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7.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线$y=(x-1)^2+2$上运动,过点A作$AB⊥x$轴于点B.以AB为斜边作$Rt△ABC$,AB边上的中线CD的最小值是
1
.答案
7.1
解析
【分析】
要找到CD的最小值，首先利用直角三角形斜边中线的性质，可知CD等于斜边AB的一半，因此CD的最小值等价于AB的最小值。AB是点A到x轴的垂线段，长度等于点A的纵坐标，所以只需要求出抛物线$y=(x-1)^2+2$的纵坐标的最小值，即可进一步得到CD的最小值。
【解析】
解：
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，
∴$CD=\frac{1}{2}AB$，即要求CD的最小值，需先求AB的最小值。
∵AB⊥x轴，点B在x轴上，
∴AB的长度等于点A的纵坐标的值。
∵抛物线$y=(x-1)^2+2$开口向上，顶点坐标为$(1,2)$，
∴该抛物线的最小值为2，即AB的最小值为2。
∴CD的最小值为$\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；二次函数的最值；坐标与线段长度
【点评】
本题将二次函数的最值问题与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过斜边中线的性质，把求CD的最小值转化为求二次函数的最小值，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要找到CD的最小值，首先利用直角三角形斜边中线的性质，可知CD等于斜边AB的一半，因此CD的最小值等价于AB的最小值。AB是点A到x轴的垂线段，长度等于点A的纵坐标，所以只需要求出抛物线$y=(x-1)^2+2$的纵坐标的最小值，即可进一步得到CD的最小值。
【解析】
解：
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，
∴$CD=\frac{1}{2}AB$，即要求CD的最小值，需先求AB的最小值。
∵AB⊥x轴，点B在x轴上，
∴AB的长度等于点A的纵坐标的值。
∵抛物线$y=(x-1)^2+2$开口向上，顶点坐标为$(1,2)$，
∴该抛物线的最小值为2，即AB的最小值为2。
∴CD的最小值为$\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；二次函数的最值；坐标与线段长度
【点评】
本题将二次函数的最值问题与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过斜边中线的性质，把求CD的最小值转化为求二次函数的最小值，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
8如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(0,2)、(4,2)。若抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且$CD=\dfrac{1}{2}AB$，则k的值为
$\dfrac{7}{2}$
。答案
8.$\frac{7}{2}$ 解析:
∵点A、B的坐标分别为$(0,2)$、$(4,2)$，
∴$AB=4$.
∵抛物线$y=-\frac{3}{2}(x-h)^2 + k(h、k$为常数)与线段$AB$交于$C、D$两点，且$CD=\frac{1}{2}AB$，
∴$CD=2$. 设点$C$的坐标为$(c,2)$,则点$D$的坐标为$(c+2,2)$,$\therefore h=\frac{c+c+2}{2}=c+1$,$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{2}[x-(c+1)]^2 +k$. 把点$C(c,2)$代入,得$2=-\frac{3}{2}[c-(c+1)]^2 +k$,解得$k=\frac{7}{2}$. 故答案为$\frac{7}{2}$.
∵点A、B的坐标分别为$(0,2)$、$(4,2)$，
∴$AB=4$.
∵抛物线$y=-\frac{3}{2}(x-h)^2 + k(h、k$为常数)与线段$AB$交于$C、D$两点，且$CD=\frac{1}{2}AB$，
∴$CD=2$. 设点$C$的坐标为$(c,2)$,则点$D$的坐标为$(c+2,2)$,$\therefore h=\frac{c+c+2}{2}=c+1$,$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{2}[x-(c+1)]^2 +k$. 把点$C(c,2)$代入,得$2=-\frac{3}{2}[c-(c+1)]^2 +k$,解得$k=\frac{7}{2}$. 故答案为$\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
首先观察点A、B的坐标可知，线段AB平行于x轴，所有点纵坐标均为2，先计算AB的长度即可得到CD的长度；其次抛物线的顶点式为$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$，其对称轴为直线$x=h$，由于C、D是抛物线与线段AB的交点，故C、D纵坐标也为2，且两点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴是CD的中点所在直线；最后将C点坐标代入抛物线解析式，未知参数$c$会相互抵消，即可直接求出$k$的值。
【解析】
解：$\because$点A、B的坐标分别为$(0,2)$、$(4,2)$，
$\therefore AB=4-0=4$，
$\because CD=\dfrac{1}{2}AB$，
$\therefore CD=2$。
$\because$线段AB平行于x轴，纵坐标恒为2，
$\therefore$设点C坐标为$(c,2)$，则点D坐标为$(c+2,2)$，
$\because$抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$的对称轴为直线$x=h$，且C、D在抛物线上、两点纵坐标相同，
$\therefore$对称轴为C、D的中点所在直线，即$h=\dfrac{c + c+2}{2} = c+1$，
$\therefore$抛物线解析式可写为$y=-\dfrac{3}{2}[x-(c+1)]^2 +k$，
将$C(c,2)$代入解析式得：
$2 = -\dfrac{3}{2} [c - (c+1)]^2 +k$
化简得：$2 = -\dfrac{3}{2}×(-1)^2 +k$
即$2 = -\dfrac{3}{2} +k$
解得$k=2 + \dfrac{3}{2} =\dfrac{7}{2}$。
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数对称性，函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题结合线段与抛物线的交点问题考查二次函数的相关性质，解题时巧妙利用二次函数的对称性可以简化计算，不需要求出未知参数$h$的具体值，通过代入消元即可得到所求结果，解题思路较为灵活。
【难度系数】
0.7
首先观察点A、B的坐标可知，线段AB平行于x轴，所有点纵坐标均为2，先计算AB的长度即可得到CD的长度；其次抛物线的顶点式为$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$，其对称轴为直线$x=h$，由于C、D是抛物线与线段AB的交点，故C、D纵坐标也为2，且两点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴是CD的中点所在直线；最后将C点坐标代入抛物线解析式，未知参数$c$会相互抵消，即可直接求出$k$的值。
【解析】
解：$\because$点A、B的坐标分别为$(0,2)$、$(4,2)$，
$\therefore AB=4-0=4$，
$\because CD=\dfrac{1}{2}AB$，
$\therefore CD=2$。
$\because$线段AB平行于x轴，纵坐标恒为2，
$\therefore$设点C坐标为$(c,2)$，则点D坐标为$(c+2,2)$，
$\because$抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$的对称轴为直线$x=h$，且C、D在抛物线上、两点纵坐标相同，
$\therefore$对称轴为C、D的中点所在直线，即$h=\dfrac{c + c+2}{2} = c+1$，
$\therefore$抛物线解析式可写为$y=-\dfrac{3}{2}[x-(c+1)]^2 +k$，
将$C(c,2)$代入解析式得：
$2 = -\dfrac{3}{2} [c - (c+1)]^2 +k$
化简得：$2 = -\dfrac{3}{2}×(-1)^2 +k$
即$2 = -\dfrac{3}{2} +k$
解得$k=2 + \dfrac{3}{2} =\dfrac{7}{2}$。
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数对称性，函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题结合线段与抛物线的交点问题考查二次函数的相关性质，解题时巧妙利用二次函数的对称性可以简化计算，不需要求出未知参数$h$的具体值，通过代入消元即可得到所求结果，解题思路较为灵活。
【难度系数】
0.7
9.如图，抛物线$y=a(x-1)^2+4$与$x$轴交于点$A$、$B$，与$y$轴交于点$C$，过点$C$作$CD // x$轴交抛物线的对称轴于点$D$，连接$BD$，已知点$A$的坐标为$(-1,0)$。
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求梯形$COBD$的面积。
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求梯形$COBD$的面积。
答案
9.解:(1)将$A(-1,0)$代入$y=a(x-1)^2 +4$中，
得$0=4a+4$,解得$a=-1$，
则抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2 +4$.
(2)对于抛物线的表达式,令$x=0$,得$y=3$,
即$OC=3$.
∵抛物线的对称轴为直线$x=1$,$\therefore CD=1$.
∵$A(-1,0)$,$\therefore B(3,0)$,即$OB=3$,
则$S_{梯形COBD}=\frac{(1+3)×3}{2}=6$.
得$0=4a+4$,解得$a=-1$，
则抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2 +4$.
(2)对于抛物线的表达式,令$x=0$,得$y=3$,
即$OC=3$.
∵抛物线的对称轴为直线$x=1$,$\therefore CD=1$.
∵$A(-1,0)$,$\therefore B(3,0)$,即$OB=3$,
则$S_{梯形COBD}=\frac{(1+3)×3}{2}=6$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线为顶点式，且给出了抛物线上点A的坐标，只需将点A坐标代入顶点式，求出未知参数a的值，即可确定抛物线的表达式。
(2) 求梯形COBD的面积，需先回忆梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，依次确定梯形各边的长度：首先令x=0代入抛物线表达式，求出C点纵坐标即OC的长度；再结合抛物线对称轴为直线x=1，CD平行于x轴，可得CD的长度；最后利用二次函数的对称性，由A点坐标求出B点坐标，得到OB的长度，代入面积公式即可计算出结果。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$代入$y=a(x-1)^2 +4$中，可得：
$0=a(-1-1)^2 +4$，即$0=4a+4$
解得$a=-1$
因此抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2 +4$。
(2) 令$x=0$，代入抛物线表达式得$y=-(0-1)^2 +4=3$，即$C(0,3)$，所以$OC=3$。
抛物线的对称轴为直线$x=1$，$CD// x$轴，因此$CD=1-0=1$。
点A、B是抛物线与x轴的交点，两点关于对称轴对称，A到对称轴的距离为$1-(-1)=2$，因此B点横坐标为$1+2=3$，即$B(3,0)$，所以$OB=3$。
代入梯形面积公式得：
$S_{梯形COBD}=\frac{(CD+OB)×OC}{2}=\frac{(1+3)×3}{2}=6$。
【答案】
(1) $y=-(x-1)^2 +4$；(2) $6$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的对称性
3. 梯形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的用法和二次函数的对称性，结合几何图形面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线为顶点式，且给出了抛物线上点A的坐标，只需将点A坐标代入顶点式，求出未知参数a的值，即可确定抛物线的表达式。
(2) 求梯形COBD的面积，需先回忆梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，依次确定梯形各边的长度：首先令x=0代入抛物线表达式，求出C点纵坐标即OC的长度；再结合抛物线对称轴为直线x=1，CD平行于x轴，可得CD的长度；最后利用二次函数的对称性，由A点坐标求出B点坐标，得到OB的长度，代入面积公式即可计算出结果。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$代入$y=a(x-1)^2 +4$中，可得：
$0=a(-1-1)^2 +4$，即$0=4a+4$
解得$a=-1$
因此抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2 +4$。
(2) 令$x=0$，代入抛物线表达式得$y=-(0-1)^2 +4=3$，即$C(0,3)$，所以$OC=3$。
抛物线的对称轴为直线$x=1$，$CD// x$轴，因此$CD=1-0=1$。
点A、B是抛物线与x轴的交点，两点关于对称轴对称，A到对称轴的距离为$1-(-1)=2$，因此B点横坐标为$1+2=3$，即$B(3,0)$，所以$OB=3$。
代入梯形面积公式得：
$S_{梯形COBD}=\frac{(CD+OB)×OC}{2}=\frac{(1+3)×3}{2}=6$。
【答案】
(1) $y=-(x-1)^2 +4$；(2) $6$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的对称性
3. 梯形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的用法和二次函数的对称性，结合几何图形面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
10 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，顶点C在x轴的负半轴上，抛物线$y=a(x+3)^2 + c(a＞0)$的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，求a的值。
答案
10.解:
∵抛物线$y=a(x+3)^2 + c(a＞0)$，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=-3$，
∴$AB=2×|-3|=6$.
∵四边形$ABCO$是正方形，
∴点$A$的坐标为$(0,-6)$.
∵$△ABE$为等腰直角三角形,$AB=6$，
∴点$E$到$AB$的距离为3，
∴点$E$的坐标为$(-3,-9)$，
∴抛物线的表达式为$y=a(x+3)^2 -9$.
∵点$A(0,-6)$在该抛物线上，
∴$-6=a(0+3)^2 -9$,解得$a=\frac{1}{3}$.
∵抛物线$y=a(x+3)^2 + c(a＞0)$，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=-3$，
∴$AB=2×|-3|=6$.
∵四边形$ABCO$是正方形，
∴点$A$的坐标为$(0,-6)$.
∵$△ABE$为等腰直角三角形,$AB=6$，
∴点$E$到$AB$的距离为3，
∴点$E$的坐标为$(-3,-9)$，
∴抛物线的表达式为$y=a(x+3)^2 -9$.
∵点$A(0,-6)$在该抛物线上，
∴$-6=a(0+3)^2 -9$,解得$a=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先从抛物线的顶点式入手，先确定抛物线的对称轴，由于抛物线经过A、B两点，且AB是正方形的水平边，可知A、B关于抛物线的对称轴对称，由此可求出AB的长度；再结合正方形的性质得到点A的坐标；接下来根据△ABE是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，求出顶点E的坐标，得到抛物线的含参表达式；最后将点A的坐标代入表达式即可求出a的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=a(x+3)^2 + c(a＞0)$，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=-3$，
∵抛物线经过A、B两点，且AB平行于x轴，
∴A、B关于直线$x=-3$对称，
∴$AB=2×|-3|=6$，
∵四边形$OABC$是正方形，
∴$OA=AB=6$，
∵点A在y轴负半轴上，
∴点$A$的坐标为$(0,-6)$，
∵$△ABE$为等腰直角三角形，E为抛物线顶点且在AB下方，
∴点$E$到$AB$的距离为$\frac{1}{2}AB=3$，
∴点E的纵坐标为$-6-3=-9$，即点$E$的坐标为$(-3,-9)$，
∴抛物线的表达式可写为$y=a(x+3)^2 -9$，
∵点$A(0,-6)$在该抛物线上，将坐标代入得：
$-6=a(0+3)^2 -9$，
即$9a=3$，解得$a=\frac{1}{3}$。
【答案】
$a=\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与平面几何结合的基础题，解题的核心是利用抛物线的对称性确定线段AB的长度，再结合特殊几何图形的性质求出对应点的坐标，代入解析式即可完成求解，能较好地考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从抛物线的顶点式入手，先确定抛物线的对称轴，由于抛物线经过A、B两点，且AB是正方形的水平边，可知A、B关于抛物线的对称轴对称，由此可求出AB的长度；再结合正方形的性质得到点A的坐标；接下来根据△ABE是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，求出顶点E的坐标，得到抛物线的含参表达式；最后将点A的坐标代入表达式即可求出a的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=a(x+3)^2 + c(a＞0)$，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=-3$，
∵抛物线经过A、B两点，且AB平行于x轴，
∴A、B关于直线$x=-3$对称，
∴$AB=2×|-3|=6$，
∵四边形$OABC$是正方形，
∴$OA=AB=6$，
∵点A在y轴负半轴上，
∴点$A$的坐标为$(0,-6)$，
∵$△ABE$为等腰直角三角形，E为抛物线顶点且在AB下方，
∴点$E$到$AB$的距离为$\frac{1}{2}AB=3$，
∴点E的纵坐标为$-6-3=-9$，即点$E$的坐标为$(-3,-9)$，
∴抛物线的表达式可写为$y=a(x+3)^2 -9$，
∵点$A(0,-6)$在该抛物线上，将坐标代入得：
$-6=a(0+3)^2 -9$，
即$9a=3$，解得$a=\frac{1}{3}$。
【答案】
$a=\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与平面几何结合的基础题，解题的核心是利用抛物线的对称性确定线段AB的长度，再结合特殊几何图形的性质求出对应点的坐标，代入解析式即可完成求解，能较好地考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
