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5. (1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$\sin A=\frac{3}{4}$，那么$\tan B=$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$\tan B=\frac{1}{2}$，那么$\cos A=$
$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
.(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$\tan B=\frac{1}{2}$，那么$\cos A=$
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
.答案
5. (1) $\dfrac{\sqrt{7}}{3}$. (2) $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
解析
【分析】
这两道题均为直角三角形中锐角三角函数的求解问题，解题思路统一：首先根据已知三角函数的定义，设参数表示出对应两条边的长度，再利用勾股定理求出第三条边的长度，最后根据待求三角函数的定义，代入对应边的比值计算即可，过程中参数可约去不影响结果。
(1)已知$\sin A$，即$∠ A$的对边与斜边的比值，设出对边和斜边长度后求另一条直角边，再计算$∠ B$的正切值；
(2)已知$\tan B$，即$∠ B$的对边与邻边的比值，设出两条直角边长度后求斜边，再计算$∠ A$的余弦值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义：$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$。
设$BC=3k$（$k＞0$），则$AB=4k$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(4k)^2-(3k)^2}=\sqrt{7}k$
根据正切的定义：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{7}k}{3k}=\frac{\sqrt{7}}{3}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$。
设$AC=m$（$m＞0$），则$BC=2m$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{m^2+(2m)^2}=\sqrt{5}m$
根据余弦的定义：$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{m}{\sqrt{5}m}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{7}}{3}$；(2) $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题型，通过设参数表示边长的方法可简化计算，熟练掌握正弦、余弦、正切对应的边的比例关系是准确解题的核心。
【难度系数】
0.8
这两道题均为直角三角形中锐角三角函数的求解问题，解题思路统一：首先根据已知三角函数的定义，设参数表示出对应两条边的长度，再利用勾股定理求出第三条边的长度，最后根据待求三角函数的定义，代入对应边的比值计算即可，过程中参数可约去不影响结果。
(1)已知$\sin A$，即$∠ A$的对边与斜边的比值，设出对边和斜边长度后求另一条直角边，再计算$∠ B$的正切值；
(2)已知$\tan B$，即$∠ B$的对边与邻边的比值，设出两条直角边长度后求斜边，再计算$∠ A$的余弦值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义：$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$。
设$BC=3k$（$k＞0$），则$AB=4k$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(4k)^2-(3k)^2}=\sqrt{7}k$
根据正切的定义：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{7}k}{3k}=\frac{\sqrt{7}}{3}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$。
设$AC=m$（$m＞0$），则$BC=2m$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{m^2+(2m)^2}=\sqrt{5}m$
根据余弦的定义：$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{m}{\sqrt{5}m}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{7}}{3}$；(2) $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题型，通过设参数表示边长的方法可简化计算，熟练掌握正弦、余弦、正切对应的边的比例关系是准确解题的核心。
【难度系数】
0.8
6. 在平面直角坐标系中，已知直线OP的表达式为$y=2x$，直线OP与y轴正方向的夹角为β，那么$\sinβ=$
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
，$\tanβ=$$\dfrac{1}{2}$
。答案
6. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；$\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
要计算直线OP与y轴正方向夹角β的三角函数值，可按以下思路思考：① 利用直线解析式取一个坐标易计算的点，直线上任意点都满足解析式，取特殊点不会影响三角函数值的结果；② 过该点向y轴作垂线，构造包含β的直角三角形；③ 用勾股定理算出直角三角形各边的长度；④ 根据锐角三角函数的定义，找准β的对边、邻边和斜边，代入计算即可，注意区分β是与y轴的夹角，不要和直线与x轴夹角的对应边搞混。
【解析】
在直线$OP:y=2x$上取一点P，令$x=1$，则$y=2×1=2$，即点P的坐标为$(1,2)$。
过点P作$PA⊥ y$轴于点A，则$A(0,2)$，可得：
水平距离$PA=1-0=1$，竖直距离$OA=2-0=2$，
在$Rt△ POA$中，由勾股定理得斜边$OP=\sqrt{PA^2+OA^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
由题可知$∠ POA=β$，根据锐角三角函数的定义：
$\sinβ=\dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{PA}{OP}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，
$\tanβ=\dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\dfrac{PA}{OA}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的图象性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与锐角三角函数的综合基础题，解题核心是通过取直线上的特殊点构造直角三角形，将待求的夹角放到直角三角形中求解，易错点是容易混淆夹角的对边和邻边，误算成直线与x轴夹角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
要计算直线OP与y轴正方向夹角β的三角函数值，可按以下思路思考：① 利用直线解析式取一个坐标易计算的点，直线上任意点都满足解析式，取特殊点不会影响三角函数值的结果；② 过该点向y轴作垂线，构造包含β的直角三角形；③ 用勾股定理算出直角三角形各边的长度；④ 根据锐角三角函数的定义，找准β的对边、邻边和斜边，代入计算即可，注意区分β是与y轴的夹角，不要和直线与x轴夹角的对应边搞混。
【解析】
在直线$OP:y=2x$上取一点P，令$x=1$，则$y=2×1=2$，即点P的坐标为$(1,2)$。
过点P作$PA⊥ y$轴于点A，则$A(0,2)$，可得：
水平距离$PA=1-0=1$，竖直距离$OA=2-0=2$，
在$Rt△ POA$中，由勾股定理得斜边$OP=\sqrt{PA^2+OA^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
由题可知$∠ POA=β$，根据锐角三角函数的定义：
$\sinβ=\dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{PA}{OP}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，
$\tanβ=\dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\dfrac{PA}{OA}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的图象性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与锐角三角函数的综合基础题，解题核心是通过取直线上的特殊点构造直角三角形，将待求的夹角放到直角三角形中求解，易错点是容易混淆夹角的对边和邻边，误算成直线与x轴夹角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，$CD$是边$AB$上的中线，$BC=8$，$CD=5$，那么$\tan∠ ACD=$
$\dfrac{4}{3}$
。答案
7. $\dfrac{4}{3}$.
解析
【分析】
解决本题的思路如下：①首先利用直角三角形斜边中线的性质，可得CD=AD，进而推出∠ACD=∠A，将求∠ACD的正切值转化为求∠A的正切值，简化计算；②再由斜边中线的长度求出斜边AB的长，结合已知BC的长度，用勾股定理求出直角边AC的长度；③最后根据正切的定义计算∠A的正切值，即可得到结果。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BCA=90°$，CD是AB边上的中线，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AB=2CD=2×5=10$，且$CD=AD$，
∴$∠ ACD=∠ A$（等边对等角）。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴$\tan∠ ACD=\tan∠ A=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；勾股定理；锐角正切的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础常考题，解题的关键是利用直角三角形斜边中线的性质实现等角转化，将待求三角函数的角转化为直角三角形的内角，再结合勾股定理和三角函数的定义计算即可。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路如下：①首先利用直角三角形斜边中线的性质，可得CD=AD，进而推出∠ACD=∠A，将求∠ACD的正切值转化为求∠A的正切值，简化计算；②再由斜边中线的长度求出斜边AB的长，结合已知BC的长度，用勾股定理求出直角边AC的长度；③最后根据正切的定义计算∠A的正切值，即可得到结果。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BCA=90°$，CD是AB边上的中线，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AB=2CD=2×5=10$，且$CD=AD$，
∴$∠ ACD=∠ A$（等边对等角）。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴$\tan∠ ACD=\tan∠ A=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；勾股定理；锐角正切的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础常考题，解题的关键是利用直角三角形斜边中线的性质实现等角转化，将待求三角函数的角转化为直角三角形的内角，再结合勾股定理和三角函数的定义计算即可。
【难度系数】
0.7
8. 如图，一个大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成. 如果图中小正方形的面积与每个直角三角形的面积均为1，$α$为直角三角形的一个锐角，那么$\tanα=$
2
.答案
8. 2.
解析
【分析】
解题时首先设直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b。第一步结合图形找边长关系：小正方形面积为1，可得边长为1，而小正方形的边长等于长直角边与短直角边的差，即$b - a =1$；第二步根据直角三角形面积为1，可得$\frac{1}{2}ab=1$，即$ab=2$；第三步联立两个方程求解a、b的长度；最后根据正切的定义，锐角的正切值等于对边与邻边的比值，代入边长计算即可得到$\tanα$的值。
【解析】
设直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$：
1. 由小正方形面积为1，得小正方形边长为1，结合图形可知$b - a = 1$；
2. 由直角三角形面积为1，得$\frac{1}{2}ab = 1$，整理得$ab = 2$；
3. 将$b = a + 1$代入$ab=2$，得$a(a+1)=2$，整理为一元二次方程$a^2 + a - 2 = 0$，解得$a=1$（边长为正，舍去负根$a=-2$），则$b = 1 + 1 = 2$；
4. 根据正切的定义，锐角$α$的对边为长直角边$b$，邻边为短直角边$a$，因此$\tanα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{b}{a} = \frac{2}{1} = 2$。
【答案】
2
【知识点】
正切的定义，正方形的性质，一元二次方程求解
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题关键是通过观察图形找到直角三角形直角边与小正方形边长的数量关系，再结合三角函数定义计算，能很好地考查学生的图形分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先设直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b。第一步结合图形找边长关系：小正方形面积为1，可得边长为1，而小正方形的边长等于长直角边与短直角边的差，即$b - a =1$；第二步根据直角三角形面积为1，可得$\frac{1}{2}ab=1$，即$ab=2$；第三步联立两个方程求解a、b的长度；最后根据正切的定义，锐角的正切值等于对边与邻边的比值，代入边长计算即可得到$\tanα$的值。
【解析】
设直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$：
1. 由小正方形面积为1，得小正方形边长为1，结合图形可知$b - a = 1$；
2. 由直角三角形面积为1，得$\frac{1}{2}ab = 1$，整理得$ab = 2$；
3. 将$b = a + 1$代入$ab=2$，得$a(a+1)=2$，整理为一元二次方程$a^2 + a - 2 = 0$，解得$a=1$（边长为正，舍去负根$a=-2$），则$b = 1 + 1 = 2$；
4. 根据正切的定义，锐角$α$的对边为长直角边$b$，邻边为短直角边$a$，因此$\tanα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{b}{a} = \frac{2}{1} = 2$。
【答案】
2
【知识点】
正切的定义，正方形的性质，一元二次方程求解
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题关键是通过观察图形找到直角三角形直角边与小正方形边长的数量关系，再结合三角函数定义计算，能很好地考查学生的图形分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$△ ABC$中，$D$为$△ ABC$内部一点，$BD$平分$∠ ABC$，$CD ⊥ BD$，$∠ ACD = ∠ A$。如果$\tan ∠ DCB = 2\sqrt{2}$，$AB = 10$，那么$BC$的长为
6
。答案
9. 6.
解析
【分析】
我们可以通过添加辅助线整合已知条件：先延长CD交AB于点E。首先利用BD是角平分线、CD⊥BD的条件，可证△BDE和△BDC全等，得到BC=BE、CD=DE；再结合∠ACD=∠A，可得等腰△AEC，即AE=CE=2CD。接着在Rt△BDC中，根据tan∠DCB的数值设参数，用勾股定理表示出BC的长度，最后根据AB=AE+BE建立方程求解，即可得到BC的长。
【解析】
解：延长CD交AB于点E。
1. 证明△BDE≌△BDC：
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD
∵CD⊥BD，
∴∠BDE=∠BDC=90°
又
∵BD=BD
∴△BDE ≌ △BDC（ASA）
∴BE=BC，DE=CD，即CE=2CD
2. 推导AE=CE：
∵∠ACD=∠A，即∠ACE=∠A
∴AE=CE=2CD
3. 结合三角函数用参数表示线段：
在Rt△BDC中，$\tan∠DCB=\frac{BD}{CD}=2\sqrt{2}$
设$CD=x$，则$BD=2\sqrt{2}x$
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}x)^2+x^2}=\sqrt{9x^2}=3x$
∴$BE=BC=3x$，$AE=CE=2CD=2x$
4. 列方程求解：
∵$AB=AE+BE=10$
∴$2x+3x=10$，解得$x=2$
∴$BC=3x=3×2=6$
【答案】
6
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形判定；锐角三角函数应用
【点评】
本题的核心是合理添加辅助线，将分散的角、线段关系整合，结合全等、等腰三角形性质和三角函数、勾股定理求解，用参数法建立线段和与AB的联系是解题的关键。
【难度系数】
0.65
我们可以通过添加辅助线整合已知条件：先延长CD交AB于点E。首先利用BD是角平分线、CD⊥BD的条件，可证△BDE和△BDC全等，得到BC=BE、CD=DE；再结合∠ACD=∠A，可得等腰△AEC，即AE=CE=2CD。接着在Rt△BDC中，根据tan∠DCB的数值设参数，用勾股定理表示出BC的长度，最后根据AB=AE+BE建立方程求解，即可得到BC的长。
【解析】
解：延长CD交AB于点E。
1. 证明△BDE≌△BDC：
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD
∵CD⊥BD，
∴∠BDE=∠BDC=90°
又
∵BD=BD
∴△BDE ≌ △BDC（ASA）
∴BE=BC，DE=CD，即CE=2CD
2. 推导AE=CE：
∵∠ACD=∠A，即∠ACE=∠A
∴AE=CE=2CD
3. 结合三角函数用参数表示线段：
在Rt△BDC中，$\tan∠DCB=\frac{BD}{CD}=2\sqrt{2}$
设$CD=x$，则$BD=2\sqrt{2}x$
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}x)^2+x^2}=\sqrt{9x^2}=3x$
∴$BE=BC=3x$，$AE=CE=2CD=2x$
4. 列方程求解：
∵$AB=AE+BE=10$
∴$2x+3x=10$，解得$x=2$
∴$BC=3x=3×2=6$
【答案】
6
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形判定；锐角三角函数应用
【点评】
本题的核心是合理添加辅助线，将分散的角、线段关系整合，结合全等、等腰三角形性质和三角函数、勾股定理求解，用参数法建立线段和与AB的联系是解题的关键。
【难度系数】
0.65
10 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，分别以$AB$、$BC$、$AC$为边向外作正方形$ABDE$、$BCGF$、$ACHI$，连接$DA$并延长，交$HI$于点$Q$. 如果$\dfrac{IQ}{HQ}=\dfrac{1}{4}$，那么$\tan∠ ACB$的值为________.
答案
10. $\dfrac{2}{3}$. 提示：如图，延长 $IA$ 交 $BD$ 于点 $M$，过点 $M$ 作 $MN⊥AD$，垂足为 $N$. 由$\dfrac{IQ}{HQ}=\dfrac{1}{4}$，得 $\tan ∠IAQ=\dfrac{1}{5}$，故 $\tan ∠NAM = \tan ∠IAQ=\dfrac{1}{5}$. 令 $NM = a$，则 $AN = 5a$，$DN=MN=a$，得 $AD=6a$，$DM=\sqrt{2}a$，$AB=3\sqrt{2}a$，$BM=2\sqrt{2}a$，则$\tan ∠MAB=\dfrac{2\sqrt{2}a}{3\sqrt{2}a}=\dfrac{2}{3}$. 又由于$∠ACB=∠MAB$，因此$\tan ∠ACB=\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
本题求解$\tan∠ACB$，可按如下思路推导：首先利用正方形的边、角性质，结合已知的$\dfrac{IQ}{HQ}=\dfrac{1}{4}$，求出$\tan∠IAQ$的值，再通过对顶角相等将其转化为$∠ NAM$的正切值；接着利用正方形对角线与边夹角为$45°$的性质，得到等腰直角$△ MND$，设参数表示各相关线段的长度；最后利用同角的余角相等证明$∠ACB=∠MAB$，计算$\tan∠MAB$即可得到结果。
【解析】
解：如图，延长 $IA$ 交 $BD$ 于点 $M$，过点 $M$ 作 $MN⊥AD$，垂足为 $N$。
1. 在正方形$ACHI$中，$AI=IH$，$∠ I=90°$。由$\dfrac{IQ}{HQ}=\dfrac{1}{4}$，可设$IQ=k$，则$HQ=4k$，得$IH=IQ+HQ=5k$，因此$AI=5k$，故$\tan∠ IAQ=\dfrac{IQ}{AI}=\dfrac{k}{5k}=\dfrac{1}{5}$。
2. $∠ IAQ$与$∠ NAM$为对顶角，因此$∠ NAM=∠ IAQ$，即$\tan∠ NAM=\dfrac{1}{5}$。设$NM=a$，由$\tan∠ NAM=\dfrac{NM}{AN}=\dfrac{1}{5}$，得$AN=5a$。
3. 正方形$ABDE$中，$AD$为对角线，故$∠ ADB=45°$，又$MN⊥ AD$，因此$△ MND$为等腰直角三角形，得$DN=MN=a$，所以$AD=AN+DN=5a+a=6a$，$DM=\sqrt{MN^2+DN^2}=\sqrt{2}a$。
4. 正方形$ABDE$中，对角线$AD=\sqrt{2}AB$，代入$AD=6a$得$AB=\dfrac{6a}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}a$，且$BD=AB=3\sqrt{2}a$，因此$BM=BD-DM=3\sqrt{2}a-\sqrt{2}a=2\sqrt{2}a$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$∠ ABM=90°$，故$\tan∠ MAB=\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{3\sqrt{2}a}=\dfrac{2}{3}$。
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，因此$∠ ACB+∠ BAC=90°$；又正方形$ACHI$中$∠ CAI=90°$，故$∠ MAB+∠ BAC=180°-90°=90°$，可得$∠ ACB=∠ MAB$，因此$\tan∠ ACB=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
正方形的性质、锐角正切的计算、同角的余角相等
【点评】
本题综合考查正方形性质与锐角三角函数的应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将线段比例转化为三角函数值，再结合角度等量关系求解，对几何推理和参数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题求解$\tan∠ACB$，可按如下思路推导：首先利用正方形的边、角性质，结合已知的$\dfrac{IQ}{HQ}=\dfrac{1}{4}$，求出$\tan∠IAQ$的值，再通过对顶角相等将其转化为$∠ NAM$的正切值；接着利用正方形对角线与边夹角为$45°$的性质，得到等腰直角$△ MND$，设参数表示各相关线段的长度；最后利用同角的余角相等证明$∠ACB=∠MAB$，计算$\tan∠MAB$即可得到结果。
【解析】
解：如图，延长 $IA$ 交 $BD$ 于点 $M$，过点 $M$ 作 $MN⊥AD$，垂足为 $N$。
1. 在正方形$ACHI$中，$AI=IH$，$∠ I=90°$。由$\dfrac{IQ}{HQ}=\dfrac{1}{4}$，可设$IQ=k$，则$HQ=4k$，得$IH=IQ+HQ=5k$，因此$AI=5k$，故$\tan∠ IAQ=\dfrac{IQ}{AI}=\dfrac{k}{5k}=\dfrac{1}{5}$。
2. $∠ IAQ$与$∠ NAM$为对顶角，因此$∠ NAM=∠ IAQ$，即$\tan∠ NAM=\dfrac{1}{5}$。设$NM=a$，由$\tan∠ NAM=\dfrac{NM}{AN}=\dfrac{1}{5}$，得$AN=5a$。
3. 正方形$ABDE$中，$AD$为对角线，故$∠ ADB=45°$，又$MN⊥ AD$，因此$△ MND$为等腰直角三角形，得$DN=MN=a$，所以$AD=AN+DN=5a+a=6a$，$DM=\sqrt{MN^2+DN^2}=\sqrt{2}a$。
4. 正方形$ABDE$中，对角线$AD=\sqrt{2}AB$，代入$AD=6a$得$AB=\dfrac{6a}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}a$，且$BD=AB=3\sqrt{2}a$，因此$BM=BD-DM=3\sqrt{2}a-\sqrt{2}a=2\sqrt{2}a$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$∠ ABM=90°$，故$\tan∠ MAB=\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{3\sqrt{2}a}=\dfrac{2}{3}$。
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，因此$∠ ACB+∠ BAC=90°$；又正方形$ACHI$中$∠ CAI=90°$，故$∠ MAB+∠ BAC=180°-90°=90°$，可得$∠ ACB=∠ MAB$，因此$\tan∠ ACB=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
正方形的性质、锐角正切的计算、同角的余角相等
【点评】
本题综合考查正方形性质与锐角三角函数的应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将线段比例转化为三角函数值，再结合角度等量关系求解，对几何推理和参数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
