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9. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$BC=3$，那么$AC=\_\_\_\_\_\_$，$AB=\_\_\_\_\_\_$，$S_{△ ABC}=\_\_\_\_\_\_$。
答案
9. $\sqrt{3}$；$2\sqrt{3}$；$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
本题是特殊直角三角形的边角计算问题，解题思路如下：首先根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，再利用特殊角的三角函数值，结合已知边BC的长度，先通过∠A的正切值求出邻边AC的长度，再通过∠A的正弦值或者勾股定理求出斜边AB的长度，最后根据直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=30°$，
1. 求$AC$的长度：
根据正切的定义，$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BC}{AC}$，
已知$\tan60°=\sqrt{3}$，$BC=3$，代入得：
$\sqrt{3}=\frac{3}{AC}$，
解得$AC=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。
2. 求$AB$的长度：
根据勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入$AC=\sqrt{3}$，$BC=3$得：
$AB^2=(\sqrt{3})^2+3^2=3+9=12$，
$\therefore AB=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）。
3. 求$S_{△ ABC}$：
直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×\mathrm{两直角边的乘积}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}$；$2\sqrt{3}$；$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查特殊直角三角形的边角关系应用，熟练掌握30°、60°等特殊角的三角函数值，结合三角函数定义或勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是特殊直角三角形的边角计算问题，解题思路如下：首先根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，再利用特殊角的三角函数值，结合已知边BC的长度，先通过∠A的正切值求出邻边AC的长度，再通过∠A的正弦值或者勾股定理求出斜边AB的长度，最后根据直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=30°$，
1. 求$AC$的长度：
根据正切的定义，$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BC}{AC}$，
已知$\tan60°=\sqrt{3}$，$BC=3$，代入得：
$\sqrt{3}=\frac{3}{AC}$，
解得$AC=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。
2. 求$AB$的长度：
根据勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入$AC=\sqrt{3}$，$BC=3$得：
$AB^2=(\sqrt{3})^2+3^2=3+9=12$，
$\therefore AB=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）。
3. 求$S_{△ ABC}$：
直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×\mathrm{两直角边的乘积}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}$；$2\sqrt{3}$；$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查特殊直角三角形的边角关系应用，熟练掌握30°、60°等特殊角的三角函数值，结合三角函数定义或勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. 用含特殊锐角(30°、45°、60°)的正弦、余弦与正切的表达式填空：
(1) $\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2}\sin45°=$.
(2) $\frac{\sqrt{3}}{3}=\_\_\_\_\_\_=$.
(3) $\sqrt{3}+\sqrt{2}=\_\_\_\_\_\_=$.
(1) $\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2}\sin45°=$.
(2) $\frac{\sqrt{3}}{3}=\_\_\_\_\_\_=$.
(3) $\sqrt{3}+\sqrt{2}=\_\_\_\_\_\_=$.
答案
10. (1) $\dfrac{\tan 45° · \cos 45°}{2}$. (2) $\tan 30°$；$\dfrac{1}{3}\tan 60°$. (3) $\tan 60°+2\cos 45°$；$\dfrac{1}{\tan 60°-2\sin 45°}$.(答案不唯一)
解析
【分析】
解题前首先要熟记30°、45°、60°三个特殊锐角的正弦、余弦、正切的固定值，再将目标表达式通过拆分、恒等变形，转化为特殊角三角函数的和、差、积、商的组合形式，构造完成后代入三角函数值验证是否与原式相等即可，本题答案不唯一，符合要求即可。
【解析】
首先明确特殊锐角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$；
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
(1) 对$\frac{\sqrt{2}}{4}$变形：$\tan45°·\cos45°=1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，再除以2可得$\frac{\sqrt{2}}{4}$，因此可填$\frac{\tan 45° · \cos 45°}{2}$。
(2) 首先$\frac{\sqrt{3}}{3}$本身就是$\tan30°$的取值，因此第一个空填$\tan30°$；再变形：$\frac{1}{3}\tan60°=\frac{1}{3}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此第二个空可填$\frac{1}{3}\tan60°$。
(3) 拆分$\sqrt{3}+\sqrt{2}$：$\sqrt{3}=\tan60°$，$\sqrt{2}=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\cos45°$，因此第一个空填$\tan 60°+2\cos 45°$；再变形：先计算分母$\tan60°-2\sin45°=\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，对$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$分母有理化可得$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，因此第二个空可填$\frac{1}{\tan 60°-2\sin 45°}$。
【答案】
(1) $\dfrac{\tan 45° · \cos 45°}{2}$；(2) $\tan 30°$；$\dfrac{1}{3}\tan 60°$；(3) $\tan 60°+2\cos 45°$；$\dfrac{1}{\tan 60°-2\sin 45°}$（答案不唯一）
【知识点】
特殊角的三角函数值；代数式恒等变形；二次根式化简
【点评】
本题侧重考查对特殊锐角三角函数值的熟练掌握能力，需要结合代数式变形的方法灵活构造符合要求的表达式，答案不唯一，只要数值匹配即可，熟记特殊角的三角函数值是快速解题的核心。
【难度系数】
0.65
解题前首先要熟记30°、45°、60°三个特殊锐角的正弦、余弦、正切的固定值，再将目标表达式通过拆分、恒等变形，转化为特殊角三角函数的和、差、积、商的组合形式，构造完成后代入三角函数值验证是否与原式相等即可，本题答案不唯一，符合要求即可。
【解析】
首先明确特殊锐角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$；
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
(1) 对$\frac{\sqrt{2}}{4}$变形：$\tan45°·\cos45°=1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，再除以2可得$\frac{\sqrt{2}}{4}$，因此可填$\frac{\tan 45° · \cos 45°}{2}$。
(2) 首先$\frac{\sqrt{3}}{3}$本身就是$\tan30°$的取值，因此第一个空填$\tan30°$；再变形：$\frac{1}{3}\tan60°=\frac{1}{3}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此第二个空可填$\frac{1}{3}\tan60°$。
(3) 拆分$\sqrt{3}+\sqrt{2}$：$\sqrt{3}=\tan60°$，$\sqrt{2}=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\cos45°$，因此第一个空填$\tan 60°+2\cos 45°$；再变形：先计算分母$\tan60°-2\sin45°=\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，对$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$分母有理化可得$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，因此第二个空可填$\frac{1}{\tan 60°-2\sin 45°}$。
【答案】
(1) $\dfrac{\tan 45° · \cos 45°}{2}$；(2) $\tan 30°$；$\dfrac{1}{3}\tan 60°$；(3) $\tan 60°+2\cos 45°$；$\dfrac{1}{\tan 60°-2\sin 45°}$（答案不唯一）
【知识点】
特殊角的三角函数值；代数式恒等变形；二次根式化简
【点评】
本题侧重考查对特殊锐角三角函数值的熟练掌握能力，需要结合代数式变形的方法灵活构造符合要求的表达式，答案不唯一，只要数值匹配即可，熟记特殊角的三角函数值是快速解题的核心。
【难度系数】
0.65
三、解答题
11. 计算：
(1) $|1 - \tan 60°| + 2\sin^2 45°$.
(2) $\frac{\cos 60°}{\sin 60° - \sin 45°}$.
(3) $\frac{\tan 45° - \tan 60°}{\cos 30° - \sin 30°} $
$ \sqrt{(\tan 30° - \cos 60°)^2}$.
11. 计算：
(1) $|1 - \tan 60°| + 2\sin^2 45°$.
(2) $\frac{\cos 60°}{\sin 60° - \sin 45°}$.
(3) $\frac{\tan 45° - \tan 60°}{\cos 30° - \sin 30°} $
$ \sqrt{(\tan 30° - \cos 60°)^2}$.答案
11. (1) $\sqrt{3}$. (2) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$. (3) $-\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
本题是特殊锐角三角函数值的混合运算题，解题思路如下：1. 先准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，代入原式；2. 按照运算优先级，先处理绝对值、乘方、二次根式（注意$\sqrt{a^2}=|a|$，需判断根号内式子的正负去绝对值）；3. 遇到分母含根式的要进行分母有理化，最后按照实数运算法则计算结果即可。
【解析】
(1) 代入特殊角三角函数值：$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\begin{aligned}原式&=|1-\sqrt{3}| + 2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2\\&=\sqrt{3}-1 + 2×\frac{1}{2}\\&=\sqrt{3}-1 +1\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 代入特殊角三角函数值：$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\begin{aligned}原式&=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\end{aligned}$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}\\&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}\\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{aligned}$
(3) 代入特殊角三角函数值：$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$
先计算第一个分式：
$\frac{\tan45°-\tan60°}{\cos30°-\sin30°}=\frac{1-\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}=\frac{2(1-\sqrt{3})}{\sqrt{3}-1}=-2$
再化简二次根式：
$\sqrt{(\tan30°-\cos60°)^2}=|\tan30°-\cos60°|$，$\because \frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577＞\frac{1}{2}$，$\therefore \sqrt{(\tan30°-\cos60°)^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}原式&=-2 - (\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2})\\&=-2 -\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}\\&=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$；(3) $-\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的性质；实数的混合运算
【点评】
本题核心是对特殊锐角三角函数值的熟练掌握，运算中要注意二次根式化简、绝对值去号的符号判断，遵守分母有理化的规则，仔细运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题是特殊锐角三角函数值的混合运算题，解题思路如下：1. 先准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，代入原式；2. 按照运算优先级，先处理绝对值、乘方、二次根式（注意$\sqrt{a^2}=|a|$，需判断根号内式子的正负去绝对值）；3. 遇到分母含根式的要进行分母有理化，最后按照实数运算法则计算结果即可。
【解析】
(1) 代入特殊角三角函数值：$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\begin{aligned}原式&=|1-\sqrt{3}| + 2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2\\&=\sqrt{3}-1 + 2×\frac{1}{2}\\&=\sqrt{3}-1 +1\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 代入特殊角三角函数值：$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\begin{aligned}原式&=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\end{aligned}$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}\\&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}\\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{aligned}$
(3) 代入特殊角三角函数值：$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$
先计算第一个分式：
$\frac{\tan45°-\tan60°}{\cos30°-\sin30°}=\frac{1-\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}=\frac{2(1-\sqrt{3})}{\sqrt{3}-1}=-2$
再化简二次根式：
$\sqrt{(\tan30°-\cos60°)^2}=|\tan30°-\cos60°|$，$\because \frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577＞\frac{1}{2}$，$\therefore \sqrt{(\tan30°-\cos60°)^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}原式&=-2 - (\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2})\\&=-2 -\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}\\&=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$；(3) $-\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的性质；实数的混合运算
【点评】
本题核心是对特殊锐角三角函数值的熟练掌握，运算中要注意二次根式化简、绝对值去号的符号判断，遵守分母有理化的规则，仔细运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=4$，$∠ A=30°$，$BD$是边$AC$上的高.
（1）求证：$∠ DBC=15°$.
（2）求$\tan ∠ DBC$的值.
（3）如果题中“$AB=AC=4$”的条件变成“$AB=AC=a$”，其他条件不变，(1)(2)中的结论是否仍然成立？为什么？
（1）求证：$∠ DBC=15°$.
（2）求$\tan ∠ DBC$的值.
（3）如果题中“$AB=AC=4$”的条件变成“$AB=AC=a$”，其他条件不变，(1)(2)中的结论是否仍然成立？为什么？
答案
12. (1) 略.
(2) $2-\sqrt{3}$. 提示：在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$BD=AB·\sin30°=2$，$AD=AB·\cos30°=2\sqrt{3}$. 在$\mathrm{Rt}△BDC$中，$\tan15°=\tan∠DBC=\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$.
(3) 仍然成立. 因为$∠DBC=\dfrac{180°-30°}{2}-(90°-30°)=15°$不变，而角的正切值只与这个角的大小有关，与题中$△ABC$的边长无关.
(2) $2-\sqrt{3}$. 提示：在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$BD=AB·\sin30°=2$，$AD=AB·\cos30°=2\sqrt{3}$. 在$\mathrm{Rt}△BDC$中，$\tan15°=\tan∠DBC=\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$.
(3) 仍然成立. 因为$∠DBC=\dfrac{180°-30°}{2}-(90°-30°)=15°$不变，而角的正切值只与这个角的大小有关，与题中$△ABC$的边长无关.
解析
【分析】
（1）要证明∠DBC=15°，首先利用等腰三角形“等边对等角”及三角形内角和，先求出底角∠C的度数，再结合BD是高可得△BDC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DBC的度数。
（2）求tan∠DBC的值，先在Rt△ABD中，利用30°角的三角函数值求出BD、AD的长度，再计算出CD的长度，最后在Rt△BDC中根据正切的定义（对边比邻边）代入计算即可。
（3）判断结论是否成立时，首先看∠DBC的推导过程，其度数仅和顶角∠A有关，和边长无关；而锐角的正切值只由角的大小决定，因此即使边长改变，两个结论都不变。
【解析】
（1）证明：
∵$AB=AC$，$∠ A=30°$，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
∵$BD$是$AC$边上的高，
∴$BD⊥ AC$，即$∠ BDC=90°$，
∴$∠ DBC + ∠ C = 90°$，
∴$∠ DBC=90°-∠ C=90°-75°=15°$，得证。
（2）解：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ A=30°$，$AB=4$，
∴$BD=AB·\sin30°=4×\frac{1}{2}=2$，
$AD=AB·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
∵$AC=4$，
∴$CD=AC-AD=4-2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，
$\tan∠ DBC=\frac{CD}{BD}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$。
（3）解：(1)(2)中的结论仍然成立，理由如下：
∵$AB=AC=a$，$∠ A=30°$，
∴$∠ C=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
同(1)的推导可得$∠ DBC=90°-75°=15°$，角度大小与$a$的取值无关；
又因为锐角的正切值只与角的大小有关，与三角形的边长无关，因此$\tan∠ DBC$的值始终为$2-\sqrt{3}$，故两个结论都成立。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $2-\sqrt{3}$；
(3) 仍然成立，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的性质
【点评】
本题综合考查了等腰三角形性质、直角三角形性质及锐角三角函数的应用，解题的关键是先利用等腰三角形性质求出底角的度数，再结合三角函数的定义计算，同时要理解锐角三角函数值仅与角度大小有关，与边的长度无关。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠DBC=15°，首先利用等腰三角形“等边对等角”及三角形内角和，先求出底角∠C的度数，再结合BD是高可得△BDC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DBC的度数。
（2）求tan∠DBC的值，先在Rt△ABD中，利用30°角的三角函数值求出BD、AD的长度，再计算出CD的长度，最后在Rt△BDC中根据正切的定义（对边比邻边）代入计算即可。
（3）判断结论是否成立时，首先看∠DBC的推导过程，其度数仅和顶角∠A有关，和边长无关；而锐角的正切值只由角的大小决定，因此即使边长改变，两个结论都不变。
【解析】
（1）证明：
∵$AB=AC$，$∠ A=30°$，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
∵$BD$是$AC$边上的高，
∴$BD⊥ AC$，即$∠ BDC=90°$，
∴$∠ DBC + ∠ C = 90°$，
∴$∠ DBC=90°-∠ C=90°-75°=15°$，得证。
（2）解：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ A=30°$，$AB=4$，
∴$BD=AB·\sin30°=4×\frac{1}{2}=2$，
$AD=AB·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
∵$AC=4$，
∴$CD=AC-AD=4-2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，
$\tan∠ DBC=\frac{CD}{BD}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$。
（3）解：(1)(2)中的结论仍然成立，理由如下：
∵$AB=AC=a$，$∠ A=30°$，
∴$∠ C=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
同(1)的推导可得$∠ DBC=90°-75°=15°$，角度大小与$a$的取值无关；
又因为锐角的正切值只与角的大小有关，与三角形的边长无关，因此$\tan∠ DBC$的值始终为$2-\sqrt{3}$，故两个结论都成立。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $2-\sqrt{3}$；
(3) 仍然成立，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的性质
【点评】
本题综合考查了等腰三角形性质、直角三角形性质及锐角三角函数的应用，解题的关键是先利用等腰三角形性质求出底角的度数，再结合三角函数的定义计算，同时要理解锐角三角函数值仅与角度大小有关，与边的长度无关。
【难度系数】
0.7
