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9. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,若 $2AB=AC$,求 $\cos C$ 的值.
答案
9.解:①当$AC$为直角边时,
$\because 2AB=AC$,$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5}AB$,
$\therefore \cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{2AB}{\sqrt{5}AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$;
②当$AC$为斜边时,
$\because 2AB=AC$,$\therefore BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{3}AB$,
$\therefore \cos C=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}AB}{2AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
综上,$\cos C$的值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\because 2AB=AC$,$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5}AB$,
$\therefore \cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{2AB}{\sqrt{5}AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$;
②当$AC$为斜边时,
$\because 2AB=AC$,$\therefore BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{3}AB$,
$\therefore \cos C=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}AB}{2AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
综上,$\cos C$的值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
题目未明确Rt△ABC的直角顶点，由2AB=AC可得AC＞AB，因此AB不可能为斜边，需分两种情况讨论：①AC为斜边；②AC为直角边。再分别结合勾股定理求出第三边长度，最后根据锐角余弦的定义（角的邻边与斜边的比值）计算cosC的值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当AC为直角边时，此时BC为斜边，
∵$2AB=AC$，
∴$AC=2AB$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{AB^2+(2AB)^2}=\sqrt{5}AB$，
根据余弦的定义，$\cos C=\frac{\mathrm{∠C的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{2AB}{\sqrt{5}AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②当AC为斜边时，
∵$2AB=AC$，
∴$AC=2AB$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(2AB)^2-AB^2}=\sqrt{3}AB$，
根据余弦的定义，$\cos C=\frac{\mathrm{∠C的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}AB}{2AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
综上，$\cos C$的值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确直角三角形未指明直角顶点时需分类讨论，注意结合边长大小排除不可能的情况，避免漏解，再结合勾股定理和锐角三角函数的定义计算即可。
【难度系数】
0.6
题目未明确Rt△ABC的直角顶点，由2AB=AC可得AC＞AB，因此AB不可能为斜边，需分两种情况讨论：①AC为斜边；②AC为直角边。再分别结合勾股定理求出第三边长度，最后根据锐角余弦的定义（角的邻边与斜边的比值）计算cosC的值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当AC为直角边时，此时BC为斜边，
∵$2AB=AC$，
∴$AC=2AB$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{AB^2+(2AB)^2}=\sqrt{5}AB$，
根据余弦的定义，$\cos C=\frac{\mathrm{∠C的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{2AB}{\sqrt{5}AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②当AC为斜边时，
∵$2AB=AC$，
∴$AC=2AB$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(2AB)^2-AB^2}=\sqrt{3}AB$，
根据余弦的定义，$\cos C=\frac{\mathrm{∠C的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}AB}{2AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
综上，$\cos C$的值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确直角三角形未指明直角顶点时需分类讨论，注意结合边长大小排除不可能的情况，避免漏解，再结合勾股定理和锐角三角函数的定义计算即可。
【难度系数】
0.6
10 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$是边$AB$的中点，$BE⊥ CD$交$CD$的延长线于点$E$.
已知$AC=15$，$\cos A=\dfrac{3}{5}$.
(1)求线段$CD$的长；
(2)求$\sin∠ DBE$的值.
已知$AC=15$，$\cos A=\dfrac{3}{5}$.
(1)求线段$CD$的长；
(2)求$\sin∠ DBE$的值.
答案
10.解:(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\because AC=15$,$\cos A=\frac{3}{5}$,
$\therefore \cos A=\frac{15}{AB}=\frac{3}{5}$,$\therefore AB=25$.
$\because △ ACB$为直角三角形,$D$是边$AB$的中点,
$\therefore CD=\frac{25}{2}$.
(2)由(1)知$AB=25$,
$\therefore BC=20$,$\therefore \cos∠ ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
$\because DC=DB$,$\therefore ∠ DCB=∠ ABC$,
$\therefore \cos∠ DCB=\cos∠ ABC=\frac{4}{5}$.
$\because BE⊥ CD$,$\therefore ∠ BEC=90°$,
$\therefore \cos∠ DCB=\frac{CE}{CB}=\frac{4}{5}$,即$\frac{CE}{20}=\frac{4}{5}$,
$\therefore CE=16$,$\therefore DE=CE-CD=16-\frac{25}{2}=\frac{7}{2}$,
$\therefore \sin∠ DBE=\frac{DE}{DB}=\frac{7}{25}$.
$\therefore \cos A=\frac{15}{AB}=\frac{3}{5}$,$\therefore AB=25$.
$\because △ ACB$为直角三角形,$D$是边$AB$的中点,
$\therefore CD=\frac{25}{2}$.
(2)由(1)知$AB=25$,
$\therefore BC=20$,$\therefore \cos∠ ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
$\because DC=DB$,$\therefore ∠ DCB=∠ ABC$,
$\therefore \cos∠ DCB=\cos∠ ABC=\frac{4}{5}$.
$\because BE⊥ CD$,$\therefore ∠ BEC=90°$,
$\therefore \cos∠ DCB=\frac{CE}{CB}=\frac{4}{5}$,即$\frac{CE}{20}=\frac{4}{5}$,
$\therefore CE=16$,$\therefore DE=CE-CD=16-\frac{25}{2}=\frac{7}{2}$,
$\therefore \sin∠ DBE=\frac{DE}{DB}=\frac{7}{25}$.
解析
【分析】
(1) 要求CD的长，首先观察到CD是Rt△ABC斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，只需先求出AB的长度即可。已知Rt△ABC中AC=15，$\cos A=\frac{3}{5}$，根据余弦的定义$\cos A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，代入数值即可算出AB，进而得到CD的长。
(2) 要求$\sin∠DBE$的值，$\sin∠DBE$是Rt△BED中∠DBE的对边DE与斜边DB的比值，因此需要求出DE和DB的长度。DB和CD相等（已在第一问求出），接下来求DE：首先由CD=DB可得∠DCB=∠ABC，先通过勾股定理算出BC的长，得到∠ABC的余弦值即∠DCB的余弦值，再在Rt△BEC中利用余弦定义求出CE的长，用CE减去CD即可得到DE，最后代入正弦定义就能算出结果。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\because AC=15$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\therefore \frac{15}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=25$。
$\because △ACB$为直角三角形，$D$是边$AB$的中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=\frac{25}{2}$。
(2) 由(1)知$AB=25$，根据勾股定理可得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20$，
$\therefore \cos∠ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
$\because DC=DB$，$\therefore ∠DCB=∠ABC$，
$\therefore \cos∠DCB=\cos∠ABC=\frac{4}{5}$。
$\because BE⊥CD$，$\therefore ∠BEC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BEC$中，$\cos∠DCB=\frac{CE}{CB}=\frac{4}{5}$，即$\frac{CE}{20}=\frac{4}{5}$，
解得$CE=16$，
$\therefore DE=CE-CD=16-\frac{25}{2}=\frac{7}{2}$，
又$\because DB=CD=\frac{25}{2}$，
$\therefore \sin∠DBE=\frac{DE}{DB}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{25}{2}}=\frac{7}{25}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{25}{2}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{7}{25}}$
【知识点】
锐角三角函数定义，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形等边对等角
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质与锐角三角函数的应用，解题的关键是灵活运用边角关系和直角三角形的特殊性质转化所求量，有助于巩固三角函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求CD的长，首先观察到CD是Rt△ABC斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，只需先求出AB的长度即可。已知Rt△ABC中AC=15，$\cos A=\frac{3}{5}$，根据余弦的定义$\cos A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，代入数值即可算出AB，进而得到CD的长。
(2) 要求$\sin∠DBE$的值，$\sin∠DBE$是Rt△BED中∠DBE的对边DE与斜边DB的比值，因此需要求出DE和DB的长度。DB和CD相等（已在第一问求出），接下来求DE：首先由CD=DB可得∠DCB=∠ABC，先通过勾股定理算出BC的长，得到∠ABC的余弦值即∠DCB的余弦值，再在Rt△BEC中利用余弦定义求出CE的长，用CE减去CD即可得到DE，最后代入正弦定义就能算出结果。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\because AC=15$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\therefore \frac{15}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=25$。
$\because △ACB$为直角三角形，$D$是边$AB$的中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=\frac{25}{2}$。
(2) 由(1)知$AB=25$，根据勾股定理可得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20$，
$\therefore \cos∠ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
$\because DC=DB$，$\therefore ∠DCB=∠ABC$，
$\therefore \cos∠DCB=\cos∠ABC=\frac{4}{5}$。
$\because BE⊥CD$，$\therefore ∠BEC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BEC$中，$\cos∠DCB=\frac{CE}{CB}=\frac{4}{5}$，即$\frac{CE}{20}=\frac{4}{5}$，
解得$CE=16$，
$\therefore DE=CE-CD=16-\frac{25}{2}=\frac{7}{2}$，
又$\because DB=CD=\frac{25}{2}$，
$\therefore \sin∠DBE=\frac{DE}{DB}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{25}{2}}=\frac{7}{25}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{25}{2}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{7}{25}}$
【知识点】
锐角三角函数定义，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形等边对等角
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质与锐角三角函数的应用，解题的关键是灵活运用边角关系和直角三角形的特殊性质转化所求量，有助于巩固三角函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
11 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$.
(1)求证：$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$；
(2)若$\sin B + \cos B = \frac{7}{5}$，求$\sin B · \cos B$的值.
(1)求证：$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$；
(2)若$\sin B + \cos B = \frac{7}{5}$，求$\sin B · \cos B$的值.
答案
11.(1)证明:$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠ C=90°$,
$\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}$,$\cos B=\frac{BC}{AB}$,$AB^2=AC^2+BC^2$,
$\therefore \sin^2 B + \cos^2 B = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2+BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2}=1$.
(2)解:$\because \sin B + \cos B = \frac{7}{5}$,
$\therefore (\sin B + \cos B)^2 = (\frac{7}{5})^2$,
$\therefore \sin^2 B + \cos^2 B + 2\sin B · \cos B = \frac{49}{25}$.
$\because \sin^2 B + \cos^2 B = 1$,
$\therefore 1 + 2\sin B · \cos B = \frac{49}{25}$,$\therefore \sin B · \cos B = \frac{12}{25}$.
$\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}$,$\cos B=\frac{BC}{AB}$,$AB^2=AC^2+BC^2$,
$\therefore \sin^2 B + \cos^2 B = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2+BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2}=1$.
(2)解:$\because \sin B + \cos B = \frac{7}{5}$,
$\therefore (\sin B + \cos B)^2 = (\frac{7}{5})^2$,
$\therefore \sin^2 B + \cos^2 B + 2\sin B · \cos B = \frac{49}{25}$.
$\because \sin^2 B + \cos^2 B = 1$,
$\therefore 1 + 2\sin B · \cos B = \frac{49}{25}$,$\therefore \sin B · \cos B = \frac{12}{25}$.
解析
【分析】
(1)要证明$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，首先结合直角三角形中锐角三角函数的定义，用三角形的边长分别表示出$\sin B$和$\cos B$，再将两者平方相加，结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$化简即可得证。
(2)已知$\sin B + \cos B$的值，要求$\sin B · \cos B$，可以利用完全平方公式，将等式两边同时平方，展开后代入第(1)问得到的$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$的结论，即可求出乘积的值。
【解析】
(1)证明：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ 根据锐角三角函数的定义可得：$\sin B=\frac{AC}{AB}$，$\cos B=\frac{BC}{AB}$，
根据勾股定理可得：$AB^2=AC^2+BC^2$，
∴ $\sin^2 B + \cos^2 B = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2+BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2}=1$，原式得证。
(2)解：
∵ $\sin B + \cos B = \frac{7}{5}$，
将等式两边同时平方，得：$(\sin B + \cos B)^2 = (\frac{7}{5})^2$，
根据完全平方公式展开得：$\sin^2 B + 2\sin B · \cos B + \cos^2 B = \frac{49}{25}$，
由(1)可知$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，代入上式得：
$1 + 2\sin B · \cos B = \frac{49}{25}$，
移项计算得：$2\sin B · \cos B = \frac{49}{25} - 1 = \frac{24}{25}$，
∴ $\sin B · \cos B = \frac{12}{25}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\frac{12}{25}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题考查锐角三角函数与代数公式的综合应用，第一问是同角三角函数基本关系的推导，核心是结合三角函数定义和勾股定理化简；第二问是常见的已知三角函数和求乘积的题型，熟练运用完全平方公式做变形是解题关键，整体属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.75
(1)要证明$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，首先结合直角三角形中锐角三角函数的定义，用三角形的边长分别表示出$\sin B$和$\cos B$，再将两者平方相加，结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$化简即可得证。
(2)已知$\sin B + \cos B$的值，要求$\sin B · \cos B$，可以利用完全平方公式，将等式两边同时平方，展开后代入第(1)问得到的$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$的结论，即可求出乘积的值。
【解析】
(1)证明：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ 根据锐角三角函数的定义可得：$\sin B=\frac{AC}{AB}$，$\cos B=\frac{BC}{AB}$，
根据勾股定理可得：$AB^2=AC^2+BC^2$，
∴ $\sin^2 B + \cos^2 B = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2+BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2}=1$，原式得证。
(2)解：
∵ $\sin B + \cos B = \frac{7}{5}$，
将等式两边同时平方，得：$(\sin B + \cos B)^2 = (\frac{7}{5})^2$，
根据完全平方公式展开得：$\sin^2 B + 2\sin B · \cos B + \cos^2 B = \frac{49}{25}$，
由(1)可知$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，代入上式得：
$1 + 2\sin B · \cos B = \frac{49}{25}$，
移项计算得：$2\sin B · \cos B = \frac{49}{25} - 1 = \frac{24}{25}$，
∴ $\sin B · \cos B = \frac{12}{25}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\frac{12}{25}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题考查锐角三角函数与代数公式的综合应用，第一问是同角三角函数基本关系的推导，核心是结合三角函数定义和勾股定理化简；第二问是常见的已知三角函数和求乘积的题型，熟练运用完全平方公式做变形是解题关键，整体属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.75
