1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$\tan B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，那么$\sin A=$（）

A.$30°$；
B.$60°$；
C.$\dfrac{1}{2}$；
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

1. D

【分析】
解题思路如下：首先，明确所求的$\sin A$是三角函数值，属于比值，因此可以直接排除表示角度的选项A、B。其次，根据特殊角的正切值，由$\tan B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$求出$∠ B$的度数；再利用直角三角形两锐角互余的性质求出$∠ A$的度数；最后根据特殊角的正弦值计算$\sin A$，匹配正确选项即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 初步排除错误选项：$\sin A$是锐角的正弦值，为数值，不是角度，因此直接排除A、B选项；
2. 求$∠ B$的度数：$\because \tan B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，且$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore ∠ B=30°$；
3. 求$∠ A$的度数：$\because$直角三角形两锐角互余，$\therefore ∠ A=90°-∠ B=90°-30°=60°$；
4. 计算$\sin A$：$\sin A=\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；直角三角形两锐角互余；正弦的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，同时要注意审题，明确三角函数值是比值而非角度，避免因粗心误选角度类选项。
【难度系数】
0.75

2. 在锐角三角形 $ ABC $ 中，$ ∠ B = ∠ A + 15° $。如果 $ \cos B = \frac{1}{2} $，那么 $ \tan A $ 的值为（）

A.$ \frac{1}{2} $;
B.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $;
C.$ 1 $;
D.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

2. C

【分析】
解题时先从已知的三角函数值入手，首先因为△ABC是锐角三角形，所以∠B是锐角，结合cosB=1/2，回忆特殊锐角的三角函数值可知，余弦值为1/2的锐角是60°，因此得到∠B的度数；接下来根据题目给出的∠B与∠A的数量关系，代入∠B的度数即可算出∠A的度数；最后回忆∠A对应的正切值，就能选出正确答案。
【解析】
解：
∵△ABC是锐角三角形，
∴∠B为锐角，
又
∵cosB=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=60°，
∵∠B=∠A+15°，
∴∠A=∠B-15°=60°-15°=45°，
∴tanA=tan45°=1。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值 2. 角度和差计算 3. 锐角三角形性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊锐角三角函数值的记忆与应用，解题关键是先根据已知的余弦值求出对应角的度数，再通过简单的角度计算得到所求角的度数后代入求值，是三角函数部分的常见考法。
【难度系数】
0.8

3. 已知△ABC是锐角三角形，如果AB＞AC，那么 （）

A.$\sin A ＜ \sin B$；
B.$\sin B ＜ \sin C$；
C.$\sin A ＜ \sin C$；
D.$\sin C ＜ \sin A$。

3. B

【分析】
解题时先利用三角形边角对应关系和“大边对大角”性质，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系；再结合锐角三角形中所有角均为0°~90°的锐角，利用锐角正弦值随角度增大而增大的规律，即可比较正弦值的大小，选出正确选项。
【解析】
在△ABC中：
1. 确定边与角的对应关系：AB的对边是∠C，AC的对边是∠B；
2. 根据三角形“大边对大角”的性质，已知AB＞AC，可得∠C＞∠B；
3. 因为△ABC是锐角三角形，所以∠B、∠C都属于0°~90°的锐角，而锐角的正弦值随角度的增大而增大，因此sinC＞sinB，即sinB＜sinC。
综上，选项B符合结论。
【答案】
B
【知识点】
三角形大边对大角；锐角正弦的增减性
【点评】
本题是三角形性质与锐角三角函数的基础综合题，解题核心是准确对应边和角的关系，再结合三角函数的增减性判断，易错点是混淆边对应的内角。
【难度系数】
0.7

二、填空题
4. 计算：$\sin 30°=$；$\cos 45°=$.

4. $\dfrac{1}{2}$；$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值，解题时可直接回忆已识记的30°、45°角的正弦、余弦值，若记忆模糊也可通过对应直角三角形的边角关系推导：①对于30°角，利用“直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半”，结合正弦是对边与斜边的比值推导；②对于45°角，利用等腰直角三角形的边长关系，结合余弦是邻边与斜边的比值推导即可。
【解析】
1. 计算$\sin 30°$：
在含30°角的直角三角形中，设30°角对的直角边长为$a$，则斜边长为$2a$，根据正弦的定义（锐角的正弦=对边/斜边），可得$\sin 30°=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$。
2. 计算$\cos 45°$：
在等腰直角三角形中，两个锐角均为45°，设直角边长为$b$，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{b^2+b^2}=\sqrt{2}b$，根据余弦的定义（锐角的余弦=邻边/斜边），可得$\cos 45°=\frac{b}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$；$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角三角函数值；正弦的定义；余弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°这几个常用特殊角的三角函数值是快速解题的关键，若出现记忆混淆，可通过构造对应直角三角形，结合三角函数定义推导得出正确结果。
【难度系数】
0.9

5. 计算：$\cos 30° · \tan 60° = \_\_\_\_\_\_$；$\frac{\cos 45°}{\tan 30° · \sin 60°} = \_\_\_\_\_\_$。

5. $\dfrac{3}{2}$；$\sqrt{2}$

【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值的应用，解题思路如下：第一步，准确回忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值；第二步，将对应三角函数值代入两个式子中，按照实数的乘除运算规则计算，分式运算时先算分母的乘法，再计算除法，最后约分化简得到结果。
【解析】
1. 计算$\cos 30° · \tan 60°$：
根据特殊角的三角函数值，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，代入得：
$\cos 30° · \tan 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}=\frac{3}{2}$。
2. 计算$\frac{\cos 45°}{\tan 30° · \sin 60°}$：
根据特殊角的三角函数值，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，先计算分母：
$\tan30°·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
再代入分式计算：
$\frac{\cos 45°}{\tan 30° · \sin 60°}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}×2=\sqrt{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$；$\sqrt{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对30°、45°、60°三个特殊锐角三角函数值的记忆，计算时注意运算顺序，避免因记错数值或运算失误丢分。
【难度系数】
0.8

6. 使用计算器求值：（结果保留四位小数）
(1) $\sin 40° \approx$ ；$\tan 55° \approx$ .
(2) $\cos 22° 30' \approx$ ；$\tan 67° 30' \approx$ .
(3) $\sin 36° 52' 12'' \approx$ ；$\cos 36° 52' 12'' \approx$ .
(4) $\dfrac{\cos 17° 45'}{\sin 17° 45'} \approx$ .

6. (1) 0.6428；1.4281. (2) 0.9239；2.4142. (3) 0.6000；0.8000. (4) 3.1240.

【分析】
解题前需先将计算器调整为角度（DEG）模式，避免弧度模式导致计算错误。解题思路如下：①对于纯度数的三角函数，直接输入度数后按对应三角函数键，再将结果四舍五入保留四位小数即可；②对于含度分秒的角度，可先将分、秒按1°=60′、1′=60″的进率转换为小数度数，也可直接用计算器的度分秒按键输入后计算；③第(4)题可直接分别计算分子、分母的三角函数值后相除，也可利用“cosA/sinA=1/tanA”简化计算，最终结果都要按要求保留四位小数。
【解析】
先将计算器调整为角度计算模式，所有结果四舍五入保留四位小数：
(1) 计算$\sin40°$：输入40后按sin键，得结果约为0.642787，保留四位小数为0.6428；计算$\tan55°$：输入55后按tan键，得结果约为1.428148，保留四位小数为1.4281。
(2) 先转换单位：$22°30'=22°+(\frac{30}{60})°=22.5°$，计算$\cos22.5°$得结果约为0.923880，保留四位小数为0.9239；$67°30'=67°+(\frac{30}{60})°=67.5°$，计算$\tan67.5°$得结果约为2.414214，保留四位小数为2.4142。
(3) 先转换单位：$12''=(\frac{12}{3600})°\approx0.0033°$，$52'=(\frac{52}{60})°\approx0.8667°$，因此$36°52'12''\approx36+0.8667+0.0033=36.87°$，计算$\sin36.87°$得结果约为0.6000，$\cos36.87°$得结果约为0.8000，均保留四位小数即可。
(4) 先转换单位：$17°45'=17°+(\frac{45}{60})°=17.75°$，计算得$\cos17.75°\approx0.952335$，$\sin17.75°\approx0.304867$，两数相除得$\frac{0.952335}{0.304867}\approx3.1240$，保留四位小数即可。
【答案】
(1) 0.6428；1.4281 (2) 0.9239；2.4142 (3) 0.6000；0.8000 (4) 3.1240
【知识点】
计算器求三角函数值，度分秒单位换算，近似数取值规则
【点评】
本题考查锐角三角函数值的计算器计算方法，核心是要注意计算器的模式选择，熟练掌握度分秒和小数度数的换算方法，取近似值时要严格遵循四舍五入规则，避免因操作细节失误丢分。
【难度系数】
0.8

7. 使用计算器求角的大小：(α、β、θ均为锐角，结果精确到1″)
(1) $\sinα=0.6$，则$α\approx$ .
(2) $\cosβ=0.6088$，则$β\approx$ .
(3) $\tanθ=10.08$，则$θ\approx$ .

7. (1) $36°52'12''$. (2) $52°29'50''$. (3) $84°20'4''$.

【分析】
已知锐角的三角函数值求角度，解题思路如下：①先使用计算器的反三角函数功能（反正弦arcsin、反余弦arccos、反正切arctan），计算得到以度为单位的小数形式的角度，因为所求角均为锐角，直接取反三角函数的第一象限结果即可；②根据1°=60'、1'=60"的60进制换算规则，将小数部分的度先换算成分，再将分的小数部分换算成秒，最后按要求四舍五入精确到1"。
【解析】
(1) 已知$\sinα=0.6$，α为锐角，用计算器计算得：
$α=\arcsin0.6≈36.8699°$
小数部分$0.8699°×60≈52.194'$，取整得52'；
剩余小数部分$0.194'×60≈12''$，
因此$α≈36°52'12''$。
(2) 已知$\cosβ=0.6088$，β为锐角，用计算器计算得：
$β=\arccos0.6088≈52.4972°$
小数部分$0.4972°×60≈29.832'$，取整得29'；
剩余小数部分$0.832'×60≈50''$，
因此$β≈52°29'50''$。
(3) 已知$\tanθ=10.08$，θ为锐角，用计算器计算得：
$θ=\arctan10.08≈84.3344°$
小数部分$0.3344°×60≈20.064'$，取整得20'；
剩余小数部分$0.064'×60≈4''$，
因此$θ≈84°20'4''$。
【答案】
(1) $36°52'12''$；(2) $52°29'50''$；(3) $84°20'4''$
【知识点】
已知三角函数值求锐角；度分秒换算；计算器操作
【点评】
本题属于基础操作类题型，核心是掌握计算器反三角函数功能的使用，以及度分秒60进制的换算规则，计算时注意换算过程中四舍五入的规范，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8

8. 如图，以点O为圆心、以任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心、以AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么$\cos∠ AOB$的值为。 (第8题)

8. $\dfrac{1}{2}$

【分析】
解题时先根据题目中的尺规作图步骤，分析所得线段的长度关系：第一步以O为圆心画弧，可得OA=OB；第二步以A为圆心、AO长为半径画弧得点B，可得AB=AO，由此可判断△AOB的形状，得到∠AOB的度数，最后代入特殊角的余弦值即可求解。
【解析】
由作图过程可知：
OA、OB是同圆的半径，故OA=OB；
又AB是以A为圆心、AO长为半径作的弧的半径，故AB=AO；
∴ OA=OB=AB，即△AOB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°，
∴ $\cos∠ AOB=\cos60°=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
尺规作图的认识；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题将尺规作图和三角函数计算结合考查，解题的关键是从作图步骤中提取出线段相等的关系，进而确定角的度数，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.7