②错误;
若 $c＞b＞a$,则 $a-b＜0$,$2c-a-b＞0$,
∴$m-n＜0$,即 $m＜n$,故③正确;
若 $a＞c＞b$,则 $a-b＞0$,而无法判断 $2c-a-b$ 的正负性,故无法判断 m 与 n 的大小关系,故④错误。
综上所述,其中正确的结论是①③,有 2 个。
∵抛物线$y_1=-(x-a)^2$经过点$A(c,m)$,
∴$m=-(c-a)^2$,同理可得 $n=-(c-b)^2$,
∴$m-n=-(c-a)^2+(c-b)^2=(a-b)(2c-a-b)$。
若 $a＞b＞c$,则 $a-b＞0$,$2c-a-b＜0$,
∴$m-n＜0$,即 $m＜n$,故①正确;
若 $b＞a＞c$,则 $a-b＜0$,$2c-a-b＜0$,
∴$m-n＞0$,即 $m＞n$,故②错误;
若 $c＞b＞a$,则 $a-b＜0$,$2c-a-b＞0$,
∴$m-n＜0$,即 $m＜n$,故③正确;
若 $a＞c＞b$,则 $a-b＞0$,而无法判断 $2c-a-b$ 的正负性,故无法判断 m 与 n 的大小关系,故④错误。
综上所述,其中正确的结论是①③,有 2 个。
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，分别求出m、n关于a、b、c的表达式，再通过作差法化简得到m-n的因式乘积形式，最后结合每个结论给出的a、b、c的大小关系，判断m-n的正负，即可确定m和n的大小关系，逐一验证4个结论是否正确。
【解析】
∵点$A(c,m)$在抛物线$y_1=-(x-a)^2$上，
∴将$x=c$代入解析式得：$m=-(c-a)^2$，
同理，点$B(c,n)$在抛物线$y_2=-(x-b)^2$上，代入得$n=-(c-b)^2$，
对$m-n$化简可得：
$\begin{aligned}m-n&=-(c-a)^2+(c-b)^2\\&=-(c^2-2ac+a^2)+(c^2-2bc+b^2)\\&=2ac-a^2-2bc+b^2\\&=(b^2-a^2)+2c(a-b)\\&=(a-b)(2c-a-b)\end{aligned}$
接下来逐个判断结论：
①若$a＞b＞c$，则$a-b＞0$，$2c-a-b＜2b-a-b=b-a＜0$，
∴$m-n=正×负＜0$，即$m＜n$，故①正确；
②若$b＞a＞c$，则$a-b＜0$，$2c-a-b＜2a-a-b=a-b＜0$，
∴$m-n=负×负＞0$，即$m＞n$，故②错误；
③若$c＞b＞a$，则$a-b＜0$，$2c-a-b＞2b-a-b=b-a＞0$，
∴$m-n=负×正＜0$，即$m＜n$，故③正确；
④若$a＞c＞b$，则$a-b＞0$，但$2c-a-b$的正负无法确定，因此无法判断m与n的大小关系，故④错误。
综上，正确的结论为①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.作差法比较大小
3.整式化简
【点评】
本题结合二次函数的性质考查代数式大小比较，核心是将点的纵坐标作差后化简为因式乘积的形式，再根据给定的参数大小关系判断各因式的符号，解题时需注意讨论的严谨性，符号不确定的情况下不能强行判断大小。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，分别求出m、n关于a、b、c的表达式，再通过作差法化简得到m-n的因式乘积形式，最后结合每个结论给出的a、b、c的大小关系，判断m-n的正负，即可确定m和n的大小关系，逐一验证4个结论是否正确。
【解析】
∵点$A(c,m)$在抛物线$y_1=-(x-a)^2$上，
∴将$x=c$代入解析式得：$m=-(c-a)^2$，
同理，点$B(c,n)$在抛物线$y_2=-(x-b)^2$上，代入得$n=-(c-b)^2$，
对$m-n$化简可得：
$\begin{aligned}m-n&=-(c-a)^2+(c-b)^2\\&=-(c^2-2ac+a^2)+(c^2-2bc+b^2)\\&=2ac-a^2-2bc+b^2\\&=(b^2-a^2)+2c(a-b)\\&=(a-b)(2c-a-b)\end{aligned}$
接下来逐个判断结论：
①若$a＞b＞c$，则$a-b＞0$，$2c-a-b＜2b-a-b=b-a＜0$，
∴$m-n=正×负＜0$，即$m＜n$，故①正确；
②若$b＞a＞c$，则$a-b＜0$，$2c-a-b＜2a-a-b=a-b＜0$，
∴$m-n=负×负＞0$，即$m＞n$，故②错误；
③若$c＞b＞a$，则$a-b＜0$，$2c-a-b＞2b-a-b=b-a＞0$，
∴$m-n=负×正＜0$，即$m＜n$，故③正确；
④若$a＞c＞b$，则$a-b＞0$，但$2c-a-b$的正负无法确定，因此无法判断m与n的大小关系，故④错误。
综上，正确的结论为①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.作差法比较大小
3.整式化简
【点评】
本题结合二次函数的性质考查代数式大小比较，核心是将点的纵坐标作差后化简为因式乘积的形式，再根据给定的参数大小关系判断各因式的符号，解题时需注意讨论的严谨性，符号不确定的情况下不能强行判断大小。
【难度系数】
0.6
