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1. 由二次函数$y=-x^2+2x$可知 （
A.其图像的开口向上
B.其图像的对称轴为直线$x=1$
C.其最大值为$-1$
D.其图像的顶点坐标为$(-1,1)$
名师微课
B
）A.其图像的开口向上
B.其图像的对称轴为直线$x=1$
C.其最大值为$-1$
D.其图像的顶点坐标为$(-1,1)$
名师微课
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题时可先确定函数解析式中$a、b、c$的取值，再依次根据开口方向判断规则、对称轴公式、最值与顶点坐标的计算方法，逐一分析每个选项的正误即可选出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+2x$，可得$a=-1$，$b=2$，$c=0$：
1. 分析选项A：二次函数开口方向由$a$的符号决定，$a=-1＜0$，因此图像开口向下，A错误；
2. 分析选项B：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，即对称轴为直线$x=1$，B正确；
3. 分析选项C：由于开口向下，函数在顶点处取得最大值，将$x=1$代入解析式得$y=-1^2+2×1=1$，即最大值为1，C错误；
4. 分析选项D：顶点横坐标为对称轴对应值$x=1$，纵坐标为最大值1，因此顶点坐标为$(1,1)$，D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像性质；对称轴计算；最值求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次函数的基本性质与相关公式的应用，只要熟练掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、最值的判断与计算方法，逐一排查选项即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题时可先确定函数解析式中$a、b、c$的取值，再依次根据开口方向判断规则、对称轴公式、最值与顶点坐标的计算方法，逐一分析每个选项的正误即可选出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+2x$，可得$a=-1$，$b=2$，$c=0$：
1. 分析选项A：二次函数开口方向由$a$的符号决定，$a=-1＜0$，因此图像开口向下，A错误；
2. 分析选项B：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，即对称轴为直线$x=1$，B正确；
3. 分析选项C：由于开口向下，函数在顶点处取得最大值，将$x=1$代入解析式得$y=-1^2+2×1=1$，即最大值为1，C错误；
4. 分析选项D：顶点横坐标为对称轴对应值$x=1$，纵坐标为最大值1，因此顶点坐标为$(1,1)$，D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像性质；对称轴计算；最值求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次函数的基本性质与相关公式的应用，只要熟练掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、最值的判断与计算方法，逐一排查选项即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2.在同一平面直角坐标系内，一次函数$y=ax+c$与二次函数$y=ax^2+8x+c$的图像可能是（
A
B
C
D
C
）A
B
C
D
答案
2.C
解析
【分析】
本题是一次函数与二次函数的图像组合判断题，两个函数表达式中的a、c为相同常数，解题可从共同参数的几何意义入手：第一步先分析常数项c，两个函数在x=0时的y值均为c，说明两图像与y轴交于同一点，可先排除交点不同的错误选项；第二步分析参数a，a既决定二次函数的开口方向（a＞0开口向上，a＜0开口向下），又是一次函数的斜率（a＞0时一次函数图像上升，a＜0时一次函数图像下降），因此两个函数中a的符号必须一致，据此可排除a符号矛盾的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 判断两函数与y轴的交点：
对一次函数$y=ax+c$，令$x=0$，得$y=c$，即与y轴交于点$(0,c)$；
对二次函数$y=ax^2+8x+c$，令$x=0$，得$y=c$，即与y轴也交于点$(0,c)$；
因此两个函数图像与y轴交于同一点，先排除不符合该特征的选项。
2. 判断参数a的符号一致性：
① 若$a＞0$：二次函数开口向上，一次函数y随x增大而增大（图像从左下向右上延伸）；
② 若$a＜0$：二次函数开口向下，一次函数y随x增大而减小（图像从左上向右下延伸）；
逐一验证剩余选项，仅选项C满足a的符号一致、且两函数与y轴交于同一点的要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图像性质、二次函数图像性质、函数图像与系数的关系
【点评】
本题是函数图像判断的常规题型，解题核心是抓住两个函数中相同参数的几何意义，通过y轴交点、a的符号两个维度逐一排除错误选项，优先验证共同参数的特征可有效提升解题速度。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与二次函数的图像组合判断题，两个函数表达式中的a、c为相同常数，解题可从共同参数的几何意义入手：第一步先分析常数项c，两个函数在x=0时的y值均为c，说明两图像与y轴交于同一点，可先排除交点不同的错误选项；第二步分析参数a，a既决定二次函数的开口方向（a＞0开口向上，a＜0开口向下），又是一次函数的斜率（a＞0时一次函数图像上升，a＜0时一次函数图像下降），因此两个函数中a的符号必须一致，据此可排除a符号矛盾的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 判断两函数与y轴的交点：
对一次函数$y=ax+c$，令$x=0$，得$y=c$，即与y轴交于点$(0,c)$；
对二次函数$y=ax^2+8x+c$，令$x=0$，得$y=c$，即与y轴也交于点$(0,c)$；
因此两个函数图像与y轴交于同一点，先排除不符合该特征的选项。
2. 判断参数a的符号一致性：
① 若$a＞0$：二次函数开口向上，一次函数y随x增大而增大（图像从左下向右上延伸）；
② 若$a＜0$：二次函数开口向下，一次函数y随x增大而减小（图像从左上向右下延伸）；
逐一验证剩余选项，仅选项C满足a的符号一致、且两函数与y轴交于同一点的要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图像性质、二次函数图像性质、函数图像与系数的关系
【点评】
本题是函数图像判断的常规题型，解题核心是抓住两个函数中相同参数的几何意义，通过y轴交点、a的符号两个维度逐一排除错误选项，优先验证共同参数的特征可有效提升解题速度。
【难度系数】
0.7
3. 下列抛物线中，既在直线 $ x=2 $ 右侧是下降的，又在直线 $ x=0 $ 左侧是上升的是 （
A.$ y=2x^2 + 3x - 4 $
B.$ y=-4x^2 + 3x - 2 $
C.$ y=3x^2 - 4x + 2 $
D.$ y=-4x^2 - 3x + 2 $
B
）A.$ y=2x^2 + 3x - 4 $
B.$ y=-4x^2 + 3x - 2 $
C.$ y=3x^2 - 4x + 2 $
D.$ y=-4x^2 - 3x + 2 $
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先结合二次函数增减性的规律推导符合要求的抛物线的特征：首先，抛物线在x=2右侧下降、x=0左侧上升，说明抛物线开口向下，因此先排除开口向上（a＞0）的选项；其次，开口向下的抛物线中，对称轴左侧上升、右侧下降，要满足x＜0时全为上升区间、x＞2时全为下降区间，说明对称轴需要落在0到2之间，计算剩余选项的对称轴即可选出答案。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质：
1. 开口方向由$a$决定：$a＞0$开口向上，对称轴右侧y随x增大而增大（图像上升）；$a＜0$开口向下，对称轴右侧y随x增大而减小（图像下降）。
题目要求x＞2时图像下降，说明开口向下，即$a＜0$，因此A选项（$a=2＞0$）、C选项（$a=3＞0$）不符合要求，排除。
2. 对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，开口向下时，对称轴左侧图像上升、右侧下降：
B选项：$a=-4,b=3$，代入得对称轴$x=-\frac{3}{2×(-4)}=\frac{3}{8}=0.375$，满足$0≤0.375≤2$，此时x＜0属于对称轴左侧（图像上升），x＞2属于对称轴右侧（图像下降），符合要求。
D选项：$a=-4,b=-3$，代入得对称轴$x=-\frac{-3}{2×(-4)}=-\frac{3}{8}=-0.375$，此时$-0.375＜x＜0$属于对称轴右侧（图像下降），不符合x=0左侧全上升的要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的增减性，二次函数对称轴计算，二次函数开口方向
【点评】
本题核心考查二次函数图像的基本性质，解题时先通过增减性特征锁定开口方向，再结合对称轴的位置筛选选项，是二次函数性质的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合二次函数增减性的规律推导符合要求的抛物线的特征：首先，抛物线在x=2右侧下降、x=0左侧上升，说明抛物线开口向下，因此先排除开口向上（a＞0）的选项；其次，开口向下的抛物线中，对称轴左侧上升、右侧下降，要满足x＜0时全为上升区间、x＞2时全为下降区间，说明对称轴需要落在0到2之间，计算剩余选项的对称轴即可选出答案。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质：
1. 开口方向由$a$决定：$a＞0$开口向上，对称轴右侧y随x增大而增大（图像上升）；$a＜0$开口向下，对称轴右侧y随x增大而减小（图像下降）。
题目要求x＞2时图像下降，说明开口向下，即$a＜0$，因此A选项（$a=2＞0$）、C选项（$a=3＞0$）不符合要求，排除。
2. 对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，开口向下时，对称轴左侧图像上升、右侧下降：
B选项：$a=-4,b=3$，代入得对称轴$x=-\frac{3}{2×(-4)}=\frac{3}{8}=0.375$，满足$0≤0.375≤2$，此时x＜0属于对称轴左侧（图像上升），x＞2属于对称轴右侧（图像下降），符合要求。
D选项：$a=-4,b=-3$，代入得对称轴$x=-\frac{-3}{2×(-4)}=-\frac{3}{8}=-0.375$，此时$-0.375＜x＜0$属于对称轴右侧（图像下降），不符合x=0左侧全上升的要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的增减性，二次函数对称轴计算，二次函数开口方向
【点评】
本题核心考查二次函数图像的基本性质，解题时先通过增减性特征锁定开口方向，再结合对称轴的位置筛选选项，是二次函数性质的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
4.如果把抛物线$y=x^2 -4x +5$先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么所得新抛物线的表达式为
$y=(x+1)^2-1$
.答案
4.$y=(x+1)^2-1$
解析
【分析】
解决抛物线平移问题的核心是抓住平移前后抛物线的开口方向、形状大小不变，仅顶点位置发生变化。解题思路如下：第一步先将给定的一般式抛物线转化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标；第二步根据“左加右减（针对横坐标）、上加下减（针对纵坐标）”的平移规则，计算平移后新抛物线的顶点坐标；第三步结合不变的二次项系数a，写出新抛物线的表达式即可。
【解析】
首先将原抛物线配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2-4x+5\\&=(x^2-4x+4)-4+5\\&=(x-2)^2+1\end{aligned}$
可得原抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。
将顶点向左平移3个单位长度，横坐标变为$2-3=-1$；再向下平移2个单位长度，纵坐标变为$1-2=-1$，即平移后新抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$。
因为平移前后二次项系数$a=1$不变，因此新抛物线的表达式为$y=(x+1)^2-1$。
【答案】
$y=(x+1)^2-1$
【知识点】
二次函数一般式化顶点式；二次函数平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，重点考查配方运算和平移规则的应用，解题时注意“左加右减”是针对自变量x本身的运算，避免符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解决抛物线平移问题的核心是抓住平移前后抛物线的开口方向、形状大小不变，仅顶点位置发生变化。解题思路如下：第一步先将给定的一般式抛物线转化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标；第二步根据“左加右减（针对横坐标）、上加下减（针对纵坐标）”的平移规则，计算平移后新抛物线的顶点坐标；第三步结合不变的二次项系数a，写出新抛物线的表达式即可。
【解析】
首先将原抛物线配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2-4x+5\\&=(x^2-4x+4)-4+5\\&=(x-2)^2+1\end{aligned}$
可得原抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。
将顶点向左平移3个单位长度，横坐标变为$2-3=-1$；再向下平移2个单位长度，纵坐标变为$1-2=-1$，即平移后新抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$。
因为平移前后二次项系数$a=1$不变，因此新抛物线的表达式为$y=(x+1)^2-1$。
【答案】
$y=(x+1)^2-1$
【知识点】
二次函数一般式化顶点式；二次函数平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，重点考查配方运算和平移规则的应用，解题时注意“左加右减”是针对自变量x本身的运算，避免符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5.已知抛物线 $y=-2x^2 -4x +1$。
（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点 $P(2,0)$ 的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程。
（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点 $P(2,0)$ 的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程。
答案
5.解:(1)$y=-2x^2-4x+1=-2(x^2+2x+1)+2+1=-2(x+1)^2+3$,
∴对称轴是直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,3)$.
(2)
∵新顶点 $P(2,0)$,
∴$y=-2(x-2)^2$.
∵$2-(-1)=2+1=3$,$0-3=-3$,
∴平移过程为向右平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度.
∴对称轴是直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,3)$.
(2)
∵新顶点 $P(2,0)$,
∴$y=-2(x-2)^2$.
∵$2-(-1)=2+1=3$,$0-3=-3$,
∴平移过程为向右平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度.
解析
【分析】
（1）求二次函数的对称轴和顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，即可直接得到对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。解题时先提取二次项系数，再对x的部分凑完全平方即可完成转化。
（2）抛物线平移时形状、开口方向不变，故二次项系数$a$不变，已知新顶点坐标，直接代入顶点式即可写出新抛物线的表达式；平移过程可通过对比原顶点与新顶点的坐标变化判断：横坐标增大对应向右平移，减小对应向左平移，纵坐标增大对应向上平移，减小对应向下平移。
【解析】
(1) 对原抛物线解析式配方：
$y=-2x^2-4x+1$
$=-2(x^2+2x)+1$
$=-2(x^2+2x+1-1)+1$
$=-2(x^2+2x+1)+2+1$
$=-2(x+1)^2+3$
根据顶点式的性质，可得对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,3)$。
(2) 抛物线平移后二次项系数不变，新顶点为$P(2,0)$，代入顶点式得新抛物线表达式：
$y=-2(x-2)^2$
对比原顶点$(-1,3)$和新顶点$(2,0)$：
横坐标变化：$2-(-1)=3$，即向右平移3个单位长度；
纵坐标变化：$0-3=-3$，即向下平移3个单位长度。
故平移过程为向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度。
【答案】
(1) 对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,3)$；
(2) 新抛物线的表达式为$y=-2(x-2)^2$，平移过程为向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度。
【知识点】
1. 二次函数顶点式转化
2. 二次函数的对称轴与顶点
3. 二次函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础题型，考查核心知识点清晰，掌握配方法转化顶点式的操作，以及二次函数平移的核心规律就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）求二次函数的对称轴和顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，即可直接得到对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。解题时先提取二次项系数，再对x的部分凑完全平方即可完成转化。
（2）抛物线平移时形状、开口方向不变，故二次项系数$a$不变，已知新顶点坐标，直接代入顶点式即可写出新抛物线的表达式；平移过程可通过对比原顶点与新顶点的坐标变化判断：横坐标增大对应向右平移，减小对应向左平移，纵坐标增大对应向上平移，减小对应向下平移。
【解析】
(1) 对原抛物线解析式配方：
$y=-2x^2-4x+1$
$=-2(x^2+2x)+1$
$=-2(x^2+2x+1-1)+1$
$=-2(x^2+2x+1)+2+1$
$=-2(x+1)^2+3$
根据顶点式的性质，可得对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,3)$。
(2) 抛物线平移后二次项系数不变，新顶点为$P(2,0)$，代入顶点式得新抛物线表达式：
$y=-2(x-2)^2$
对比原顶点$(-1,3)$和新顶点$(2,0)$：
横坐标变化：$2-(-1)=3$，即向右平移3个单位长度；
纵坐标变化：$0-3=-3$，即向下平移3个单位长度。
故平移过程为向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度。
【答案】
(1) 对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,3)$；
(2) 新抛物线的表达式为$y=-2(x-2)^2$，平移过程为向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度。
【知识点】
1. 二次函数顶点式转化
2. 二次函数的对称轴与顶点
3. 二次函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础题型，考查核心知识点清晰，掌握配方法转化顶点式的操作，以及二次函数平移的核心规律就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在平面直角坐标系内,O为原点,点M为抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点,根据图像,下列结论错误的是 （
A.$abc＜0$
B.$a+b+c＜0$
C.$a-b+c=0$
D.$2a+b=0$
A
）A.$abc＜0$
B.$a+b+c＜0$
C.$a-b+c=0$
D.$2a+b=0$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先从抛物线图像提取核心信息：首先由开口方向确定a的符号，由对称轴公式推导a和b的数量关系及b的符号，由抛物线与y轴交点确定c的符号，再利用抛物线的对称性求出其与x轴的另一个交点，最后代入特殊x值或通过系数符号逐一验证选项正误即可。
【解析】
1. 判断a的符号：抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
2. 推导b的关系：抛物线对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，
∵$a＞0$，
∴$b＜0$，同时可得$2a+b=0$，故D选项结论正确，不符合题意；
3. 判断c的符号：抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$；则$abc=a×b×c$，a为正、b为负、c为负，计算得$abc＞0$，故A选项结论错误；
4. 验证C选项：抛物线与x轴的一个交点为$(3,0)$，对称轴为$x=1$，由对称性可知另一个交点坐标为$1×2-3=-1$，即$(-1,0)$，将$x=-1$代入解析式得$y=a×(-1)^2 +b×(-1)+c=a-b+c=0$，故C选项结论正确，不符合题意；
5. 验证B选项：当$x=1$时，函数值为顶点纵坐标，由图像可知顶点在x轴下方，
∴$y=a+b+c＜0$，故B选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像与系数关系；二次函数的对称性
【点评】
本题属于二次函数图像信息题，需要结合图像特征推导系数符号、特殊代数式的取值，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从抛物线图像提取核心信息：首先由开口方向确定a的符号，由对称轴公式推导a和b的数量关系及b的符号，由抛物线与y轴交点确定c的符号，再利用抛物线的对称性求出其与x轴的另一个交点，最后代入特殊x值或通过系数符号逐一验证选项正误即可。
【解析】
1. 判断a的符号：抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
2. 推导b的关系：抛物线对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，
∵$a＞0$，
∴$b＜0$，同时可得$2a+b=0$，故D选项结论正确，不符合题意；
3. 判断c的符号：抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$；则$abc=a×b×c$，a为正、b为负、c为负，计算得$abc＞0$，故A选项结论错误；
4. 验证C选项：抛物线与x轴的一个交点为$(3,0)$，对称轴为$x=1$，由对称性可知另一个交点坐标为$1×2-3=-1$，即$(-1,0)$，将$x=-1$代入解析式得$y=a×(-1)^2 +b×(-1)+c=a-b+c=0$，故C选项结论正确，不符合题意；
5. 验证B选项：当$x=1$时，函数值为顶点纵坐标，由图像可知顶点在x轴下方，
∴$y=a+b+c＜0$，故B选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像与系数关系；二次函数的对称性
【点评】
本题属于二次函数图像信息题，需要结合图像特征推导系数符号、特殊代数式的取值，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7已知二次函数$y=ax^2+2ax+a-3(a＞1)$的图像经过四个象限，则$a$的值可以是（
A.2
B.3
C.4
D.6
A
）A.2
B.3
C.4
D.6
答案
7.A
解析
【分析】
解题时可从二次函数的基本性质入手：已知a＞1，可知函数开口向上，要使图像经过四个象限，首先要保证和x轴有两个不同交点，其次要保证x正、负区间都存在y＜0的部分。我们可以先通过判别式验证交点个数，再通过x=0处的函数值判断y轴交点的符号，进而求出a的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
已知二次函数$y=ax^2+2ax+a-3$，$a＞1$，因此函数图像开口向上。
1. 验证与x轴的交点个数：
计算判别式$\Delta=(2a)^2 - 4× a×(a-3)=4a^2-4a^2+12a=12a$，
因为$a＞1$，所以$\Delta=12a＞0$，函数与x轴有两个不同的交点。
2. 分析过四个象限的取值要求：
开口向上的二次函数要经过四个象限，需要y轴右侧存在x使得函数值小于0（即能经过第四象限）。
当$x=0$时，代入函数得$y=a-3$，即函数与y轴交点为$(0,a-3)$，要满足y轴右侧有y＜0的部分，只需$x=0$处的函数值小于0，即：
$a-3＜0$，解得$a＜3$。
结合已知条件$a＞1$，可得$1＜a＜3$，选项中只有2符合该取值范围。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像性质，判别式的应用，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题，解题核心是结合开口方向分析函数与坐标轴交点的特征，也可直接将选项代入验证排除错误答案，能较好地考查学生对二次函数图像的理解能力。
【难度系数】
0.7
解题时可从二次函数的基本性质入手：已知a＞1，可知函数开口向上，要使图像经过四个象限，首先要保证和x轴有两个不同交点，其次要保证x正、负区间都存在y＜0的部分。我们可以先通过判别式验证交点个数，再通过x=0处的函数值判断y轴交点的符号，进而求出a的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
已知二次函数$y=ax^2+2ax+a-3$，$a＞1$，因此函数图像开口向上。
1. 验证与x轴的交点个数：
计算判别式$\Delta=(2a)^2 - 4× a×(a-3)=4a^2-4a^2+12a=12a$，
因为$a＞1$，所以$\Delta=12a＞0$，函数与x轴有两个不同的交点。
2. 分析过四个象限的取值要求：
开口向上的二次函数要经过四个象限，需要y轴右侧存在x使得函数值小于0（即能经过第四象限）。
当$x=0$时，代入函数得$y=a-3$，即函数与y轴交点为$(0,a-3)$，要满足y轴右侧有y＜0的部分，只需$x=0$处的函数值小于0，即：
$a-3＜0$，解得$a＜3$。
结合已知条件$a＞1$，可得$1＜a＜3$，选项中只有2符合该取值范围。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像性质，判别式的应用，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题，解题核心是结合开口方向分析函数与坐标轴交点的特征，也可直接将选项代入验证排除错误答案，能较好地考查学生对二次函数图像的理解能力。
【难度系数】
0.7
