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II如图,已知点$Q(8,0)$,抛物线$L:y=\frac{1}{2}(x-h)^2 -4(h≠-1)$的顶点为$P$,与$y$轴交于点$M$,点$N(-1,n)$在$L$上,作直线$PN$与$y$轴交于点$A$.
(1)若点$P$在第三象限,且$n=4$.
①求点$P$的坐标;
②当$-8≤x≤-3$时,求$y$的最大值和最小值;
(2)若$N$为线段$AP$的中点,求$AM$的长;
(3)当线段$OQ$被$L$分为两部分,且两部分的比为$1:7$时,直接写出$h$的值.
(1)若点$P$在第三象限,且$n=4$.
①求点$P$的坐标;
②当$-8≤x≤-3$时,求$y$的最大值和最小值;
(2)若$N$为线段$AP$的中点,求$AM$的长;
(3)当线段$OQ$被$L$分为两部分,且两部分的比为$1:7$时,直接写出$h$的值.
答案
11.解:(1)①由题意得$\frac{1}{2}(-1-h)^2 -4=4$.
∴$h=-5$或$3$.
又
∵顶点为$(h,-4)$,且顶点在第三象限，
∴$h＜0$,则$h=-5$,$\therefore P(-5,-4)$.
②由题意,结合①可得$y=\frac{1}{2}(x+5)^2 -4$，
∴当$x=-5$时,$y$取最小值为$-4$.
又
∵当$x=-8$时,$y=\frac{1}{2}$;当$x=-3$时,$y=-2$，
∴当$-8≤x≤-3$时,$-4≤y≤\frac{1}{2}$，
则$y$的最大值为$\frac{1}{2}$,最小值为$-4$.
(2)由题意得顶点$P(h,-4)$.
∵点$N(-1,n)$在抛物线上,$\therefore n=\frac{1}{2}(-1-h)^2 -4$.
设$A(0,a)$,$\because N$是$AP$的中点，
∴$-1=\frac{h+0}{2}$,$n=\frac{-4+a}{2}$，
∴$h=-2$,$\therefore n=\frac{1}{2}(-1-h)^2 -4=-\frac{7}{2}$，
∴$a=-3$,$\therefore A(0,-3)$.
又
∵$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -4$，
∴抛物线与$y$轴交点$M$为$(0,-2)$.
∴$AM=|-2-(-3)|=1$,即$AM$的长为$1$.
(3)由题意,当线段$OQ$被$L$分为两部分,且两部分的比为$1:7$时，
∴抛物线与$x$轴的交点横坐标为$1$或$7$.
又令$y=\frac{1}{2}(x-h)^2 -4=0$,解得$x=h±2\sqrt{2}$.
∴当$h+2\sqrt{2}=1$时,$h=1-2\sqrt{2}$;
当$h+2\sqrt{2}=7$时,$h=7-2\sqrt{2}$(不合题意,舍去);
当$h-2\sqrt{2}=1$时,$h=1+2\sqrt{2}$(不合题意,舍去);
当$h-2\sqrt{2}=7$时,$h=7+2\sqrt{2}$.
综上,$h$的值为$1-2\sqrt{2}$或$7+2\sqrt{2}$.
∴$h=-5$或$3$.
又
∵顶点为$(h,-4)$,且顶点在第三象限，
∴$h＜0$,则$h=-5$,$\therefore P(-5,-4)$.
②由题意,结合①可得$y=\frac{1}{2}(x+5)^2 -4$，
∴当$x=-5$时,$y$取最小值为$-4$.
又
∵当$x=-8$时,$y=\frac{1}{2}$;当$x=-3$时,$y=-2$，
∴当$-8≤x≤-3$时,$-4≤y≤\frac{1}{2}$，
则$y$的最大值为$\frac{1}{2}$,最小值为$-4$.
(2)由题意得顶点$P(h,-4)$.
∵点$N(-1,n)$在抛物线上,$\therefore n=\frac{1}{2}(-1-h)^2 -4$.
设$A(0,a)$,$\because N$是$AP$的中点，
∴$-1=\frac{h+0}{2}$,$n=\frac{-4+a}{2}$，
∴$h=-2$,$\therefore n=\frac{1}{2}(-1-h)^2 -4=-\frac{7}{2}$，
∴$a=-3$,$\therefore A(0,-3)$.
又
∵$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -4$，
∴抛物线与$y$轴交点$M$为$(0,-2)$.
∴$AM=|-2-(-3)|=1$,即$AM$的长为$1$.
(3)由题意,当线段$OQ$被$L$分为两部分,且两部分的比为$1:7$时，
∴抛物线与$x$轴的交点横坐标为$1$或$7$.
又令$y=\frac{1}{2}(x-h)^2 -4=0$,解得$x=h±2\sqrt{2}$.
∴当$h+2\sqrt{2}=1$时,$h=1-2\sqrt{2}$;
当$h+2\sqrt{2}=7$时,$h=7-2\sqrt{2}$(不合题意,舍去);
当$h-2\sqrt{2}=1$时,$h=1+2\sqrt{2}$(不合题意,舍去);
当$h-2\sqrt{2}=7$时,$h=7+2\sqrt{2}$.
综上,$h$的值为$1-2\sqrt{2}$或$7+2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1)①已知点N在抛物线上，将N(-1,4)代入抛物线解析式可得到关于h的方程，解方程得到h的两个解后，结合顶点P在第三象限（横坐标h＜0）筛选出正确的h，即可得到点P的坐标；②由①得到抛物线解析式，该抛物线开口向上，对称轴为x=-5，先判断对称轴在给定区间[-8,-3]内，因此顶点处y取最小值，再分别计算区间两个端点对应的y值，比较后得到最大值。
(2)设A点坐标为(0,a)，根据中点坐标公式，由N是AP中点可先由横坐标关系求出h的值，再依次求出n、a的值得到A点坐标，接着求出抛物线与y轴交点M的坐标，两点纵坐标差的绝对值即为AM的长度。
(3)线段OQ长为8，按1:7分割时分点横坐标为1或7，即抛物线与x轴的交点为x=1或x=7，令y=0解出x关于h的表达式，分别代入交点横坐标求解h，再舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1)①将N(-1,4)代入$y=\frac{1}{2}(x-h)^2 -4$得：
$\frac{1}{2}(-1-h)^2 -4=4$
解得$h=-5$或$h=3$
∵顶点P(h,-4)在第三象限，
∴h＜0，故h=-5
∴P点坐标为$(-5,-4)$
②由①得抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x+5)^2 -4$，抛物线开口向上，对称轴为x=-5
∵$-5∈[-8,-3]$，
∴当x=-5时，y取最小值为-4
分别计算区间端点的y值：
当x=-8时，$y=\frac{1}{2}×(-8+5)^2 -4=\frac{1}{2}$
当x=-3时，$y=\frac{1}{2}×(-3+5)^2 -4=-2$
∵$\frac{1}{2}＞-2$，
∴当$-8≤x≤-3$时，y的最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为-4
(2)设A(0,a)，抛物线顶点P(h,-4)
∵N(-1,n)是AP的中点，根据中点坐标公式：
$-1=\frac{h+0}{2}$，$n=\frac{-4+a}{2}$
解得h=-2
将h=-2、x=-1代入抛物线解析式得：
$n=\frac{1}{2}(-1+2)^2 -4=-\frac{7}{2}$
代入纵坐标中点公式得：$-\frac{7}{2}=\frac{-4+a}{2}$，解得a=-3，即A(0,-3)
抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -4$，令x=0得y=-2，即M(0,-2)
∴$AM=|-2-(-3)|=1$
(3)线段OQ长为8，按1:7分割时，分点横坐标为1或7，即抛物线与x轴交点为x=1或x=7
令y=0，得$\frac{1}{2}(x-h)^2 -4=0$，解得$x=h±2\sqrt{2}$
当$h+2\sqrt{2}=1$时，$h=1-2\sqrt{2}$，符合题意；
当$h+2\sqrt{2}=7$时，$h=7-2\sqrt{2}$，舍去；
当$h-2\sqrt{2}=1$时，$h=1+2\sqrt{2}$，舍去；
当$h-2\sqrt{2}=7$时，$h=7+2\sqrt{2}$，符合题意；
综上h的值为$1-2\sqrt{2}$或$7+2\sqrt{2}$
【答案】
(1)①$\boldsymbol{P(-5,-4)}$；②最大值为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，最小值为$\boldsymbol{-4}$
(2)$\boldsymbol{AM=1}$
(3)$\boldsymbol{h=1-2\sqrt{2}}$或$\boldsymbol{7+2\sqrt{2}}$
【知识点】
二次函数的图像与性质，中点坐标公式，二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题围绕顶点式二次函数综合考查多个基础知识点，解题时要注意结合取值范围筛选多解，避免出现增解或漏解的情况，对二次函数的性质应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)①已知点N在抛物线上，将N(-1,4)代入抛物线解析式可得到关于h的方程，解方程得到h的两个解后，结合顶点P在第三象限（横坐标h＜0）筛选出正确的h，即可得到点P的坐标；②由①得到抛物线解析式，该抛物线开口向上，对称轴为x=-5，先判断对称轴在给定区间[-8,-3]内，因此顶点处y取最小值，再分别计算区间两个端点对应的y值，比较后得到最大值。
(2)设A点坐标为(0,a)，根据中点坐标公式，由N是AP中点可先由横坐标关系求出h的值，再依次求出n、a的值得到A点坐标，接着求出抛物线与y轴交点M的坐标，两点纵坐标差的绝对值即为AM的长度。
(3)线段OQ长为8，按1:7分割时分点横坐标为1或7，即抛物线与x轴的交点为x=1或x=7，令y=0解出x关于h的表达式，分别代入交点横坐标求解h，再舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1)①将N(-1,4)代入$y=\frac{1}{2}(x-h)^2 -4$得：
$\frac{1}{2}(-1-h)^2 -4=4$
解得$h=-5$或$h=3$
∵顶点P(h,-4)在第三象限，
∴h＜0，故h=-5
∴P点坐标为$(-5,-4)$
②由①得抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x+5)^2 -4$，抛物线开口向上，对称轴为x=-5
∵$-5∈[-8,-3]$，
∴当x=-5时，y取最小值为-4
分别计算区间端点的y值：
当x=-8时，$y=\frac{1}{2}×(-8+5)^2 -4=\frac{1}{2}$
当x=-3时，$y=\frac{1}{2}×(-3+5)^2 -4=-2$
∵$\frac{1}{2}＞-2$，
∴当$-8≤x≤-3$时，y的最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为-4
(2)设A(0,a)，抛物线顶点P(h,-4)
∵N(-1,n)是AP的中点，根据中点坐标公式：
$-1=\frac{h+0}{2}$，$n=\frac{-4+a}{2}$
解得h=-2
将h=-2、x=-1代入抛物线解析式得：
$n=\frac{1}{2}(-1+2)^2 -4=-\frac{7}{2}$
代入纵坐标中点公式得：$-\frac{7}{2}=\frac{-4+a}{2}$，解得a=-3，即A(0,-3)
抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -4$，令x=0得y=-2，即M(0,-2)
∴$AM=|-2-(-3)|=1$
(3)线段OQ长为8，按1:7分割时，分点横坐标为1或7，即抛物线与x轴交点为x=1或x=7
令y=0，得$\frac{1}{2}(x-h)^2 -4=0$，解得$x=h±2\sqrt{2}$
当$h+2\sqrt{2}=1$时，$h=1-2\sqrt{2}$，符合题意；
当$h+2\sqrt{2}=7$时，$h=7-2\sqrt{2}$，舍去；
当$h-2\sqrt{2}=1$时，$h=1+2\sqrt{2}$，舍去；
当$h-2\sqrt{2}=7$时，$h=7+2\sqrt{2}$，符合题意；
综上h的值为$1-2\sqrt{2}$或$7+2\sqrt{2}$
【答案】
(1)①$\boldsymbol{P(-5,-4)}$；②最大值为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，最小值为$\boldsymbol{-4}$
(2)$\boldsymbol{AM=1}$
(3)$\boldsymbol{h=1-2\sqrt{2}}$或$\boldsymbol{7+2\sqrt{2}}$
【知识点】
二次函数的图像与性质，中点坐标公式，二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题围绕顶点式二次函数综合考查多个基础知识点，解题时要注意结合取值范围筛选多解，避免出现增解或漏解的情况，对二次函数的性质应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
12 实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系。实心球从出手(点A处)到落地的过程中，实心球的竖直高度 y(单位:m)与水平距离 x(单位:m)近似满足函数关系 $y=a(x-h)^2 + k(a＜0)$，一名男生进行了两次训练。
(1)第一次训练时，实心球的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 $y=a(x-h)^2 + k(a＜0)$；
(2)第二次训练时，实心球的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系 $y=-\dfrac{1}{12}(x-5)^2 + \dfrac{49}{12}$。记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为 $d_1$，第二次训练实心球落地的水平距离为 $d_2$，则 $d_1$
(1)第一次训练时，实心球的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 $y=a(x-h)^2 + k(a＜0)$；
(2)第二次训练时，实心球的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系 $y=-\dfrac{1}{12}(x-5)^2 + \dfrac{49}{12}$。记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为 $d_1$，第二次训练实心球落地的水平距离为 $d_2$，则 $d_1$
＞
$d_2$.(填“＞”“=”或“＜”)答案
12.解:(1)根据表格中的数据可知,抛物线的顶点坐标为$(6,5)$，
∴实心球竖直高度的最大值是5 m，
∴抛物线的表达式可表示为$y=a(x-6)^2 +5$.
∵当$x=0$时,$y=2$,$\therefore 2=a(0-6)^2 +5$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
∴满足的函数关系为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2 +5$.
(2)在$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2 +5$中,令$y=0$，
得$0=-\frac{1}{12}(x-6)^2 +5$，
解得$x_1=6+2\sqrt{15}$,$x_2=6-2\sqrt{15}＜0$(舍去)，
∴$d_1=(6+2\sqrt{15})\mathrm{m}$.
在$y=-\frac{1}{12}(x-5)^2 +\frac{49}{12}$中，
令$y=0$,得$-\frac{1}{12}(x-5)^2 +\frac{49}{12}=0$，
解得$x_3=12$,$x_4=-2$(舍去),$\therefore d_2=12 \mathrm{ m}$.
∵$12＜6+2\sqrt{15}$,$\therefore d_1＞d_2$.
故答案为$＞$.
∴实心球竖直高度的最大值是5 m，
∴抛物线的表达式可表示为$y=a(x-6)^2 +5$.
∵当$x=0$时,$y=2$,$\therefore 2=a(0-6)^2 +5$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
∴满足的函数关系为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2 +5$.
(2)在$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2 +5$中,令$y=0$，
得$0=-\frac{1}{12}(x-6)^2 +5$，
解得$x_1=6+2\sqrt{15}$,$x_2=6-2\sqrt{15}＜0$(舍去)，
∴$d_1=(6+2\sqrt{15})\mathrm{m}$.
在$y=-\frac{1}{12}(x-5)^2 +\frac{49}{12}$中，
令$y=0$,得$-\frac{1}{12}(x-5)^2 +\frac{49}{12}=0$，
解得$x_3=12$,$x_4=-2$(舍去),$\therefore d_2=12 \mathrm{ m}$.
∵$12＜6+2\sqrt{15}$,$\therefore d_1＞d_2$.
故答案为$＞$.
解析
【分析】
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a\ne0)$的顶点坐标为$(h,k)$，当$a＜0$时，顶点纵坐标$k$就是函数的最大值。先从数据中找到顶点坐标即可得到最大高度，再代入已知的非顶点坐标求出$a$的值，就能确定函数解析式。
(2) 实心球落地时竖直高度为0，因此分别令两次训练对应的函数解析式中$y=0$，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根，得到落地的水平距离$d_1$、$d_2$，再比较两者大小即可。
【解析】
(1) 根据数据可知抛物线顶点坐标为$(6,5)$，因此实心球竖直高度的最大值是$5\ \mathrm{m}$。
设函数解析式为$y=a(x-6)^2+5$，将$x=0$，$y=2$代入解析式：
$2=a(0-6)^2+5$
解得$a=-\dfrac{1}{12}$
因此满足的函数关系为$y=-\dfrac{1}{12}(x-6)^2+5(a＜0)$。
(2) 求$d_1$：令第一次函数中$y=0$，得：
$0=-\dfrac{1}{12}(x-6)^2+5$
整理得$(x-6)^2=60$，解得$x_1=6+2\sqrt{15}$，$x_2=6-2\sqrt{15}$（水平距离为正，舍去），即$d_1=6+2\sqrt{15}$。
求$d_2$：令第二次函数中$y=0$，得：
$-\dfrac{1}{12}(x-5)^2+\dfrac{49}{12}=0$
整理得$(x-5)^2=49$，解得$x_3=12$，$x_4=-2$（负根舍去），即$d_2=12$。
因为$6+2\sqrt{15}\approx13.75＞12$，所以$d_1＞d_2$。
【答案】
(1) 竖直高度最大值为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$，函数关系为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{12}(x-6)^2 +5}$；(2) $\boldsymbol{＞}$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数实际应用；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合实心球投掷的实际场景考查二次函数的应用，要求掌握二次函数顶点式的性质，能结合实际意义取舍方程的根，兼顾了对计算能力和实际应用能力的考查，是二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a\ne0)$的顶点坐标为$(h,k)$，当$a＜0$时，顶点纵坐标$k$就是函数的最大值。先从数据中找到顶点坐标即可得到最大高度，再代入已知的非顶点坐标求出$a$的值，就能确定函数解析式。
(2) 实心球落地时竖直高度为0，因此分别令两次训练对应的函数解析式中$y=0$，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根，得到落地的水平距离$d_1$、$d_2$，再比较两者大小即可。
【解析】
(1) 根据数据可知抛物线顶点坐标为$(6,5)$，因此实心球竖直高度的最大值是$5\ \mathrm{m}$。
设函数解析式为$y=a(x-6)^2+5$，将$x=0$，$y=2$代入解析式：
$2=a(0-6)^2+5$
解得$a=-\dfrac{1}{12}$
因此满足的函数关系为$y=-\dfrac{1}{12}(x-6)^2+5(a＜0)$。
(2) 求$d_1$：令第一次函数中$y=0$，得：
$0=-\dfrac{1}{12}(x-6)^2+5$
整理得$(x-6)^2=60$，解得$x_1=6+2\sqrt{15}$，$x_2=6-2\sqrt{15}$（水平距离为正，舍去），即$d_1=6+2\sqrt{15}$。
求$d_2$：令第二次函数中$y=0$，得：
$-\dfrac{1}{12}(x-5)^2+\dfrac{49}{12}=0$
整理得$(x-5)^2=49$，解得$x_3=12$，$x_4=-2$（负根舍去），即$d_2=12$。
因为$6+2\sqrt{15}\approx13.75＞12$，所以$d_1＞d_2$。
【答案】
(1) 竖直高度最大值为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$，函数关系为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{12}(x-6)^2 +5}$；(2) $\boldsymbol{＞}$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数实际应用；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合实心球投掷的实际场景考查二次函数的应用，要求掌握二次函数顶点式的性质，能结合实际意义取舍方程的根，兼顾了对计算能力和实际应用能力的考查，是二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
