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8.类比学习是一种很重要的学习方法，小明在课堂上类比一次函数学习的过程，作二次函数$C_1:y_1=a_1x^2+b_1x+c_1$和二次函数$C_2:y_2=a_2x^2+b_2x+c_2$的图像时，列出如下表格，已知二次函数$C_1$的图像平移后可以得到二次函数$C_2$的图像，则平移方式为（
A.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
A
）A.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
答案
8.A
解析
【分析】
解决本题的核心是：二次函数平移只改变位置，不改变形状和开口方向，即二次项系数不变，函数的平移规律和其顶点的平移规律完全一致。因此我们可以先利用表格中函数值相等的对称点，求出两个二次函数的对称轴，进一步得到顶点坐标，最后通过顶点的平移方向和距离判断函数的平移方式。
【解析】
1. 求二次函数$C_1$的顶点坐标：
观察表格可知，$x=0$和$x=2$时，$y_1$的值均为1，因此$C_1$的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，结合$x=1$时$y_1=3$，可得$C_1$的顶点坐标为$(1,3)$。
2. 求二次函数$C_2$的顶点坐标：
观察表格可知，$x=-1$和$x=1$时，$y_2$的值均为3，因此$C_2$的对称轴为直线$x=\frac{-1+1}{2}=0$，结合$x=0$时$y_2=5$，可得$C_2$的顶点坐标为$(0,5)$。
3. 判断平移方式：
将顶点$(1,3)$平移到$(0,5)$，横坐标从1变为0，说明向左平移了1个单位长度；纵坐标从3变为5，说明向上平移了2个单位长度。因此平移方式为先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度。
【答案】
A
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数对称性；二次函数顶点坐标
【点评】
本题不需要求解完整的二次函数解析式，利用二次函数的对称性快速找到顶点，再通过顶点的平移判断函数平移，是这类题的简便解法，能有效减少计算量。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是：二次函数平移只改变位置，不改变形状和开口方向，即二次项系数不变，函数的平移规律和其顶点的平移规律完全一致。因此我们可以先利用表格中函数值相等的对称点，求出两个二次函数的对称轴，进一步得到顶点坐标，最后通过顶点的平移方向和距离判断函数的平移方式。
【解析】
1. 求二次函数$C_1$的顶点坐标：
观察表格可知，$x=0$和$x=2$时，$y_1$的值均为1，因此$C_1$的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，结合$x=1$时$y_1=3$，可得$C_1$的顶点坐标为$(1,3)$。
2. 求二次函数$C_2$的顶点坐标：
观察表格可知，$x=-1$和$x=1$时，$y_2$的值均为3，因此$C_2$的对称轴为直线$x=\frac{-1+1}{2}=0$，结合$x=0$时$y_2=5$，可得$C_2$的顶点坐标为$(0,5)$。
3. 判断平移方式：
将顶点$(1,3)$平移到$(0,5)$，横坐标从1变为0，说明向左平移了1个单位长度；纵坐标从3变为5，说明向上平移了2个单位长度。因此平移方式为先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度。
【答案】
A
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数对称性；二次函数顶点坐标
【点评】
本题不需要求解完整的二次函数解析式，利用二次函数的对称性快速找到顶点，再通过顶点的平移判断函数平移，是这类题的简便解法，能有效减少计算量。
【难度系数】
0.7
9. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 开口向上，且经过点(4,3)和(-3,3)，如果点(-2, $ y_1 $)与(1, $ y_2 $)在此抛物线上，那么 $ y_1 $
＞
$ y_2 $.(填“＞”“＜”或“=”)答案
9.＞
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先观察到抛物线经过的(4,3)和(-3,3)两点纵坐标相同，根据二次函数的对称性，这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可以先求出抛物线的对称轴；2. 已知抛物线开口向上，根据二次函数的图像性质：开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；3. 分别计算点(-2,y₁)和(1,y₂)到对称轴的距离，比较距离大小即可判断y₁和y₂的大小关系。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点(4,3)和(-3,3)，两点纵坐标相等
∴这两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{4+(-3)}{2}=0.5$
∵抛物线开口向上
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大
点(-2,$y_1$)到对称轴$x=0.5$的距离为：$\vert -2 - 0.5\vert=2.5$
点(1,$y_2$)到对称轴$x=0.5$的距离为：$\vert 1 - 0.5\vert=0.5$
∵$2.5＞0.5$
∴$y_1＞y_2$
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，无需代入计算具体函数值，利用对称性快速确定对称轴，再结合开口方向通过点到对称轴的距离比较函数值大小，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先观察到抛物线经过的(4,3)和(-3,3)两点纵坐标相同，根据二次函数的对称性，这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可以先求出抛物线的对称轴；2. 已知抛物线开口向上，根据二次函数的图像性质：开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；3. 分别计算点(-2,y₁)和(1,y₂)到对称轴的距离，比较距离大小即可判断y₁和y₂的大小关系。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点(4,3)和(-3,3)，两点纵坐标相等
∴这两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{4+(-3)}{2}=0.5$
∵抛物线开口向上
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大
点(-2,$y_1$)到对称轴$x=0.5$的距离为：$\vert -2 - 0.5\vert=2.5$
点(1,$y_2$)到对称轴$x=0.5$的距离为：$\vert 1 - 0.5\vert=0.5$
∵$2.5＞0.5$
∴$y_1＞y_2$
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，无需代入计算具体函数值，利用对称性快速确定对称轴，再结合开口方向通过点到对称轴的距离比较函数值大小，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线$y=x^2 -2x +2$上运动，过点A作$AC⊥x$轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为
1
。答案
10.1 解析:
∵$y=x^2-2x+2=(x-1)^2+1$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,1)$.
∵四边形ABCD为矩形,
∴$BD=AC$,$AC⊥x$轴,
∴AC的长等于点A的纵坐标.
当点A在抛物线的顶点时,点A到x轴的距离最小,最小值为1,
∴对角线BD的最小值为1.
∵$y=x^2-2x+2=(x-1)^2+1$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,1)$.
∵四边形ABCD为矩形,
∴$BD=AC$,$AC⊥x$轴,
∴AC的长等于点A的纵坐标.
当点A在抛物线的顶点时,点A到x轴的距离最小,最小值为1,
∴对角线BD的最小值为1.
解析
【分析】
要求BD的最小值，可结合矩形性质进行转化：矩形的对角线相等，因此BD=AC，求BD的最小值等价于求AC的最小值。由于AC垂直x轴，点C在x轴上，AC的长度等于点A的纵坐标，因此问题进一步转化为求抛物线上点A的纵坐标的最小值。抛物线开口向上，顶点处的纵坐标最小，因此只需将抛物线解析式化为顶点式，求出顶点纵坐标即可得到结果。
【解析】
1. 先将抛物线解析式配方为顶点式：
$ y = x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 $，
由此可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,1)$，即抛物线上所有点的纵坐标的最小值为1。
2. 结合矩形性质转化线段：
∵ 四边形ABCD是矩形，AC、BD为矩形的对角线，
∴ $ BD = AC $。
又
∵ $ AC ⊥ x $轴，点C在x轴上，
∴ AC的长等于点A的纵坐标的值。
3. 求最小值：
当点A在抛物线顶点处时，点A的纵坐标最小，最小值为1，即AC的最小值为1，因此BD的最小值为1。
【答案】
1
【知识点】
矩形的性质；二次函数的最值；坐标与图形性质
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的综合题，解题关键是利用矩形对角线相等的性质，将未知的BD最小值问题转化为已学的二次函数最值问题，体现了转化思想的应用，同时考查了对二次函数顶点性质的掌握。
【难度系数】
0.7
要求BD的最小值，可结合矩形性质进行转化：矩形的对角线相等，因此BD=AC，求BD的最小值等价于求AC的最小值。由于AC垂直x轴，点C在x轴上，AC的长度等于点A的纵坐标，因此问题进一步转化为求抛物线上点A的纵坐标的最小值。抛物线开口向上，顶点处的纵坐标最小，因此只需将抛物线解析式化为顶点式，求出顶点纵坐标即可得到结果。
【解析】
1. 先将抛物线解析式配方为顶点式：
$ y = x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 $，
由此可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,1)$，即抛物线上所有点的纵坐标的最小值为1。
2. 结合矩形性质转化线段：
∵ 四边形ABCD是矩形，AC、BD为矩形的对角线，
∴ $ BD = AC $。
又
∵ $ AC ⊥ x $轴，点C在x轴上，
∴ AC的长等于点A的纵坐标的值。
3. 求最小值：
当点A在抛物线顶点处时，点A的纵坐标最小，最小值为1，即AC的最小值为1，因此BD的最小值为1。
【答案】
1
【知识点】
矩形的性质；二次函数的最值；坐标与图形性质
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的综合题，解题关键是利用矩形对角线相等的性质，将未知的BD最小值问题转化为已学的二次函数最值问题，体现了转化思想的应用，同时考查了对二次函数顶点性质的掌握。
【难度系数】
0.7
11.已知二次函数 $ y=-2x^2+4x+6 $.
(1)求这个函数图像的顶点坐标,并指出它的变化情况；
(2)如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,该函数图像与 $ x $ 轴正半轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,顶点为 $ D $,$ O $ 为坐标原点,求四边形 $ OADC $ 的面积.
(1)求这个函数图像的顶点坐标,并指出它的变化情况；
(2)如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,该函数图像与 $ x $ 轴正半轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,顶点为 $ D $,$ O $ 为坐标原点,求四边形 $ OADC $ 的面积.
答案
11.解:(1)由条件可知$-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-4}=1$.
把$x=1$代入$y=-2x^2+4x+6$,
得$y=-2×1+4×1+6=8$,
∴这个二次函数图像的顶点坐标是$(1,8)$.
∵二次函数图像的开口向下,
∴图像在直线$x=1$左侧的部分是上升的,在直线$x=1$右侧的部分是下降的.
(2)如图所示,过点D作$DH⊥y$轴于点H.
把$y=0$代入,得$-2x^2+4x+6=0$,
解得$x_1=3$,$x_2=-1$(舍去),
∴点A坐标是$(3,0)$.
∵二次函数图像的顶点坐标是$D(1,8)$,与y轴交点坐标是$C(0,6)$,
则$OC=6$,$OH=8$,$DH=1$,$CH=2$.
∴$S_{四边形OADC}=\frac{1}{2}(DH+OA)·OH-\frac{1}{2}×CH×DH=\frac{1}{2}×4×8-\frac{1}{2}×1×2=15$.
解析
【分析】
(1) 求解二次函数顶点坐标可使用顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，先算出顶点横坐标，再代入解析式求得纵坐标即可得到顶点坐标；分析函数变化情况时，先根据二次项系数的符号判断开口方向，再结合对称轴即可判断对称轴两侧的增减性。
(2) 四边形$OADC$是不规则图形，需用割补法转化为规则图形的面积和差计算：先分别求出函数与x轴正半轴交点A、与y轴交点C以及顶点D的坐标，过D作$DH⊥y$轴于H，将四边形面积转化为梯形$OHDA$的面积减去直角三角形$DHC$的面积，分别计算后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-2x^2+4x+6$，其中$a=-2$，$b=4$，
顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-2)}=1$，
将$x=1$代入解析式，得$y=-2×1^2+4×1+6=8$，即顶点坐标为$(1,8)$。
因为$a=-2＜0$，函数图像开口向下，所以在对称轴$x=1$左侧，y随x的增大而增大，图像呈上升趋势；在对称轴$x=1$右侧，y随x的增大而减小，图像呈下降趋势。
(2) 求点A坐标：令$y=0$，代入解析式得$-2x^2+4x+6=0$，
因式分解解得$x_1=3$，$x_2=-1$，因A在x轴正半轴，故$A(3,0)$。
求点C坐标：令$x=0$，得$y=6$，故$C(0,6)$，已知顶点$D(1,8)$。
过D作$DH⊥y$轴于点H，可得$DH=1$，$OA=3$，$OH=8$，$CH=OH-OC=2$。
梯形$OHDA$的面积为$\frac{1}{2}×(DH+OA)× OH=\frac{1}{2}×(1+3)×8=16$，
三角形$DHC$的面积为$\frac{1}{2}× CH× DH=\frac{1}{2}×2×1=1$，
因此四边形$OADC$的面积为$16-1=15$。
【答案】
11.解:(1)由条件可知$-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-4}=1$.
把$x=1$代入$y=-2x^2+4x+6$,
得$y=-2×1+4×1+6=8$,
∴这个二次函数图像的顶点坐标是$(1,8)$.
∵二次函数图像的开口向下,
∴图像在直线$x=1$左侧的部分是上升的,在直线$x=1$右侧的部分是下降的.
(2)如图所示,过点D作$DH⊥y$轴于点H.
把$y=0$代入,得$-2x^2+4x+6=0$,
解得$x_1=3$,$x_2=-1$(舍去),
∴点A坐标是$(3,0)$.
∵二次函数图像的顶点坐标是$D(1,8)$,与y轴交点坐标是$C(0,6)$,
则$OC=6$,$OH=8$,$DH=1$,$CH=2$.
∴$S_{四边形OADC}=\frac{1}{2}(DH+OA)·OH-\frac{1}{2}×CH×DH=\frac{1}{2}×4×8-\frac{1}{2}×1×2=15$.
【知识点】
二次函数的性质、二次函数与坐标轴交点、割补法求面积
【点评】
本题是二次函数基础综合题，既考查了二次函数顶点坐标、增减性的基础应用，也考查了不规则图形面积的求解思路，解题核心是熟练掌握二次函数相关性质，灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积。
【难度系数】
0.7
(1) 求解二次函数顶点坐标可使用顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，先算出顶点横坐标，再代入解析式求得纵坐标即可得到顶点坐标；分析函数变化情况时，先根据二次项系数的符号判断开口方向，再结合对称轴即可判断对称轴两侧的增减性。
(2) 四边形$OADC$是不规则图形，需用割补法转化为规则图形的面积和差计算：先分别求出函数与x轴正半轴交点A、与y轴交点C以及顶点D的坐标，过D作$DH⊥y$轴于H，将四边形面积转化为梯形$OHDA$的面积减去直角三角形$DHC$的面积，分别计算后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-2x^2+4x+6$，其中$a=-2$，$b=4$，
顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-2)}=1$，
将$x=1$代入解析式，得$y=-2×1^2+4×1+6=8$，即顶点坐标为$(1,8)$。
因为$a=-2＜0$，函数图像开口向下，所以在对称轴$x=1$左侧，y随x的增大而增大，图像呈上升趋势；在对称轴$x=1$右侧，y随x的增大而减小，图像呈下降趋势。
(2) 求点A坐标：令$y=0$，代入解析式得$-2x^2+4x+6=0$，
因式分解解得$x_1=3$，$x_2=-1$，因A在x轴正半轴，故$A(3,0)$。
求点C坐标：令$x=0$，得$y=6$，故$C(0,6)$，已知顶点$D(1,8)$。
过D作$DH⊥y$轴于点H，可得$DH=1$，$OA=3$，$OH=8$，$CH=OH-OC=2$。
梯形$OHDA$的面积为$\frac{1}{2}×(DH+OA)× OH=\frac{1}{2}×(1+3)×8=16$，
三角形$DHC$的面积为$\frac{1}{2}× CH× DH=\frac{1}{2}×2×1=1$，
因此四边形$OADC$的面积为$16-1=15$。
【答案】
11.解:(1)由条件可知$-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-4}=1$.
把$x=1$代入$y=-2x^2+4x+6$,
得$y=-2×1+4×1+6=8$,
∴这个二次函数图像的顶点坐标是$(1,8)$.
∵二次函数图像的开口向下,
∴图像在直线$x=1$左侧的部分是上升的,在直线$x=1$右侧的部分是下降的.
(2)如图所示,过点D作$DH⊥y$轴于点H.
把$y=0$代入,得$-2x^2+4x+6=0$,
解得$x_1=3$,$x_2=-1$(舍去),
∴点A坐标是$(3,0)$.
∵二次函数图像的顶点坐标是$D(1,8)$,与y轴交点坐标是$C(0,6)$,
则$OC=6$,$OH=8$,$DH=1$,$CH=2$.
∴$S_{四边形OADC}=\frac{1}{2}(DH+OA)·OH-\frac{1}{2}×CH×DH=\frac{1}{2}×4×8-\frac{1}{2}×1×2=15$.
【知识点】
二次函数的性质、二次函数与坐标轴交点、割补法求面积
【点评】
本题是二次函数基础综合题，既考查了二次函数顶点坐标、增减性的基础应用，也考查了不规则图形面积的求解思路，解题核心是熟练掌握二次函数相关性质，灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积。
【难度系数】
0.7
12 如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为$y=x^2+px+q$，我们称$[p,q]$为此函数的特征数，如函数$y=x^2+2x+3$的特征数是$[2,3]$。
（1）若一个函数的特征数为$[-2,1]$，求此函数图像的顶点坐标；
（2）①若一个函数的特征数为$[4,-1]$，将此函数的图像先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，求得到的图像对应的函数的特征数；
②若一个函数的特征数为$[2,3]$，问此函数的图像经过怎样的平移，才能使得到的图像对应的函数的特征数为$[3,4]$？
（1）若一个函数的特征数为$[-2,1]$，求此函数图像的顶点坐标；
（2）①若一个函数的特征数为$[4,-1]$，将此函数的图像先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，求得到的图像对应的函数的特征数；
②若一个函数的特征数为$[2,3]$，问此函数的图像经过怎样的平移，才能使得到的图像对应的函数的特征数为$[3,4]$？
答案
12.解:(1)由题意可得$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$,
∴此函数图像的顶点坐标为$(1,0)$.
(2)①由题意可得$y=x^2+4x-1=(x+2)^2-5$.
∵函数的图像先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,
∴$y=(x+2-1)^2-5+1=(x+1)^2-4=x^2+2x-3$,
∴平移后的图像对应的函数的特征数为$[2,-3]$.
②
∵一个函数的特征数为$[2,3]$,
∴函数表达式为$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$.
∵一个函数的特征数为$[3,4]$,
∴函数表达式为$y=x^2+3x+4=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}$,
∴原函数的图像向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度,再向下平移$\frac{1}{4}$个单位长度得到.
∴此函数图像的顶点坐标为$(1,0)$.
(2)①由题意可得$y=x^2+4x-1=(x+2)^2-5$.
∵函数的图像先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,
∴$y=(x+2-1)^2-5+1=(x+1)^2-4=x^2+2x-3$,
∴平移后的图像对应的函数的特征数为$[2,-3]$.
②
∵一个函数的特征数为$[2,3]$,
∴函数表达式为$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$.
∵一个函数的特征数为$[3,4]$,
∴函数表达式为$y=x^2+3x+4=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}$,
∴原函数的图像向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度,再向下平移$\frac{1}{4}$个单位长度得到.
解析
【分析】
本题首先需要明确新定义“特征数”的含义：二次项系数为1的二次函数$y=x^2+px+q$对应的特征数为$[p,q]$。
（1）问解题思路：先根据特征数写出函数的一般式，再通过配方法转化为顶点式，即可直接读取顶点坐标。
（2）①问解题思路：先根据特征数写出原函数解析式，配方为顶点式后，按照“左加右减（针对x）、上加下减（针对常数项）”的平移规则得到平移后的解析式，整理为一般式即可得到新的特征数。
（2）②问解题思路：先分别写出两个特征数对应的二次函数解析式，分别配方为顶点式得到两个函数的顶点坐标，对比顶点的平移方向和距离，即可得到函数图像的平移方式。
【解析】
(1) 由特征数$[-2,1]$可得函数解析式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
根据顶点式的性质，该函数图像的顶点坐标为$(1,0)$。
(2) ① 由特征数$[4,-1]$可得原函数解析式：
$y=x^2+4x-1=(x+2)^2-5$
将图像向右平移1个单位长度（将x替换为$x-1$），再向上平移1个单位长度（解析式整体加1），可得平移后解析式：
$y=(x+2-1)^2-5+1=(x+1)^2-4=x^2+2x-3$
因此平移后函数的特征数为$[2,-3]$。
② 由特征数$[2,3]$可得原函数解析式：
$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$，其顶点坐标为$(-1,2)$
由特征数$[3,4]$可得目标函数解析式：
$y=x^2+3x+4=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}$，其顶点坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{7}{4})$
对比顶点变化：横坐标变化为$-\frac{3}{2}-(-1)=-\frac{1}{2}$，即向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度；纵坐标变化为$\frac{7}{4}-2=-\frac{1}{4}$，即向下平移$\frac{1}{4}$个单位长度。
因此原函数图像向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度，再向下平移$\frac{1}{4}$个单位长度可得到目标函数图像。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,0)}$
(2) ① $\boldsymbol{[2,-3]}$；② 将原函数图像向左平移$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$个单位长度，再向下平移$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$个单位长度（平移顺序可互换）
【知识点】
二次函数新定义、二次函数顶点式、二次函数图像平移
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础性质，解题关键是准确理解特征数的含义，熟练掌握配方法和二次函数平移的规则，注重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
本题首先需要明确新定义“特征数”的含义：二次项系数为1的二次函数$y=x^2+px+q$对应的特征数为$[p,q]$。
（1）问解题思路：先根据特征数写出函数的一般式，再通过配方法转化为顶点式，即可直接读取顶点坐标。
（2）①问解题思路：先根据特征数写出原函数解析式，配方为顶点式后，按照“左加右减（针对x）、上加下减（针对常数项）”的平移规则得到平移后的解析式，整理为一般式即可得到新的特征数。
（2）②问解题思路：先分别写出两个特征数对应的二次函数解析式，分别配方为顶点式得到两个函数的顶点坐标，对比顶点的平移方向和距离，即可得到函数图像的平移方式。
【解析】
(1) 由特征数$[-2,1]$可得函数解析式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
根据顶点式的性质，该函数图像的顶点坐标为$(1,0)$。
(2) ① 由特征数$[4,-1]$可得原函数解析式：
$y=x^2+4x-1=(x+2)^2-5$
将图像向右平移1个单位长度（将x替换为$x-1$），再向上平移1个单位长度（解析式整体加1），可得平移后解析式：
$y=(x+2-1)^2-5+1=(x+1)^2-4=x^2+2x-3$
因此平移后函数的特征数为$[2,-3]$。
② 由特征数$[2,3]$可得原函数解析式：
$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$，其顶点坐标为$(-1,2)$
由特征数$[3,4]$可得目标函数解析式：
$y=x^2+3x+4=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}$，其顶点坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{7}{4})$
对比顶点变化：横坐标变化为$-\frac{3}{2}-(-1)=-\frac{1}{2}$，即向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度；纵坐标变化为$\frac{7}{4}-2=-\frac{1}{4}$，即向下平移$\frac{1}{4}$个单位长度。
因此原函数图像向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度，再向下平移$\frac{1}{4}$个单位长度可得到目标函数图像。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,0)}$
(2) ① $\boldsymbol{[2,-3]}$；② 将原函数图像向左平移$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$个单位长度，再向下平移$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$个单位长度（平移顺序可互换）
【知识点】
二次函数新定义、二次函数顶点式、二次函数图像平移
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础性质，解题关键是准确理解特征数的含义，熟练掌握配方法和二次函数平移的规则，注重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
