8如图，抛物线$y=ax^2+1(a＜0)$与过点$(0,-3)$且平行于x轴的直线相交于点A、B，与y轴交于点C，若$∠ ACB$为直角，则$a=$。

8.$-\frac{1}{4}$
解析:设直线 AB 与 y 轴交于点 D,如图,则
$D(0,-3).∵C(0,1),∴CD=4.$
$∵AB$ 过点$(0,-3)$且平行于 x 轴,
且$∠ACB=90^{\circ },$
$∴△ABC$ 为等腰直角三角形,
$∴CD=AD=BD=4,∴B(4,-3).$
把 $B(4,-3)$ 代入 $y=ax^2+1$ 得 $16a+1=-3$,
解得 $a=-\frac{1}{4}$. 故答案为 $-\frac{1}{4}$.

【分析】
解题时首先结合抛物线解析式的特征，明确抛物线$y=ax^2+1$的对称轴为y轴，因此A、B两点关于y轴对称，可得$AC=BC$，结合已知$∠ ACB=90°$，可判断$△ ACB$为等腰直角三角形。接下来先确定点C、AB与y轴的交点D的坐标，求出CD的长度，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，得到$AD=BD=CD$，从而求出点B的坐标，最后将点B坐标代入抛物线解析式即可计算出a的值。
【解析】
设直线AB与y轴交于点D。
∵直线AB过点$(0,-3)$且平行于x轴，$\therefore D(0,-3)$。
由抛物线$y=ax^2+1$可得，其与y轴交点C的坐标为$(0,1)$，因此$CD=1-(-3)=4$。
∵抛物线$y=ax^2+1$的对称轴为y轴，点A、B是抛物线与直线AB的交点，
∴A、B关于y轴对称，即$AC=BC$。
又$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore △ ACB$为等腰直角三角形，CD为斜边AB上的高，根据等腰直角三角形的性质可得$CD=AD=BD=4$，因此点B的坐标为$(4,-3)$。
将$B(4,-3)$代入$y=ax^2+1$得：$16a+1=-3$，解得$a=-\frac{1}{4}$。

【答案】
$-\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 等腰直角三角形的性质
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数与几何的基础综合题，解题核心是利用二次函数的对称性判断三角形的形状，结合等腰直角三角形的性质得到抛物线上点的坐标，再代入解析式求解参数，解题时注意数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.7

9.已知抛物线$y=ax^2+n(an＞0)$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，且其图像上与$x$轴最近的点到$x$轴的距离为3.
(1)求$a$、$n$的值；
(2)在(1)的情况下，指出抛物线$y=ax^2+n$的开口方向、对称轴和顶点坐标.

9.解:(1)由题意,得 $a=2$ 或 $-2$,$n=3$ 或 $-3$.
$∵an＞0,∴ \begin{cases} a=2, \\ n=3 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} a=-2, \\ n=-3. \end{cases} $
(2)当 $a=2,n=3$ 时,抛物线 $y=2x^2+3$ 开口向上,对称轴为 $y$ 轴,顶点坐标为$(0,3)$;
当 $a=-2,n=-3$ 时,抛物线 $y=-2x^2-3$ 开口向下,对称轴为 $y$ 轴,顶点坐标为$(0,-3)$.

【分析】
解决第(1)问的思路：首先回忆抛物线形状相同的性质，形状相同的抛物线二次项系数的绝对值相等，据此先确定a的可能取值；其次，抛物线$y=ax^2+n$的顶点坐标为$(0,n)$，顶点是抛物线上距离x轴最近的点，因此顶点到x轴的距离就是$|n|$，可得到n的可能取值；最后结合$an＞0$（即a和n同号）的条件，筛选出符合要求的a、n组合。解决第(2)问时，直接根据$y=ax^2+h$型二次函数的性质，a的符号决定开口方向，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,h)$，分两种情况说明即可。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+n$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，
∴ 二次项系数的绝对值相等，即$|a|=|-2|$，解得$a=2$或$a=-2$。
∵ 抛物线$y=ax^2+n$的顶点坐标为$(0,n)$，顶点是图像上与x轴最近的点，
由题意得该点到x轴的距离为3，
∴ $|n|=3$，解得$n=3$或$n=-3$。
又
∵ $an＞0$，即a与n同号，
∴ 符合条件的取值为 $\begin{cases} a=2 \\ n=3 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} a=-2 \\ n=-3 \end{cases} $。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$a=2,n=3$时，抛物线解析式为$y=2x^2+3$，
∵ $a=2＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,3)$；
② 当$a=-2,n=-3$时，抛物线解析式为$y=-2x^2-3$，
∵ $a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,-3)$。
【答案】
(1) $\begin{cases} a=2 \\ n=3 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} a=-2 \\ n=-3 \end{cases} $；
(2) 当$a=2,n=3$时，抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,3)$；当$a=-2,n=-3$时，抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,-3)$。
【知识点】
抛物线形状与系数的关系；二次函数$y=ax^2+h$的性质；有理数乘法符号法则
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查$y=ax^2+h$型二次函数的性质，解题核心是明确形状相同的抛物线二次项系数绝对值相等，注意结合限制条件分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

10已知抛物线$y=ax^2+1(a≠0)$与直线$y=-3x+3$交于点$(-1,b)$。
(1)求$a$、$b$的值；
(2)求抛物线与直线$y=x+5$的两交点及顶点所构成的三角形的面积。

10.解:(1)由题意知$(-1,b)$既在 $y=-3x+3$ 上,
又在 $y=ax^2+1$ 上,$∴b=-3×(-1)+3=6,6=$
$a×(-1)^2+1$,解得 $a=5$.
(2)由(1)可得抛物线的表达式为 $y=$
$5x^2+1$,抛物线的顶点为 $C(0,1)$,
联立 $ \begin{cases} y=5x^2+1, \\ y=x+5, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x=1, \\ y=6 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x=-\frac{4}{5}, \\ y=\frac{21}{5}, \end{cases} $
$∴A(-\frac{4}{5},\frac{21}{5}),B(1,6).$
令 $y=x+5$ 与 $y$ 轴交点为 $D(0,5)$,则 $DC=4$,
$∴S_{△ABC}=S_{△ADC}+S_{△BDC}=\frac{DC·\frac{4}{5}}{2}+\frac{DC·1}{2}=$
$\frac{4×\frac{4}{5}}{2}+\frac{4×1}{2}=\frac{18}{5}.$

【分析】
(1) 求a、b的值时，利用函数交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式。首先将交点的横坐标x=-1代入直线y=-3x+3求出b的值，再将完整的交点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
(2) 求三角形面积时，首先由(1)的结果得到抛物线的解析式，确定其顶点坐标；再联立抛物线与直线y=x+5的解析式，解方程组得到两个交点的坐标；观察三个点的位置特征，采用割补法：找到直线y=x+5与y轴的交点，将所求三角形拆分为两个以y轴上线段为底的小三角形，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到所求三角形的面积，该方法避免了复杂的边长计算，更简便。
【解析】
(1)
∵点(-1,b)是抛物线y=ax²+1与直线y=-3x+3的交点，
∴该点同时在两个函数图像上，将x=-1，y=b代入y=-3x+3得：
$b=-3×(-1)+3=6$，
即交点坐标为(-1,6)，将其代入y=ax²+1得：
$6=a×(-1)^2+1$，
解得$a=5$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=5x^2+1$，其顶点C的坐标为(0,1)。
联立抛物线与直线y=x+5的解析式，得：
$\begin{cases} y=5x^2+1 \\ y=x+5 \end{cases}$
代入消元得$x+5=5x^2+1$，整理得$5x^2-x-4=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{4}{5}$，
将x值代入y=x+5得对应的y值：$y_1=6$，$y_2=\frac{21}{5}$，
即两交点坐标为$A(-\frac{4}{5},\frac{21}{5})$，$B(1,6)$。
令直线y=x+5中x=0，得y=5，即直线与y轴交点为D(0,5)，则$DC=5-1=4$。
$S_{△ ABC}=S_{△ ADC}+S_{△ BDC}$
$=\frac{1}{2}×DC×|x_A|+\frac{1}{2}×DC×|x_B|$
$=\frac{1}{2}×4×\frac{4}{5}+\frac{1}{2}×4×1$
$=\frac{8}{5}+2=\frac{18}{5}$
【答案】
(1)$a=5$，$b=6$；(2)三角形的面积为$\frac{18}{5}$。

【知识点】
函数交点坐标特征，二次函数图像性质，割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数与二次函数的综合基础题，重点考查函数交点的求解方法和坐标系内图形面积的计算技巧，解题的关键是灵活运用割补法简化面积计算，有助于巩固数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7

11 在平面直角坐标系$xOy$中，将点$P_1(a,b-a)$定义为点$P(a,b)$的“关联点”。已知点$A(x,y)$在函数$y=x^2$的图像上（如图所示），点$A$的“关联点”是点$A_1$。
(1)请在如图的基础上画出函数$y=x^2 - 2$的图像，简要说明画图方法；
(2)如果点$A_1$在函数$y=x^2 - 2$的图像上，求点$A_1$的坐标；
(3)将点$P_2(a,b - na)$称为点$P(a,b)$的“待定关联点”$(n≠0)$。如果点$A(x,y)$的“待定关联点”$A_2$在函数$y=x^2 - n$的图像上，试用含$n$的代数式表示点$A_2$的坐标。

11.解:(1)将图中的抛物线 $y=x^2$ 向下平移 2 个单位长度,可得抛物线 $y=x^2-2$,如图.

(2)由题意,得点 $A(x,y)$ 的“关联点”为 $A_1(x,y-x)$,
由点 $A(x,y)$ 在抛物线 $y=x^2$ 上,可得 $A(x,x^2),∴A_1(x,x^2-x).$
又$∵$点 $A_1$ 在抛物线 $y=x^2-2$ 上,
$∴x^2-x=x^2-2$,解得 $x=2.$
将 $x=2$ 代入 $A_1(x,x^2-x)$,得 $A_1(2,2).$
(3)点 $A(x,y)$ 的“待定关联点”为 $A_2(x,x^2-nx).$
$∵A_2(x,x^2-nx)$ 在抛物线 $y=x^2-n$ 上,
$∴x^2-nx=x^2-n$,且 $n≠0,∴x=1.$
当 $x=1$ 时,$x^2-nx=1-n$,故可得 $A_2(1,1-n).$

【分析】
(1) 二次函数图像平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律，对比$y=x^2$和$y=x^2-2$，仅常数项减少2，直接平移原$y=x^2$的图像即可完成作图。
(2) 先根据“关联点”的定义写出点$A_1$的坐标形式，再结合点$A$在$y=x^2$上的条件，将$A_1$的坐标用仅含$x$的代数式表示，最后把$A_1$代入$y=x^2-2$列方程求解$x$，即可得到$A_1$的坐标。
(3) 类比第二问的解题思路，先根据“待定关联点”的定义写出$A_2$的坐标形式，再代入$y=x^2-n$列方程，结合$n≠0$的条件求解$x$，进而得到$A_2$的坐标。
【解析】
(1) 根据二次函数上下平移的规律：图像沿$y$轴平移时，对函数的常数项做“上加下减”的调整。将$y=x^2$的抛物线沿$y$轴向下平移2个单位长度，即可得到$y=x^2-2$的图像，如下图：

(2) 由题中“关联点”的定义可得，点$A(x,y)$的关联点$A_1$坐标为$(x,y-x)$。
因为点$A$在$y=x^2$的图像上，所以$y=x^2$，即$A(x,x^2)$，因此$A_1$的坐标可表示为$(x,x^2-x)$。
又因为$A_1$在$y=x^2-2$的图像上，将坐标代入函数得：
$x^2-x=x^2-2$
化简后解得$x=2$，代入$A_1$的坐标表达式得纵坐标为$2^2-2=2$，即$A_1$的坐标为$(2,2)$。
(3) 由“待定关联点”的定义可得，点$A(x,y)$的待定关联点$A_2$坐标为$(x,y-nx)$。
因为点$A$在$y=x^2$的图像上，所以$y=x^2$，因此$A_2$的坐标可表示为$(x,x^2-nx)$。
又因为$A_2$在$y=x^2-n$的图像上，将坐标代入函数得：
$x^2-nx=x^2-n$
两边消去$x^2$后得$-nx=-n$，已知$n≠0$，两边同时除以$-n$解得$x=1$，代入$A_2$的坐标表达式得纵坐标为$1^2-n×1=1-n$，即$A_2$的坐标为$(1,1-n)$。
【答案】
(1) 将图中的抛物线 $y=x^2$ 向下平移 2 个单位长度,可得抛物线 $y=x^2-2$,如图.

(2) $A_1(2,2)$
(3) $A_2(1,1-n)$
【知识点】
二次函数平移规律，新定义应用，函数图像上点的特征
【点评】
本题将新定义概念与二次函数基础性质结合，考查了二次函数平移、点与函数图像的关系等核心知识点，同时锻炼了对新概念的理解能力和代数运算能力，题目梯度合理，贴合知识应用的考查要求。
【难度系数】
0.7