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1.如图，点A为角α(α≠45°)边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是 （
A.$\frac{CD}{BC}$
B.$\frac{AC}{AB}$
C.$\frac{AD}{AC}$
D.$\frac{BD}{BC}$
D
）A.$\frac{CD}{BC}$
B.$\frac{AC}{AB}$
C.$\frac{AD}{AC}$
D.$\frac{BD}{BC}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个选项表示$\sinα$错误，首先明确正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。本题中$α$是$∠ B$，先根据垂直关系找到和$∠ B$相等的角，再逐一分析每个选项的比值是否符合$\sinα$的定义即可。
【解析】
$\because AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ACB=∠ CDB=∠ CDA=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=α$，根据正弦定义可得$\sinα=\frac{AC}{AB}$，故B选项正确，不符合题意；
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ B=α$，根据正弦定义可得$\sinα=\frac{CD}{BC}$，故A选项正确，不符合题意；
$\because ∠ B+∠ BCD=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B=α$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}$，即$\sinα=\frac{AD}{AC}$，故C选项正确，不符合题意；
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\cosα=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{BD}{BC}$是$\cosα$的值，不是$\sinα$的值，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
锐角正弦的定义；同角的余角相等；等角的三角函数值相等
【点评】
本题解题的关键是熟练掌握锐角正弦的定义，同时利用同角的余角相等找到与$α$相等的角，再逐一验证选项，注意区分锐角的正弦（对边比斜边）和余弦（邻边比斜边）的表达式，避免混淆。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项表示$\sinα$错误，首先明确正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。本题中$α$是$∠ B$，先根据垂直关系找到和$∠ B$相等的角，再逐一分析每个选项的比值是否符合$\sinα$的定义即可。
【解析】
$\because AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ACB=∠ CDB=∠ CDA=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=α$，根据正弦定义可得$\sinα=\frac{AC}{AB}$，故B选项正确，不符合题意；
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ B=α$，根据正弦定义可得$\sinα=\frac{CD}{BC}$，故A选项正确，不符合题意；
$\because ∠ B+∠ BCD=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B=α$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}$，即$\sinα=\frac{AD}{AC}$，故C选项正确，不符合题意；
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\cosα=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{BD}{BC}$是$\cosα$的值，不是$\sinα$的值，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
锐角正弦的定义；同角的余角相等；等角的三角函数值相等
【点评】
本题解题的关键是熟练掌握锐角正弦的定义，同时利用同角的余角相等找到与$α$相等的角，再逐一验证选项，注意区分锐角的正弦（对边比斜边）和余弦（邻边比斜边）的表达式，避免混淆。
【难度系数】
0.7
2. 在平面直角坐标系内有一点$P(3,1)$，则射线$OP$与$x$轴正半轴夹角的余弦值是
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
。答案
2.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
解析
【分析】
要求射线OP与x轴正半轴夹角的余弦值，可先构造含该夹角的直角三角形：过点P向x轴作垂线，得到以所求夹角为锐角的直角三角形；再根据点P的坐标得到直角三角形两条直角边的长度，结合勾股定理求出斜边OP的长度；最后根据锐角余弦的定义（锐角的余弦等于邻边与斜边的比值），代入数值计算即可得到结果。
【解析】
过点P作$PA ⊥ x$轴于点A，
∵点P的坐标为$(3,1)$，
∴$OA=3$，$PA=1$。
在$Rt△ POA$中，由勾股定理可得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
根据锐角余弦的定义，射线OP与x轴正半轴的夹角$∠ POA$的余弦值为：
$\cos∠ POA=\frac{OA}{OP}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
锐角余弦的定义；勾股定理；平面直角坐标系的坐标特征
【点评】
本题是基础计算题，结合平面直角坐标系考查锐角三角函数的应用，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，结合坐标和勾股定理得到对应边长后，代入余弦定义即可求解。
【难度系数】
0.8
要求射线OP与x轴正半轴夹角的余弦值，可先构造含该夹角的直角三角形：过点P向x轴作垂线，得到以所求夹角为锐角的直角三角形；再根据点P的坐标得到直角三角形两条直角边的长度，结合勾股定理求出斜边OP的长度；最后根据锐角余弦的定义（锐角的余弦等于邻边与斜边的比值），代入数值计算即可得到结果。
【解析】
过点P作$PA ⊥ x$轴于点A，
∵点P的坐标为$(3,1)$，
∴$OA=3$，$PA=1$。
在$Rt△ POA$中，由勾股定理可得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
根据锐角余弦的定义，射线OP与x轴正半轴的夹角$∠ POA$的余弦值为：
$\cos∠ POA=\frac{OA}{OP}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
锐角余弦的定义；勾股定理；平面直角坐标系的坐标特征
【点评】
本题是基础计算题，结合平面直角坐标系考查锐角三角函数的应用，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，结合坐标和勾股定理得到对应边长后，代入余弦定义即可求解。
【难度系数】
0.8
3. 在$Rt△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$\cos A=\dfrac{12}{13}$，$AC=24$，则$AB$的长为
26
。答案
3.26
解析
【分析】
本题是直角三角形中利用锐角余弦求边长的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角余弦的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；接着对应Rt△ABC中∠A的邻边和斜边，∠C为直角，所以∠A的邻边是AC，斜边是AB，因此cosA=AC/AB；最后将已知的cosA和AC的数值代入公式，即可求出AB的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
已知$\cos A=\frac{12}{13}$，$AC=24$，代入上式得：
$\frac{12}{13}=\frac{24}{AB}$
解得：$AB=\frac{24×13}{12}=26$
【答案】
26
【知识点】
1. 余弦的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角余弦定义的理解和应用，只要能准确对应直角三角形中锐角的邻边、斜边，代入数值计算即可得出结果，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形中利用锐角余弦求边长的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角余弦的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；接着对应Rt△ABC中∠A的邻边和斜边，∠C为直角，所以∠A的邻边是AC，斜边是AB，因此cosA=AC/AB；最后将已知的cosA和AC的数值代入公式，即可求出AB的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
已知$\cos A=\frac{12}{13}$，$AC=24$，代入上式得：
$\frac{12}{13}=\frac{24}{AB}$
解得：$AB=\frac{24×13}{12}=26$
【答案】
26
【知识点】
1. 余弦的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角余弦定义的理解和应用，只要能准确对应直角三角形中锐角的邻边、斜边，代入数值计算即可得出结果，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
4. 如图，在$6×6$的正方形网格中，$△ ABC$的顶点都在小正方形的顶点上，则$\sin∠ BAC$的值是（
A.$1$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{3}{5}$
D
）A.$1$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{3}{5}$
答案
4.D
解析
【分析】
要求$\sin∠ BAC$的值，需先将$∠ BAC$置于直角三角形中，结合锐角正弦的定义（锐角的正弦等于其对边与斜边的比值）求解。我们可以先设每个小正方形边长为1，过点B作AC所在直线的垂线，构造出包含$∠ BAC$的直角三角形，再通过网格得到直角边的长度，用勾股定理求出斜边长度，最后代入正弦定义计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点B作$BD⊥ AC$，交AC的延长线于点D。
由网格特征可得：$BD=3$，$AD=4$，
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理计算斜边AB的长度：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
根据锐角正弦的定义，$\sin∠ BAC=\frac{∠ BAC的对边}{斜边}=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角正弦的定义，勾股定理
【点评】
本题是网格背景下的锐角三角函数计算问题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，结合网格特征快速得到线段长度，再结合相关定义和定理求解，掌握网格中线段长度的计算方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
要求$\sin∠ BAC$的值，需先将$∠ BAC$置于直角三角形中，结合锐角正弦的定义（锐角的正弦等于其对边与斜边的比值）求解。我们可以先设每个小正方形边长为1，过点B作AC所在直线的垂线，构造出包含$∠ BAC$的直角三角形，再通过网格得到直角边的长度，用勾股定理求出斜边长度，最后代入正弦定义计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点B作$BD⊥ AC$，交AC的延长线于点D。
由网格特征可得：$BD=3$，$AD=4$，
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理计算斜边AB的长度：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
根据锐角正弦的定义，$\sin∠ BAC=\frac{∠ BAC的对边}{斜边}=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角正弦的定义，勾股定理
【点评】
本题是网格背景下的锐角三角函数计算问题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，结合网格特征快速得到线段长度，再结合相关定义和定理求解，掌握网格中线段长度的计算方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在四边形$OABC$中,$∠ A=∠ OBC=90°$,若$AB=BC=1$,$∠ AOB=α$,则$OC^2$的值为(
A.$\frac{1}{\sin^2α}+1$
B.$\sin^2α+1$
C.$\frac{1}{\cos^2α}+1$
D.$\cos^2α+1$
A
)A.$\frac{1}{\sin^2α}+1$
B.$\sin^2α+1$
C.$\frac{1}{\cos^2α}+1$
D.$\cos^2α+1$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时我们分两步推导：第一步先处理Rt△OAB，根据锐角正弦的定义，结合已知的∠AOB=α、AB=1，求出OB的长度；第二步再处理Rt△OBC，利用勾股定理，将OB、BC的长度代入，即可求出OC²的表达式。首先要明确：在直角三角形中，锐角的正弦是其对边与斜边的比值；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ A=90°$，$AB=1$，$∠ AOB=α$
根据正弦的定义可得：$\sinα=\frac{AB}{OB}$
代入AB=1，解得：$OB=\frac{AB}{\sinα}=\frac{1}{\sinα}$
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$∠ OBC=90°$，$BC=1$
根据勾股定理可得：$OC^2=OB^2+BC^2$
将$OB=\frac{1}{\sinα}$、$BC=1$代入上式：
$OC^2=(\frac{1}{\sinα})^2+1^2=\frac{1}{\sin^2α}+1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题的核心是准确对应直角三角形中边、角的关系，分别运用三角函数定义和勾股定理计算即可，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时我们分两步推导：第一步先处理Rt△OAB，根据锐角正弦的定义，结合已知的∠AOB=α、AB=1，求出OB的长度；第二步再处理Rt△OBC，利用勾股定理，将OB、BC的长度代入，即可求出OC²的表达式。首先要明确：在直角三角形中，锐角的正弦是其对边与斜边的比值；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ A=90°$，$AB=1$，$∠ AOB=α$
根据正弦的定义可得：$\sinα=\frac{AB}{OB}$
代入AB=1，解得：$OB=\frac{AB}{\sinα}=\frac{1}{\sinα}$
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$∠ OBC=90°$，$BC=1$
根据勾股定理可得：$OC^2=OB^2+BC^2$
将$OB=\frac{1}{\sinα}$、$BC=1$代入上式：
$OC^2=(\frac{1}{\sinα})^2+1^2=\frac{1}{\sin^2α}+1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题的核心是准确对应直角三角形中边、角的关系，分别运用三角函数定义和勾股定理计算即可，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
6.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=3$，$BC=1$，$BD⊥ AC$于点$D$，则$\cos∠ DBC$的值为________.
答案
6.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
解析
【分析】
要求cos∠DBC的值，我们可以通过角的等量关系简化计算：首先由∠ABC=90°、BD⊥AC可得∠DBC和∠A都是∠C的余角，根据同角的余角相等可知∠DBC=∠A，因此只需计算cos∠A的值即可。接下来先利用勾股定理求出AB的长度，再结合余弦的定义计算cos∠A就能得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$\because BD⊥ AC$，$\therefore ∠ BDC=90°$，可得$∠ DBC+∠ C=90°$
又$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A+∠ C=90°$
$\therefore ∠ DBC=∠ A$（同角的余角相等）
根据余弦的定义，$\cos∠ A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\therefore \cos∠ DBC=\cos∠ A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【答案】
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
勾股定理；同角的余角相等；余弦的定义
【点评】
本题通过转化待求角的方式简化了计算，是锐角三角函数求值中的常用方法，解题时要注意观察图形中角的互余、相等关系，灵活选择更简便的计算路径。
【难度系数】
0.7
要求cos∠DBC的值，我们可以通过角的等量关系简化计算：首先由∠ABC=90°、BD⊥AC可得∠DBC和∠A都是∠C的余角，根据同角的余角相等可知∠DBC=∠A，因此只需计算cos∠A的值即可。接下来先利用勾股定理求出AB的长度，再结合余弦的定义计算cos∠A就能得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$\because BD⊥ AC$，$\therefore ∠ BDC=90°$，可得$∠ DBC+∠ C=90°$
又$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A+∠ C=90°$
$\therefore ∠ DBC=∠ A$（同角的余角相等）
根据余弦的定义，$\cos∠ A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\therefore \cos∠ DBC=\cos∠ A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【答案】
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
勾股定理；同角的余角相等；余弦的定义
【点评】
本题通过转化待求角的方式简化了计算，是锐角三角函数求值中的常用方法，解题时要注意观察图形中角的互余、相等关系，灵活选择更简便的计算路径。
【难度系数】
0.7
7如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，$E$为$AC$的中点，连接$DE$。若$AB=26$，$CD=6$，$\sin B=\dfrac{5}{13}$，则$DE$的长为
$\sqrt{34}$
。答案
7.$\sqrt{34}$
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，看到$AD⊥ BC$和$\sin B$的已知条件，先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中利用正弦的定义求出$AD$的长度；第二步，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，已知$AD$和$CD$的长度，用勾股定理求出斜边$AC$的长度；第三步，结合$E$是$AC$中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质，即可求出$DE$的长度。
【解析】
解：$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=26$，$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{5}{13}$，
$\therefore AD=AB×\sin B=26×\dfrac{5}{13}=10$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=10$，$CD=6$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{10^2+6^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$，
$\because E$是$AC$的中点，$∠ ADC=90°$，
$\therefore DE$是$\mathrm{Rt}△ ADC$斜边$AC$的中线，
$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{34}=\sqrt{34}$。
【答案】
$\sqrt{34}$
【知识点】
锐角正弦的定义、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础综合题，考查了锐角三角函数、勾股定理和直角三角形性质的应用，解题的关键是先求出$AD$这个中间量，再结合直角三角形斜边中线的性质计算，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：第一步，看到$AD⊥ BC$和$\sin B$的已知条件，先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中利用正弦的定义求出$AD$的长度；第二步，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，已知$AD$和$CD$的长度，用勾股定理求出斜边$AC$的长度；第三步，结合$E$是$AC$中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质，即可求出$DE$的长度。
【解析】
解：$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=26$，$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{5}{13}$，
$\therefore AD=AB×\sin B=26×\dfrac{5}{13}=10$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=10$，$CD=6$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{10^2+6^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$，
$\because E$是$AC$的中点，$∠ ADC=90°$，
$\therefore DE$是$\mathrm{Rt}△ ADC$斜边$AC$的中线，
$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{34}=\sqrt{34}$。
【答案】
$\sqrt{34}$
【知识点】
锐角正弦的定义、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础综合题，考查了锐角三角函数、勾股定理和直角三角形性质的应用，解题的关键是先求出$AD$这个中间量，再结合直角三角形斜边中线的性质计算，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=2$，$\sin A=\frac{1}{3}$，求$AC$、$AB$及$\sin B$的值. 
答案
8.解:在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠C=90°$,$BC=2$,$\sin A=\frac{1}{3}$,
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$,即$\frac{2}{AB}=\frac{1}{3}$,$\therefore AB=6$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$,
$\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$,即$\frac{2}{AB}=\frac{1}{3}$,$\therefore AB=6$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$,
$\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
解析
【分析】
这是直角三角形中结合锐角正弦求边长及另一锐角正弦值的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，已知∠A的正弦值和它的对边BC的长度，可先求出斜边AB的长度；再利用勾股定理，结合已知的直角边BC和求出的斜边AB，计算另一条直角边AC的长度；最后再次根据正弦的定义，找到∠B的对边为AC，用AC除以斜边AB即可得到sinB的值。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=2$，$\sin A=\frac{1}{3}$，
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，即$\frac{2}{AB}=\frac{1}{3}$，解得$AB=6$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
$\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
$AB=6$，$AC=4\sqrt{2}$，$\sin B=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
锐角正弦的定义，勾股定理
【点评】
本题是巩固锐角三角函数概念的典型基础题，解题核心是准确对应锐角与对边、斜边的关系，结合勾股定理计算即可，解题时要注意根式化简的正确性。
【难度系数】
0.8
这是直角三角形中结合锐角正弦求边长及另一锐角正弦值的基础题，解题思路如下：首先回忆锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，已知∠A的正弦值和它的对边BC的长度，可先求出斜边AB的长度；再利用勾股定理，结合已知的直角边BC和求出的斜边AB，计算另一条直角边AC的长度；最后再次根据正弦的定义，找到∠B的对边为AC，用AC除以斜边AB即可得到sinB的值。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=2$，$\sin A=\frac{1}{3}$，
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，即$\frac{2}{AB}=\frac{1}{3}$，解得$AB=6$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
$\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
$AB=6$，$AC=4\sqrt{2}$，$\sin B=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
锐角正弦的定义，勾股定理
【点评】
本题是巩固锐角三角函数概念的典型基础题，解题核心是准确对应锐角与对边、斜边的关系，结合勾股定理计算即可，解题时要注意根式化简的正确性。
【难度系数】
0.8
