13. 如图，已知$∠ AOB=90°$，点$P$在$∠ AOB$内，$PQ⊥ OA$，垂足为$Q$。
（1）分别用图中两条线段的比表示$∠ AOP$的正弦值、余弦值、正切值。
（2）求证：$\tan∠ AOP=\frac{\sin∠ AOP}{\cos∠ AOP}$。
（3）求证：$\tan∠ AOP·\tan∠ BOP=1$。

13. (1) $\sin ∠AOP=\dfrac{PQ}{OP}$，$\cos ∠AOP=\dfrac{OQ}{OP}$，$\tan ∠AOP=\dfrac{PQ}{OQ}$.
(2) 由(1)得，$\dfrac{\sin ∠AOP}{\cos ∠AOP}=\dfrac{\dfrac{PQ}{OP}}{\dfrac{OQ}{OP}}=\dfrac{PQ}{OQ}=\tan ∠AOP$.
(3) $\because\ ∠AOB=90°, PQ⊥OA,\therefore\ OB// PQ$.
$\therefore\ ∠BOP=∠OPQ$.
$\therefore\ \tan ∠BOP=\tan ∠OPQ=\dfrac{OQ}{PQ}$.
由(1)得，$\tan ∠AOP=\dfrac{PQ}{OQ}$.
$\therefore\ \tan ∠AOP · \tan ∠BOP=\dfrac{PQ}{OQ} · \dfrac{OQ}{PQ}=1$.

【分析】
解答本题需结合锐角三角函数定义与几何性质逐步推导：
1. 第(1)问：由$PQ⊥OA$可知$△ OPQ$是直角三角形，$∠ OQP=90°$，根据锐角三角函数的定义，分别找到$∠ AOP$的对边、邻边和斜边，即可写出对应三角函数的线段比值。
2. 第(2)问：将第(1)问得到的$\sin∠AOP$和$\cos∠AOP$的表达式代入$\frac{\sin∠AOP}{\cos∠AOP}$，化简后与$\tan∠AOP$的表达式对比，即可证明等式成立。
3. 第(3)问：先由$OB⊥OA$、$PQ⊥OA$判定$OB// PQ$，利用平行线内错角相等得到$∠ BOP=∠ OPQ$，再在$Rt△ OPQ$中写出$∠ OPQ$的正切值，与$\tan∠AOP$相乘约分即可得到乘积为1。
【解析】
(1) $\because PQ⊥ OA$，$\therefore ∠ OQP=90°$，在$Rt△ OPQ$中：
$\sin∠AOP=\frac{∠ AOP的对边}{斜边}=\frac{PQ}{OP}$，
$\cos∠AOP=\frac{∠ AOP的邻边}{斜边}=\frac{OQ}{OP}$，
$\tan∠AOP=\frac{∠ AOP的对边}{∠ AOP的邻边}=\frac{PQ}{OQ}$。
(2) 由(1)的结论可得：
$\frac{\sin∠AOP}{\cos∠AOP}=\frac{\frac{PQ}{OP}}{\frac{OQ}{OP}}=\frac{PQ}{OP}×\frac{OP}{OQ}=\frac{PQ}{OQ}$，
又$\tan∠AOP=\frac{PQ}{OQ}$，$\therefore \tan∠AOP=\frac{\sin∠AOP}{\cos∠AOP}$。
(3) $\because ∠ AOB=90°$，$\therefore OB⊥ OA$，
又$PQ⊥ OA$，$\therefore OB// PQ$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ BOP=∠ OPQ$（两直线平行，内错角相等），
在$Rt△ OPQ$中，$\tan∠OPQ=\frac{OQ}{PQ}$，即$\tan∠BOP=\frac{OQ}{PQ}$，
由(1)知$\tan∠AOP=\frac{PQ}{OQ}$，
$\therefore \tan∠AOP·\tan∠BOP=\frac{PQ}{OQ}×\frac{OQ}{PQ}=1$。
【答案】
(1) $\sin ∠AOP=\dfrac{PQ}{OP}$，$\cos ∠AOP=\dfrac{OQ}{OP}$，$\tan ∠AOP=\dfrac{PQ}{OQ}$
(2) 等式成立，证明见解析
(3) 等式成立，证明见解析
【知识点】
锐角三角函数定义；同角三角函数关系；平行线的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础习题，既考查了三角函数定义的直接应用，又推导了三角函数之间的内在联系，同时结合平行线性质完成角度转化，有助于夯实三角函数的基础认知。
【难度系数】
0.8

14 如图，在$△ ABC$中，已知点$D$、$E$在边$BC$上，且$BD=DE=EC$，$∠ DAE=90°$. 求$\tan∠ BAD·\tan∠ CAE$的值.
(第14题)

14. $\dfrac{1}{4}$. 提示：如图，延长 $AD$ 至点 $M$，使 $DM=AD$，延长 $AE$ 至点 $N$，使 $EN=AE$，连接 $BM$、$CN$. 由于$△ ADE ≌ △ MDB ≌ △ NCE$，因此 $\tan ∠BAD · \tan ∠CAE = \dfrac{BM}{AM} · \dfrac{CN}{AN}=\dfrac{AE}{2AD} · \dfrac{AD}{2AE}=\dfrac{1}{4}$.

【分析】
要求$\tan∠ BAD·\tan∠ CAE$的值，首先根据正切的定义，锐角的正切是直角三角形中该角的对边与邻边的比值，因此需要将∠ BAD、∠ CAE放到直角三角形中求解。观察到D、E是BC的三等分点，BD=DE=EC，可采用倍长中线的方法构造全等三角形：延长AD到M使DM=AD，延长AE到N使EN=AE，利用SAS证明三角形全等，完成边和角的转化，进而表示出两个角的正切值，计算乘积即可。【解析】解：如图，延长 AD 至点 M，使 DM=AD，延长 AE 至点 N，使 EN=AE，连接 BM、CN。1. 证明△ ADE ≌ △ MDB：在△ ADE和△ MDB中：$\begin{cases}$
AD=MD \\
∠ ADE=∠ MDB \\
DE=DB
$\end{cases}$
∴△ ADE ≌ △ MDB（SAS）可得∠ M=∠ DAE=90°，BM=AE，且AM=AD+DM=2AD，因此在Rt△ ABM中，$\tan∠ BAD=\frac{BM}{AM}=\frac{AE}{2AD}$。2. 证明△ ADE ≌ △ NCE：在△ ADE和△ NCE中：$\begin{cases}$
AE=NE \\
∠ AED=∠ NEC \\
DE=CE
$\end{cases}$
∴△ ADE ≌ △ NCE（SAS）可得∠ N=∠ DAE=90°，CN=AD，且AN=AE+EN=2AE，因此在Rt△ ACN中，$\tan∠ CAE=\frac{CN}{AN}=\frac{AD}{2AE}$。3. 计算乘积：$\tan∠ BAD·\tan∠ CAE=\frac{AE}{2AD}·\frac{AD}{2AE}=\frac{1}{4}$。【答案$】\dfrac{1}{4}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，锐角正切的定义，倍长中线构造全等
【点评】
本题通过倍长中线的方法构造全等三角形，将不在直角三角形中的内角转化到直角三角形中，结合正切定义表示出所求正切值后，通过代数运算约去公共项得到结果，解题核心是结合线段等分点的特征合理构造辅助线，完成边角关系的转化。
【难度系数】
0.5