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三、解答题
11. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$BC=4$，$\sin B=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$。
（1）求$AB$的长。
（2）求$\tan C$的值。
11. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$BC=4$，$\sin B=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$。
（1）求$AB$的长。
（2）求$\tan C$的值。
答案
11. (1) 3. (2) $\dfrac{3\sqrt{7}}{7}$.
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的应用类题目，解题思路如下：首先根据正弦函数的定义，结合已知的$\sin B$和斜边$BC$的长度，先求出$AC$的长；再利用勾股定理，代入$AC$和$BC$的数值即可求出$AB$的长度，解决第（1）问；最后根据正切函数的定义，将已求出的$AB$、$AC$的长度代入，计算得到$\tan C$的值，解决第（2）问。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，根据正弦的定义：
$\sin B=\dfrac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{AC}{BC}$
已知$BC=4$，$\sin B=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$，代入得：
$AC=BC·\sin B=4×\dfrac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{7}$
再根据勾股定理$AB^2+AC^2=BC^2$，得：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{7})^2}=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3$
（2）根据正切的定义，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：
$\tan C=\dfrac{∠ C\mathrm{的对边}}{∠ C\mathrm{的邻边}}=\dfrac{AB}{AC}$
将$AB=3$，$AC=\sqrt{7}$代入，分母有理化后得：
$\tan C=\dfrac{3}{\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{7}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{3}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{7}}{7}}$
【知识点】
正弦的定义、勾股定理、正切的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数的基本概念和勾股定理的应用，解题的关键是准确区分各三角函数对应的对边、邻边和斜边，计算结果注意化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中锐角三角函数的应用类题目，解题思路如下：首先根据正弦函数的定义，结合已知的$\sin B$和斜边$BC$的长度，先求出$AC$的长；再利用勾股定理，代入$AC$和$BC$的数值即可求出$AB$的长度，解决第（1）问；最后根据正切函数的定义，将已求出的$AB$、$AC$的长度代入，计算得到$\tan C$的值，解决第（2）问。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，根据正弦的定义：
$\sin B=\dfrac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{AC}{BC}$
已知$BC=4$，$\sin B=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$，代入得：
$AC=BC·\sin B=4×\dfrac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{7}$
再根据勾股定理$AB^2+AC^2=BC^2$，得：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{7})^2}=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3$
（2）根据正切的定义，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：
$\tan C=\dfrac{∠ C\mathrm{的对边}}{∠ C\mathrm{的邻边}}=\dfrac{AB}{AC}$
将$AB=3$，$AC=\sqrt{7}$代入，分母有理化后得：
$\tan C=\dfrac{3}{\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{7}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{3}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{7}}{7}}$
【知识点】
正弦的定义、勾股定理、正切的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数的基本概念和勾股定理的应用，解题的关键是准确区分各三角函数对应的对边、邻边和斜边，计算结果注意化为最简形式。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，DE⊥AC，垂足为E. 求tan∠ADE、tan∠EDC的值.
答案
12. $\tan ∠ADE=\dfrac{5}{3}$，$\tan ∠EDC=\dfrac{3}{5}$. 提示：$∠ADE=∠BAC$，$∠EDC=∠ACB$.
解析
【分析】
解题时首先从矩形的性质和垂直的条件入手，观察待求正切值的角的位置：1. 先找和∠ADE互余的角，发现∠ADE与∠DAE互余，∠BAC也和∠DAE互余，根据同角的余角相等可得∠ADE=∠BAC，就可以把求tan∠ADE转化为求Rt△ABC中∠BAC的正切；2. 同理，∠EDC与∠DCE互余，∠ACB也和∠DCE互余，可得∠EDC=∠ACB，转化为求∠ACB的正切，直接利用矩形已知边长计算即可，无需额外求线段长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°，AB=6，BC=10，AD//BC。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED=∠DEC=90°。
① 求$\tan∠ ADE$：
在Rt△ADE中，$∠ ADE + ∠ DAE = 90°$，
又
∵ $∠ BAC + ∠ DAE = ∠ BAD = 90°$，
∴ $∠ ADE = ∠ BAC$（同角的余角相等）。
在Rt△ABC中，$\tan∠ BAC = \dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$，
∴ $\tan∠ ADE = \tan∠ BAC = \dfrac{5}{3}$。
② 求$\tan∠ EDC$：
在Rt△DEC中，$∠ EDC + ∠ DCE = 90°$，
又
∵ $∠ ACB + ∠ DCE = ∠ BCD = 90°$，
∴ $∠ EDC = ∠ ACB$（同角的余角相等）。
在Rt△ABC中，$\tan∠ ACB = \dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$，
∴ $\tan∠ EDC = \tan∠ ACB = \dfrac{3}{5}$。
【答案】
$\tan∠ ADE=\dfrac{5}{3}$，$\tan∠ EDC=\dfrac{3}{5}$
【知识点】
矩形的性质；同角的余角相等；锐角正切的定义
【点评】
本题是锐角正切计算的典型题型，核心解题技巧是利用角的互余关系实现角的转化，将未知正切值的角转化为已知边长的直角三角形中的内角，大大简化计算过程，避免了求线段DE、CE等多余步骤。
【难度系数】
0.7
解题时首先从矩形的性质和垂直的条件入手，观察待求正切值的角的位置：1. 先找和∠ADE互余的角，发现∠ADE与∠DAE互余，∠BAC也和∠DAE互余，根据同角的余角相等可得∠ADE=∠BAC，就可以把求tan∠ADE转化为求Rt△ABC中∠BAC的正切；2. 同理，∠EDC与∠DCE互余，∠ACB也和∠DCE互余，可得∠EDC=∠ACB，转化为求∠ACB的正切，直接利用矩形已知边长计算即可，无需额外求线段长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°，AB=6，BC=10，AD//BC。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED=∠DEC=90°。
① 求$\tan∠ ADE$：
在Rt△ADE中，$∠ ADE + ∠ DAE = 90°$，
又
∵ $∠ BAC + ∠ DAE = ∠ BAD = 90°$，
∴ $∠ ADE = ∠ BAC$（同角的余角相等）。
在Rt△ABC中，$\tan∠ BAC = \dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$，
∴ $\tan∠ ADE = \tan∠ BAC = \dfrac{5}{3}$。
② 求$\tan∠ EDC$：
在Rt△DEC中，$∠ EDC + ∠ DCE = 90°$，
又
∵ $∠ ACB + ∠ DCE = ∠ BCD = 90°$，
∴ $∠ EDC = ∠ ACB$（同角的余角相等）。
在Rt△ABC中，$\tan∠ ACB = \dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$，
∴ $\tan∠ EDC = \tan∠ ACB = \dfrac{3}{5}$。
【答案】
$\tan∠ ADE=\dfrac{5}{3}$，$\tan∠ EDC=\dfrac{3}{5}$
【知识点】
矩形的性质；同角的余角相等；锐角正切的定义
【点评】
本题是锐角正切计算的典型题型，核心解题技巧是利用角的互余关系实现角的转化，将未知正切值的角转化为已知边长的直角三角形中的内角，大大简化计算过程，避免了求线段DE、CE等多余步骤。
【难度系数】
0.7
