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13 在平面直角坐标系$xOy$中，点$(0,3)$、$(6,y_1)$在抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$上。
(1)当$y_1=3$时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$(-1,-1)$，当自变量$x$的值满足$-1≤x≤2$时，$y$随$x$的增大而增大，求$a$的取值范围；
(3)当$a＞0$时，点$(m-4,y_2)$、$(m,y_2)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上，若$y_2＜y_1＜c$，求$m$的取值范围。
(1)当$y_1=3$时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$(-1,-1)$，当自变量$x$的值满足$-1≤x≤2$时，$y$随$x$的增大而增大，求$a$的取值范围；
(3)当$a＞0$时，点$(m-4,y_2)$、$(m,y_2)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上，若$y_2＜y_1＜c$，求$m$的取值范围。
答案
13.解:(1)当$y_1=3$时,$(0,3)$、$(6,3)$为抛物线上的对称点,
∴$x=\frac{0+6}{2}=3$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=3$.
(2)
∵$y=ax^2+bx+c(a≠0)$过$(0,3)$、$(-1,-1)$,
∴$c=3$,$a-b+3=-1$,
∴$b=a+4$,
∴对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a+4}{2a}$.
①当$a＞0$时,
∵$-1≤x≤2$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴$-\frac{a+4}{2a}≤-1$,解得$a≤4$,
∴$0＜a≤4$;
②当$a＜0$时,
∵$-1≤x≤2$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴$-\frac{a+4}{2a}≥2$,解得$a≥-\frac{4}{5}$,
∴$-\frac{4}{5}≤a＜0$.
综上,$a$的取值范围是$-\frac{4}{5}≤a＜0$或$0＜a≤4$.
(3)
∵点$(0,3)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上,
∴$c=3$.
∵点$(m-4,y_2)$、$(m,y_2)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上,
∴对称轴为直线$x=\frac{m-4+m}{2}=m-2$.
①如图所示:
∵$y_2＜y_1＜c$,
∴$m＜6$且$m-2＞\frac{0+6}{2}=3$,
∴$5＜m＜6$;
②如图所示:
∵$y_2＜y_1＜c$,
∴$m-4＞6$,
∴$m＞10$.
综上所述,$m$的取值范围为$5＜m＜6$或$m＞10$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线上两个点纵坐标相等，根据二次函数的对称性，这两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均数，直接计算即可。
(2) 先将已知的(0,3)和(-1,-1)代入抛物线解析式，求出c的值和b与a的关系，进而用含a的式子表示对称轴。二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，分a＞0（开口向上，对称轴右侧递增）和a＜0（开口向下，对称轴左侧递增）两种情况，结合给定区间的增减性要求列不等式，求解后取并集即可得到a的范围。
(3) 首先由(0,3)在抛物线上得c=3，再由(m-4,y2)、(m,y2)纵坐标相同，可得抛物线对称轴为这两点横坐标的平均数，即x=m-2。已知a＞0，抛物线开口向上，函数值越小说明对应点到对称轴的距离越近，结合y2＜y1＜c的大小关系，分两种情况讨论列不等式，最后合并m的范围。
【解析】
(1) 当$y_1=3$时，点$(0,3)$和$(6,3)$纵坐标相等，是抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+6}{2}=3$。
(2)
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$(0,3)$、$(-1,-1)$，
∴代入得$c=3$，$a - b + 3 = -1$，整理得$b=a+4$，
∴抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a+4}{2a}$。
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴右侧y随x增大而增大，
要使$-1≤x≤2$时y随x增大而增大，则对称轴需在区间左侧，即$-\frac{a+4}{2a}≤-1$，
解得$a≤4$，故$0＜a≤4$；
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴左侧y随x增大而增大，
要使$-1≤x≤2$时y随x增大而增大，则对称轴需在区间右侧，即$-\frac{a+4}{2a}≥2$，
解得$a≥-\frac{4}{5}$，故$-\frac{4}{5}≤a＜0$。
综上，a的取值范围是$-\frac{4}{5}≤a＜0$或$0＜a≤4$。
(3)
∵点$(0,3)$在抛物线上，
∴$c=3$。
∵点$(m-4,y_2)$、$(m,y_2)$纵坐标相同，是抛物线上的对称点，
∴抛物线对称轴为直线$x=\frac{(m-4)+m}{2}=m-2$。
已知a＞0，抛物线开口向上，函数值越小对应点到对称轴距离越小，结合$y_2＜y_1＜c$分两种情况：
① 如图所示：
此时$m-2＞\frac{0+6}{2}=3$且$m＜6$，解得$5＜m＜6$；
② 如图所示：
此时两个对称点都在点(6,y1)右侧，即$m-4＞6$，解得$m＞10$。
综上，m的取值范围为$5＜m＜6$或$m＞10$。
【答案】
13.解:(1)当$y_1=3$时,$(0,3)$、$(6,3)$为抛物线上的对称点,
∴$x=\frac{0+6}{2}=3$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=3$.
(2)
∵$y=ax^2+bx+c(a≠0)$过$(0,3)$、$(-1,-1)$,
∴$c=3$,$a-b+3=-1$,
∴$b=a+4$,
∴对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a+4}{2a}$.
①当$a＞0$时,
∵$-1≤x≤2$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴$-\frac{a+4}{2a}≤-1$,解得$a≤4$,
∴$0＜a≤4$;
②当$a＜0$时,
∵$-1≤x≤2$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴$-\frac{a+4}{2a}≥2$,解得$a≥-\frac{4}{5}$,
∴$-\frac{4}{5}≤a＜0$.
综上,$a$的取值范围是$-\frac{4}{5}≤a＜0$或$0＜a≤4$.
(3)
∵点$(0,3)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上,
∴$c=3$.
∵点$(m-4,y_2)$、$(m,y_2)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上,
∴对称轴为直线$x=\frac{m-4+m}{2}=m-2$.
①如图所示:
∵$y_2＜y_1＜c$,
∴$m＜6$且$m-2＞\frac{0+6}{2}=3$,
∴$5＜m＜6$;
②如图所示:
∵$y_2＜y_1＜c$,
∴$m-4＞6$,
∴$m＞10$.
综上所述,$m$的取值范围为$5＜m＜6$或$m＞10$.
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图像与性质
【点评】
本题是二次函数的综合题，重点考查分类讨论思想的应用，需要熟练掌握对称轴、增减性、函数值大小与点到对称轴距离的关系，能有效检验逻辑分析能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.5
(1) 已知抛物线上两个点纵坐标相等，根据二次函数的对称性，这两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均数，直接计算即可。
(2) 先将已知的(0,3)和(-1,-1)代入抛物线解析式，求出c的值和b与a的关系，进而用含a的式子表示对称轴。二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，分a＞0（开口向上，对称轴右侧递增）和a＜0（开口向下，对称轴左侧递增）两种情况，结合给定区间的增减性要求列不等式，求解后取并集即可得到a的范围。
(3) 首先由(0,3)在抛物线上得c=3，再由(m-4,y2)、(m,y2)纵坐标相同，可得抛物线对称轴为这两点横坐标的平均数，即x=m-2。已知a＞0，抛物线开口向上，函数值越小说明对应点到对称轴的距离越近，结合y2＜y1＜c的大小关系，分两种情况讨论列不等式，最后合并m的范围。
【解析】
(1) 当$y_1=3$时，点$(0,3)$和$(6,3)$纵坐标相等，是抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+6}{2}=3$。
(2)
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$(0,3)$、$(-1,-1)$，
∴代入得$c=3$，$a - b + 3 = -1$，整理得$b=a+4$，
∴抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a+4}{2a}$。
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴右侧y随x增大而增大，
要使$-1≤x≤2$时y随x增大而增大，则对称轴需在区间左侧，即$-\frac{a+4}{2a}≤-1$，
解得$a≤4$，故$0＜a≤4$；
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴左侧y随x增大而增大，
要使$-1≤x≤2$时y随x增大而增大，则对称轴需在区间右侧，即$-\frac{a+4}{2a}≥2$，
解得$a≥-\frac{4}{5}$，故$-\frac{4}{5}≤a＜0$。
综上，a的取值范围是$-\frac{4}{5}≤a＜0$或$0＜a≤4$。
(3)
∵点$(0,3)$在抛物线上，
∴$c=3$。
∵点$(m-4,y_2)$、$(m,y_2)$纵坐标相同，是抛物线上的对称点，
∴抛物线对称轴为直线$x=\frac{(m-4)+m}{2}=m-2$。
已知a＞0，抛物线开口向上，函数值越小对应点到对称轴距离越小，结合$y_2＜y_1＜c$分两种情况：
① 如图所示：
此时$m-2＞\frac{0+6}{2}=3$且$m＜6$，解得$5＜m＜6$；
② 如图所示：
此时两个对称点都在点(6,y1)右侧，即$m-4＞6$，解得$m＞10$。
综上，m的取值范围为$5＜m＜6$或$m＞10$。
【答案】
13.解:(1)当$y_1=3$时,$(0,3)$、$(6,3)$为抛物线上的对称点,
∴$x=\frac{0+6}{2}=3$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=3$.
(2)
∵$y=ax^2+bx+c(a≠0)$过$(0,3)$、$(-1,-1)$,
∴$c=3$,$a-b+3=-1$,
∴$b=a+4$,
∴对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a+4}{2a}$.
①当$a＞0$时,
∵$-1≤x≤2$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴$-\frac{a+4}{2a}≤-1$,解得$a≤4$,
∴$0＜a≤4$;
②当$a＜0$时,
∵$-1≤x≤2$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴$-\frac{a+4}{2a}≥2$,解得$a≥-\frac{4}{5}$,
∴$-\frac{4}{5}≤a＜0$.
综上,$a$的取值范围是$-\frac{4}{5}≤a＜0$或$0＜a≤4$.
(3)
∵点$(0,3)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上,
∴$c=3$.
∵点$(m-4,y_2)$、$(m,y_2)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上,
∴对称轴为直线$x=\frac{m-4+m}{2}=m-2$.
①如图所示:
∵$y_2＜y_1＜c$,
∴$m＜6$且$m-2＞\frac{0+6}{2}=3$,
∴$5＜m＜6$;
②如图所示:
∵$y_2＜y_1＜c$,
∴$m-4＞6$,
∴$m＞10$.
综上所述,$m$的取值范围为$5＜m＜6$或$m＞10$.
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图像与性质
【点评】
本题是二次函数的综合题，重点考查分类讨论思想的应用，需要熟练掌握对称轴、增减性、函数值大小与点到对称轴距离的关系，能有效检验逻辑分析能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.5
14若两个二次函数图像的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”。
(1)请写出二次函数$y=2(x-2)^2+1$的“对称二次函数”；
(2)已知关于$x$的二次函数$y_1=x^2-3x+1$和$y_2=ax^2+bx+c$，若$y_1-y_2$与$y_1$互为“对称二次函数”，求二次函数$y_2$的表达式，并求出当$-3≤ x≤3$时，$y_2$的最大值。
(1)请写出二次函数$y=2(x-2)^2+1$的“对称二次函数”；
(2)已知关于$x$的二次函数$y_1=x^2-3x+1$和$y_2=ax^2+bx+c$，若$y_1-y_2$与$y_1$互为“对称二次函数”，求二次函数$y_2$的表达式，并求出当$-3≤ x≤3$时，$y_2$的最大值。
答案
14.解:(1)由题意,得二次函数$y=2(x-2)^2+1$的“对称二次函数”为$y=-2(x-2)^2+1$.
(2)
∵$y_1=x^2-3x+1=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$,
$y_2=ax^2+bx+c$,
∴$y_1-y_2=x^2-3x+1-(ax^2+bx+c)=(1-a)x^2-(3+b)x+1-c$.
又$y_1-y_2$与$y_1$互为“对称二次函数”,
∴$1-a=-1$,$-(3+b)=3$,$1-c=-\frac{7}{2}$,
∴$a=2$,$b=-6$,$c=\frac{9}{2}$,
∴$y_2=2x^2-6x+\frac{9}{2}$,
∴$y_2=2(x-\frac{3}{2})^2$,
∴$y_2$的对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$,
∴当$x=-3$时,$y_{2最大值}=\frac{81}{2}$,
∴当$-3≤x≤3$时,$y_2$的最大值为$\frac{81}{2}$.
(2)
∵$y_1=x^2-3x+1=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$,
$y_2=ax^2+bx+c$,
∴$y_1-y_2=x^2-3x+1-(ax^2+bx+c)=(1-a)x^2-(3+b)x+1-c$.
又$y_1-y_2$与$y_1$互为“对称二次函数”,
∴$1-a=-1$,$-(3+b)=3$,$1-c=-\frac{7}{2}$,
∴$a=2$,$b=-6$,$c=\frac{9}{2}$,
∴$y_2=2x^2-6x+\frac{9}{2}$,
∴$y_2=2(x-\frac{3}{2})^2$,
∴$y_2$的对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$,
∴当$x=-3$时,$y_{2最大值}=\frac{81}{2}$,
∴当$-3≤x≤3$时,$y_2$的最大值为$\frac{81}{2}$.
解析
【分析】
（1）首先明确“对称二次函数”的定义：顶点相同、开口大小相同、开口方向相反，对于顶点式的二次函数，仅需将二次项系数取相反数，其余部分保持不变即可得到对应的对称二次函数。
（2）解题思路分为三步：①先将$y_1$化为顶点式，得到$y_1$的顶点和二次项系数，进而写出$y_1$的“对称二次函数”表达式；②计算$y_1-y_2$的一般式，根据“对称二次函数”的定义，两个表达式对应系数相等，列方程求出$a、b、c$的值，得到$y_2$的解析式；③将$y_2$化为顶点式，结合开口方向和对称轴，判断在区间$[-3,3]$内离对称轴更远的端点即为取得最大值的位置，代入计算即可得到最大值。
【解析】
(1) 根据“对称二次函数”的定义，顶点相同、开口大小相同、开口方向相反，将原二次函数的二次项系数2改为-2，顶点部分不变，可得所求对称二次函数。
(2) 先将$y_1$化为顶点式，写出$y_1$的对称二次函数的展开式，再计算$y_1-y_2$的一般式，根据对应系数相等列方程求解$a、b、c$，得到$y_2$的解析式后化为顶点式，结合开口方向和对称轴，判断区间内的最大值点代入计算。
具体步骤：
∵$y_1=x^2-3x+1=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$，$y_2=ax^2+bx+c$，
∴$y_1-y_2=x^2-3x+1-(ax^2+bx+c)=(1-a)x^2-(3+b)x+1-c$。
又$y_1-y_2$与$y_1$互为“对称二次函数”，
∴$1-a=-1$，$-(3+b)=3$，$1-c=-\frac{7}{2}$，
∴$a=2$，$b=-6$，$c=\frac{9}{2}$，
∴$y_2=2x^2-6x+\frac{9}{2}=2(x-\frac{3}{2})^2$，
∴$y_2$的对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，开口向上，区间$[-3,3]$内$x=-3$离对称轴更远，
∴当$x=-3$时，$y_{2最大值}=2×(-3-\frac{3}{2})^2=\frac{81}{2}$。
【答案】
(1) $y=-2(x-2)^2+1$；(2) $y_2=2x^2-6x+\frac{9}{2}$，最大值为$\frac{81}{2}$
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的相关知识，解题核心是准确理解“对称二次函数”的定义，熟练掌握二次函数一般式与顶点式的互化，求解给定区间的最值时要注意结合开口方向和对称轴位置，判断最值的取值点。
【难度系数】
0.6
（1）首先明确“对称二次函数”的定义：顶点相同、开口大小相同、开口方向相反，对于顶点式的二次函数，仅需将二次项系数取相反数，其余部分保持不变即可得到对应的对称二次函数。
（2）解题思路分为三步：①先将$y_1$化为顶点式，得到$y_1$的顶点和二次项系数，进而写出$y_1$的“对称二次函数”表达式；②计算$y_1-y_2$的一般式，根据“对称二次函数”的定义，两个表达式对应系数相等，列方程求出$a、b、c$的值，得到$y_2$的解析式；③将$y_2$化为顶点式，结合开口方向和对称轴，判断在区间$[-3,3]$内离对称轴更远的端点即为取得最大值的位置，代入计算即可得到最大值。
【解析】
(1) 根据“对称二次函数”的定义，顶点相同、开口大小相同、开口方向相反，将原二次函数的二次项系数2改为-2，顶点部分不变，可得所求对称二次函数。
(2) 先将$y_1$化为顶点式，写出$y_1$的对称二次函数的展开式，再计算$y_1-y_2$的一般式，根据对应系数相等列方程求解$a、b、c$，得到$y_2$的解析式后化为顶点式，结合开口方向和对称轴，判断区间内的最大值点代入计算。
具体步骤：
∵$y_1=x^2-3x+1=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$，$y_2=ax^2+bx+c$，
∴$y_1-y_2=x^2-3x+1-(ax^2+bx+c)=(1-a)x^2-(3+b)x+1-c$。
又$y_1-y_2$与$y_1$互为“对称二次函数”，
∴$1-a=-1$，$-(3+b)=3$，$1-c=-\frac{7}{2}$，
∴$a=2$，$b=-6$，$c=\frac{9}{2}$，
∴$y_2=2x^2-6x+\frac{9}{2}=2(x-\frac{3}{2})^2$，
∴$y_2$的对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，开口向上，区间$[-3,3]$内$x=-3$离对称轴更远，
∴当$x=-3$时，$y_{2最大值}=2×(-3-\frac{3}{2})^2=\frac{81}{2}$。
【答案】
(1) $y=-2(x-2)^2+1$；(2) $y_2=2x^2-6x+\frac{9}{2}$，最大值为$\frac{81}{2}$
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的相关知识，解题核心是准确理解“对称二次函数”的定义，熟练掌握二次函数一般式与顶点式的互化，求解给定区间的最值时要注意结合开口方向和对称轴位置，判断最值的取值点。
【难度系数】
0.6
