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1. 对于二次函数$y=3(x-1)^2$，下列结论正确的是 （
A.当$x$取任何实数时，$y$的值总是正的
B.其图像的顶点坐标为$(0,1)$
C.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大
D.其图像关于$x$轴对称
名师微课
C
）A.当$x$取任何实数时，$y$的值总是正的
B.其图像的顶点坐标为$(0,1)$
C.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大
D.其图像关于$x$轴对称
名师微课
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查顶点式二次函数的性质，解题思路如下：首先先从给定的二次函数解析式中确定开口方向、顶点坐标、对称轴，再依次对四个选项的描述逐一验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-1)^2$：
1. 确定基本性质：$a=3＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
2. 逐一判断选项：
A选项：当$x=1$时，$y=3×(1-1)^2=0$，此时$y$的值不是正数，故A错误；
B选项：该函数图像的顶点坐标为$(1,0)$，不是$(0,1)$，故B错误；
C选项：因为抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，即$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，故C正确；
D选项：该函数图像的对称轴为直线$x=1$，即图像关于直线$x=1$对称，不关于$x$轴对称，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握顶点式二次函数的顶点、对称轴、增减性等核心性质，就能快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8
本题考查顶点式二次函数的性质，解题思路如下：首先先从给定的二次函数解析式中确定开口方向、顶点坐标、对称轴，再依次对四个选项的描述逐一验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-1)^2$：
1. 确定基本性质：$a=3＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
2. 逐一判断选项：
A选项：当$x=1$时，$y=3×(1-1)^2=0$，此时$y$的值不是正数，故A错误；
B选项：该函数图像的顶点坐标为$(1,0)$，不是$(0,1)$，故B错误；
C选项：因为抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，即$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，故C正确；
D选项：该函数图像的对称轴为直线$x=1$，即图像关于直线$x=1$对称，不关于$x$轴对称，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握顶点式二次函数的顶点、对称轴、增减性等核心性质，就能快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8
2. 已知抛物线$y=-(x+2)^2$上的两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，如果$x_1＜x_2＜-2$，那么下列结论一定成立的是（
A.$0＜y_2＜y_1$
B.$y_1＜y_2＜0$
C.$0＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜0$
B
）A.$0＜y_2＜y_1$
B.$y_1＜y_2＜0$
C.$0＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜0$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确给定抛物线的基本性质，再结合两点横坐标的范围比较函数值大小：首先从二次函数顶点式入手，判断抛物线的开口方向、对称轴及函数值的取值范围；再根据两点横坐标均小于-2，确定两点位于对称轴的左侧，结合开口向下的抛物线在对称轴左侧的增减性，即可比较$y_1$、$y_2$的大小，最终判断结论。
【解析】
对于抛物线$y=-(x+2)^2$：
1. 由二次项系数$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,0)$，因此该函数的最大值为$0$，即抛物线上所有点的纵坐标满足$y≤0$，仅当$x=-2$时$y=0$。
2. 已知$x_1＜x_2＜-2$，说明点A、B都在对称轴$x=-2$的左侧；开口向下的抛物线在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，因此由$x_1＜x_2$可得$y_1＜y_2$。
3. 又因为$x_1、x_2$均不等于$-2$，所以$y_1、y_2$都小于$0$，综上可得$y_1＜y_2＜0$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先根据顶点式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合自变量的取值范围利用增减性比较函数值大小，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，需先明确给定抛物线的基本性质，再结合两点横坐标的范围比较函数值大小：首先从二次函数顶点式入手，判断抛物线的开口方向、对称轴及函数值的取值范围；再根据两点横坐标均小于-2，确定两点位于对称轴的左侧，结合开口向下的抛物线在对称轴左侧的增减性，即可比较$y_1$、$y_2$的大小，最终判断结论。
【解析】
对于抛物线$y=-(x+2)^2$：
1. 由二次项系数$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,0)$，因此该函数的最大值为$0$，即抛物线上所有点的纵坐标满足$y≤0$，仅当$x=-2$时$y=0$。
2. 已知$x_1＜x_2＜-2$，说明点A、B都在对称轴$x=-2$的左侧；开口向下的抛物线在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，因此由$x_1＜x_2$可得$y_1＜y_2$。
3. 又因为$x_1、x_2$均不等于$-2$，所以$y_1、y_2$都小于$0$，综上可得$y_1＜y_2＜0$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先根据顶点式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合自变量的取值范围利用增减性比较函数值大小，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.75
3.有一个二次函数$y=a(x-k)^2$的图像，三名同学分别说出了它的一些特点：
甲:开口向上；乙:对称轴是直线$x=2$；丙:与y轴的交点到原点的距离为2.
满足上述全部特点的二次函数的表达式为
甲:开口向上；乙:对称轴是直线$x=2$；丙:与y轴的交点到原点的距离为2.
满足上述全部特点的二次函数的表达式为
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
.答案
3.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
解析
【分析】
解题时先结合二次函数顶点式$y=a(x-k)^2$的性质逐步推导参数：①开口方向由$a$的符号决定，开口向上可确定$a＞0$；②该形式的二次函数对称轴为直线$x=k$，结合对称轴是$x=2$可直接求出$k$的值；③求与$y$轴交点时令$x=0$，得到交点纵坐标，结合交点到原点距离为2列方程求$a$，最后结合$a＞0$的限制筛选出符合条件的$a$，即可得到函数表达式。
【解析】
1. 由二次函数$y=a(x-k)^2$开口向上，可得$a＞0$；
2. 该二次函数的对称轴为直线$x=k$，已知对称轴是直线$x=2$，因此$k=2$，函数可写为$y=a(x-2)^2$；
3. 求函数与$y$轴的交点：令$x=0$，代入得$y=a×(0-2)^2=4a$，即交点坐标为$(0,4a)$；
4. 由交点到原点的距离为2，可得$|4a|=2$，解得$a=\frac{1}{2}$或$a=-\frac{1}{2}$；
5. 结合$a＞0$的条件，舍去$a=-\frac{1}{2}$，取$a=\frac{1}{2}$，代入得函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数开口方向
3. 二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础应用，需要结合多个条件逐步推导参数，解题时注意不要忽略开口向上对$a$符号的限制，避免出现多余解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时先结合二次函数顶点式$y=a(x-k)^2$的性质逐步推导参数：①开口方向由$a$的符号决定，开口向上可确定$a＞0$；②该形式的二次函数对称轴为直线$x=k$，结合对称轴是$x=2$可直接求出$k$的值；③求与$y$轴交点时令$x=0$，得到交点纵坐标，结合交点到原点距离为2列方程求$a$，最后结合$a＞0$的限制筛选出符合条件的$a$，即可得到函数表达式。
【解析】
1. 由二次函数$y=a(x-k)^2$开口向上，可得$a＞0$；
2. 该二次函数的对称轴为直线$x=k$，已知对称轴是直线$x=2$，因此$k=2$，函数可写为$y=a(x-2)^2$；
3. 求函数与$y$轴的交点：令$x=0$，代入得$y=a×(0-2)^2=4a$，即交点坐标为$(0,4a)$；
4. 由交点到原点的距离为2，可得$|4a|=2$，解得$a=\frac{1}{2}$或$a=-\frac{1}{2}$；
5. 结合$a＞0$的条件，舍去$a=-\frac{1}{2}$，取$a=\frac{1}{2}$，代入得函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数开口方向
3. 二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础应用，需要结合多个条件逐步推导参数，解题时注意不要忽略开口向上对$a$符号的限制，避免出现多余解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
4.如图，已知抛物线$y=(x-2)^2$的顶点为C，直线$y=2x+4$与抛物线交于A、B两点，求$△ ABC$的面积.
答案
4.解:易知抛物线$y=(x-2)^2$的顶点 C 的坐标为$(2,0)$。
联立两函数的表达式，
得$\begin{cases} y=2x+4,\\ y=(x-2)^2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=0,\\ y_1=4, \end{cases}\begin{cases} x_2=6,\\ y_2=16, \end{cases}$
$\therefore A(6,16),B(0,4)$。
过点 A 作$AD⊥x$轴,垂足为 D,
则 $S_{△ ABC}=S_{\mathrm{梯形}ABOD}-S_{△ BOC}-S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}(OB+AD)· OD-\frac{1}{2}OC· OB-\frac{1}{2}CD· AD$
$=\frac{1}{2}×(4+16)×6-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×4×16=24$。
联立两函数的表达式，
得$\begin{cases} y=2x+4,\\ y=(x-2)^2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=0,\\ y_1=4, \end{cases}\begin{cases} x_2=6,\\ y_2=16, \end{cases}$
$\therefore A(6,16),B(0,4)$。
过点 A 作$AD⊥x$轴,垂足为 D,
则 $S_{△ ABC}=S_{\mathrm{梯形}ABOD}-S_{△ BOC}-S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}(OB+AD)· OD-\frac{1}{2}OC· OB-\frac{1}{2}CD· AD$
$=\frac{1}{2}×(4+16)×6-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×4×16=24$。
解析
【分析】
要计算$△ ABC$的面积，首先需要确定A、B、C三点的坐标：第一步根据抛物线的顶点式可直接得到顶点C的坐标；第二步联立直线和抛物线的解析式，解方程组即可得到交点A、B的坐标；第三步观察三点坐标特点，$△ ABC$没有边在坐标轴上，适合用割补法求面积，通过作辅助线将其转化为梯形与两个直角三角形的面积差，代入坐标对应的线段长度计算即可。
【解析】
解：1. 求顶点C的坐标
抛物线$y=(x-2)^2$为顶点式，其顶点C的坐标为$(2,0)$。
2. 求A、B两点的坐标
联立直线与抛物线的解析式，得：
$\begin{cases} y=2x+4\\ y=(x-2)^2 \end{cases}$
整理得$x^2-6x=0$，解得$\begin{cases} x_1=0\\ y_1=4 \end{cases}$，$\begin{cases} x_2=6\\ y_2=16 \end{cases}$，即$A(6,16)$，$B(0,4)$。
3. 计算$△ ABC$的面积
过点A作$AD⊥ x$轴，垂足为D，则$D(6,0)$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{\mathrm{梯形}ABOD}-S_{△ BOC}-S_{△ ACD}\\&=\frac{1}{2}(OB+AD)· OD-\frac{1}{2}OC· OB-\frac{1}{2}CD· AD\\&=\frac{1}{2}×(4+16)×6-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×(6-2)×16\\&=60-4-32\\&=24\end{aligned}$
【答案】
24
【知识点】
二次函数顶点式，函数交点求解，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，解题核心是先确定各关键点的坐标，再通过割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差计算，计算过程中需注意线段长度和坐标的对应关系，避免数值错误。
【难度系数】
0.7
要计算$△ ABC$的面积，首先需要确定A、B、C三点的坐标：第一步根据抛物线的顶点式可直接得到顶点C的坐标；第二步联立直线和抛物线的解析式，解方程组即可得到交点A、B的坐标；第三步观察三点坐标特点，$△ ABC$没有边在坐标轴上，适合用割补法求面积，通过作辅助线将其转化为梯形与两个直角三角形的面积差，代入坐标对应的线段长度计算即可。
【解析】
解：1. 求顶点C的坐标
抛物线$y=(x-2)^2$为顶点式，其顶点C的坐标为$(2,0)$。
2. 求A、B两点的坐标
联立直线与抛物线的解析式，得：
$\begin{cases} y=2x+4\\ y=(x-2)^2 \end{cases}$
整理得$x^2-6x=0$，解得$\begin{cases} x_1=0\\ y_1=4 \end{cases}$，$\begin{cases} x_2=6\\ y_2=16 \end{cases}$，即$A(6,16)$，$B(0,4)$。
3. 计算$△ ABC$的面积
过点A作$AD⊥ x$轴，垂足为D，则$D(6,0)$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{\mathrm{梯形}ABOD}-S_{△ BOC}-S_{△ ACD}\\&=\frac{1}{2}(OB+AD)· OD-\frac{1}{2}OC· OB-\frac{1}{2}CD· AD\\&=\frac{1}{2}×(4+16)×6-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×(6-2)×16\\&=60-4-32\\&=24\end{aligned}$
【答案】
24
【知识点】
二次函数顶点式，函数交点求解，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，解题核心是先确定各关键点的坐标，再通过割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差计算，计算过程中需注意线段长度和坐标的对应关系，避免数值错误。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数$y=-x+1$与$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的图像大致是（
B
）答案
5.B
解析
【分析】
解决一次函数与二次函数图像共存的题目，可先分别推导两个函数的图像特征，包括经过的象限、与坐标轴的交点、顶点位置、开口方向等，再逐一比对选项，排除不符合特征的选项即可得到正确答案。首先分析一次函数$y=-x+1$的图像性质，再分析二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的图像性质，通过特征点排除错误选项。
【解析】
1. 分析一次函数$y=-x+1$的特征：
一次项系数$k=-1＜0$，常数项$b=1＞0$，因此函数图像经过第一、二、四象限，与x轴交点为$(1,0)$，与y轴交点为$(0,1)$。A选项中一次函数与y轴交于负半轴，不符合特征，排除A。
2. 分析二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的特征：
二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；该函数为顶点式，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。观察选项C、D，抛物线顶点均在x轴负半轴，不符合顶点在$(1,0)$的特征，排除C、D。
3. 验证选项B：
一次函数图像符合过一、二、四象限、交x轴于$(1,0)$的特征；二次函数开口向下，顶点在$(1,0)$，代入$x=0$得$y=-\frac{1}{2}$，即抛物线与y轴交于负半轴，与B选项图像完全一致。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图像与性质；顶点式二次函数的图像与性质；函数图像判断
【点评】
本题属于基础的函数图像判断题，核心考查对一次函数、顶点式二次函数基本性质的掌握，通过顶点、坐标轴交点等特征点可快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解决一次函数与二次函数图像共存的题目，可先分别推导两个函数的图像特征，包括经过的象限、与坐标轴的交点、顶点位置、开口方向等，再逐一比对选项，排除不符合特征的选项即可得到正确答案。首先分析一次函数$y=-x+1$的图像性质，再分析二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的图像性质，通过特征点排除错误选项。
【解析】
1. 分析一次函数$y=-x+1$的特征：
一次项系数$k=-1＜0$，常数项$b=1＞0$，因此函数图像经过第一、二、四象限，与x轴交点为$(1,0)$，与y轴交点为$(0,1)$。A选项中一次函数与y轴交于负半轴，不符合特征，排除A。
2. 分析二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的特征：
二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；该函数为顶点式，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。观察选项C、D，抛物线顶点均在x轴负半轴，不符合顶点在$(1,0)$的特征，排除C、D。
3. 验证选项B：
一次函数图像符合过一、二、四象限、交x轴于$(1,0)$的特征；二次函数开口向下，顶点在$(1,0)$，代入$x=0$得$y=-\frac{1}{2}$，即抛物线与y轴交于负半轴，与B选项图像完全一致。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图像与性质；顶点式二次函数的图像与性质；函数图像判断
【点评】
本题属于基础的函数图像判断题，核心考查对一次函数、顶点式二次函数基本性质的掌握，通过顶点、坐标轴交点等特征点可快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
6.已知抛物线$y=(x-1)^2$经过点$A(n,y_1)$、$B(n+2,y_2)$，若$y_1＜y_2$，则$n$的值可以为（
A.－1
B.－0.5
C.0
D.0.5
D
）A.－1
B.－0.5
C.0
D.0.5
答案
6.D
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式的性质：抛物线$y=(x-1)^2$中$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=1$；对于开口向上的抛物线，横坐标距离对称轴越远，对应的函数值越大。已知$y_1＜y_2$，说明点$A$到对称轴的距离小于点$B$到对称轴的距离，据此列不等式求解$n$的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：抛物线$y=(x-1)^2$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
∵ 开口向上的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，函数值越大，且$y_1＜y_2$
∴ 点$A(n,y_1)$到对称轴的距离 ＜ 点$B(n+2,y_2)$到对称轴的距离，即：
$\left|n - 1\right| ＜ \left|(n+2) - 1\right|$
化简得$\left|n - 1\right| ＜ \left|n + 1\right|$
两边同时平方（不等号两边均为非负数，平方后不等号方向不变）：
$(n-1)^2 ＜ (n+1)^2$
展开得：$n^2 - 2n + 1 ＜ n^2 + 2n + 1$
移项合并同类项得：$-4n ＜ 0$
解得：$n＞0$
对照选项，只有$0.5$满足$n＞0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；函数值大小比较；绝对值不等式求解
【点评】
本题核心考查二次函数顶点式的基本性质，解题的关键是掌握开口方向确定时，函数值大小和点到对称轴距离的对应关系，也可直接将两点坐标代入解析式列不等式求解，方法灵活，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数顶点式的性质：抛物线$y=(x-1)^2$中$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=1$；对于开口向上的抛物线，横坐标距离对称轴越远，对应的函数值越大。已知$y_1＜y_2$，说明点$A$到对称轴的距离小于点$B$到对称轴的距离，据此列不等式求解$n$的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：抛物线$y=(x-1)^2$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
∵ 开口向上的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，函数值越大，且$y_1＜y_2$
∴ 点$A(n,y_1)$到对称轴的距离 ＜ 点$B(n+2,y_2)$到对称轴的距离，即：
$\left|n - 1\right| ＜ \left|(n+2) - 1\right|$
化简得$\left|n - 1\right| ＜ \left|n + 1\right|$
两边同时平方（不等号两边均为非负数，平方后不等号方向不变）：
$(n-1)^2 ＜ (n+1)^2$
展开得：$n^2 - 2n + 1 ＜ n^2 + 2n + 1$
移项合并同类项得：$-4n ＜ 0$
解得：$n＞0$
对照选项，只有$0.5$满足$n＞0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；函数值大小比较；绝对值不等式求解
【点评】
本题核心考查二次函数顶点式的基本性质，解题的关键是掌握开口方向确定时，函数值大小和点到对称轴距离的对应关系，也可直接将两点坐标代入解析式列不等式求解，方法灵活，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.7
7点$A(s,t)$在二次函数$y=2(x-m)^2$（$m$为常数）的图像上，$s-m=t≠0$。当$s-1≤x≤s+2$时，二次函数的最大值与最小值的差为（
A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$12$
D.$\dfrac{25}{2}$
D
）A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$12$
D.$\dfrac{25}{2}$
答案
7.D 解析:
∵$s-m=t$,
∴$t=2t^2$,解得 $t=\frac{1}{2}$ 或 $t=0$(舍去),
∴$s=m+\frac{1}{2}$,
∴$A(m+\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
∵抛物线的对称轴为直线$x=m$,且 $s-1≤x≤s+2$,
∴$m-\frac{1}{2}≤x≤m+\frac{5}{2}$。
当 $x=m+\frac{5}{2}$ 时,y有最大值,$y=2×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{2}$;
当 $x=m$ 时,y有最小值,$y=0$,
∴函数的最大值与最小值的差为 $\frac{25}{2}$。故选 D。
∵$s-m=t$,
∴$t=2t^2$,解得 $t=\frac{1}{2}$ 或 $t=0$(舍去),
∴$s=m+\frac{1}{2}$,
∴$A(m+\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
∵抛物线的对称轴为直线$x=m$,且 $s-1≤x≤s+2$,
∴$m-\frac{1}{2}≤x≤m+\frac{5}{2}$。
当 $x=m+\frac{5}{2}$ 时,y有最大值,$y=2×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{2}$;
当 $x=m$ 时,y有最小值,$y=0$,
∴函数的最大值与最小值的差为 $\frac{25}{2}$。故选 D。
解析
【分析】
解题时可按以下思路逐步推导：①首先利用“二次函数图象上的点坐标满足函数解析式”的性质，将点A(s,t)代入二次函数表达式，结合已知条件s-m=t，求解t的值，注意舍去t=0的情况；②用求得的t值得到s与m的数量关系，将题目给出的x的取值范围转化为关于对称轴x=m的区间；③根据开口向上的二次函数的性质：顶点处（对称轴位置）取最小值，区间内离对称轴越远的点函数值越大，分别求出最大值和最小值，最后计算二者的差即可得到结果。
【解析】
∵点$A(s,t)$在二次函数$y=2(x-m)^2$的图象上，
∴将$A(s,t)$代入解析式得：$t=2(s-m)^2$，
又已知$s-m=t$且$t≠0$，代入上式得：$t=2t^2$，
整理得$2t^2 - t = 0$，即$t(2t-1)=0$，
解得$t=\frac{1}{2}$（$t=0$不符合题意，舍去），
∴$s-m=\frac{1}{2}$，即$s=m+\frac{1}{2}$。
将$s=m+\frac{1}{2}$代入给定的x的取值范围$s-1≤x≤s+2$，得：
$(m+\frac{1}{2})-1 ≤x≤(m+\frac{1}{2})+2$，
化简得$m-\frac{1}{2} ≤x≤m+\frac{5}{2}$。
∵二次函数$y=2(x-m)^2$中$a=2＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=m$，
∴当$x=m$时，函数取得最小值，最小值为$0$；
比较区间端点到对称轴$x=m$的距离：$|(m+\frac{5}{2})-m|=\frac{5}{2}$，$|(m-\frac{1}{2})-m|=\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}＞\frac{1}{2}$，
∴当$x=m+\frac{5}{2}$时，函数取得最大值，最大值为$2×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{2}$，
∴最大值与最小值的差为$\frac{25}{2}-0=\frac{25}{2}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；二次函数的性质
【点评】
本题核心考查顶点式二次函数的图象与性质，解题的关键是先结合已知条件建立s与m的关联，再根据开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，解题时需注意舍去不符合条件的t=0的情况，避免出错。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路逐步推导：①首先利用“二次函数图象上的点坐标满足函数解析式”的性质，将点A(s,t)代入二次函数表达式，结合已知条件s-m=t，求解t的值，注意舍去t=0的情况；②用求得的t值得到s与m的数量关系，将题目给出的x的取值范围转化为关于对称轴x=m的区间；③根据开口向上的二次函数的性质：顶点处（对称轴位置）取最小值，区间内离对称轴越远的点函数值越大，分别求出最大值和最小值，最后计算二者的差即可得到结果。
【解析】
∵点$A(s,t)$在二次函数$y=2(x-m)^2$的图象上，
∴将$A(s,t)$代入解析式得：$t=2(s-m)^2$，
又已知$s-m=t$且$t≠0$，代入上式得：$t=2t^2$，
整理得$2t^2 - t = 0$，即$t(2t-1)=0$，
解得$t=\frac{1}{2}$（$t=0$不符合题意，舍去），
∴$s-m=\frac{1}{2}$，即$s=m+\frac{1}{2}$。
将$s=m+\frac{1}{2}$代入给定的x的取值范围$s-1≤x≤s+2$，得：
$(m+\frac{1}{2})-1 ≤x≤(m+\frac{1}{2})+2$，
化简得$m-\frac{1}{2} ≤x≤m+\frac{5}{2}$。
∵二次函数$y=2(x-m)^2$中$a=2＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=m$，
∴当$x=m$时，函数取得最小值，最小值为$0$；
比较区间端点到对称轴$x=m$的距离：$|(m+\frac{5}{2})-m|=\frac{5}{2}$，$|(m-\frac{1}{2})-m|=\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}＞\frac{1}{2}$，
∴当$x=m+\frac{5}{2}$时，函数取得最大值，最大值为$2×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{2}$，
∴最大值与最小值的差为$\frac{25}{2}-0=\frac{25}{2}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；二次函数的性质
【点评】
本题核心考查顶点式二次函数的图象与性质，解题的关键是先结合已知条件建立s与m的关联，再根据开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，解题时需注意舍去不符合条件的t=0的情况，避免出错。
【难度系数】
0.6
