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1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin B=\dfrac{1}{3}$，那么$∠ A$的正切值为（
A.$3$；
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；
C.$2\sqrt{2}$；
D.$\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$。
C
）A.$3$；
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；
C.$2\sqrt{2}$；
D.$\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$。
答案
1. C.
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确本题是直角三角形中锐角三角函数的计算问题，已知∠B的正弦值，我们可以利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方式表示出三角形的对应边长，再结合勾股定理求出第三条边的长度，最后根据正切的定义计算∠A的正切值即可。设参数法更直观，不易出错，更适合初学者使用。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}$，
设$AC=k$（$k＞0$），则$AB=3k$，
由勾股定理可得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3k)^2 - k^2}=\sqrt{9k^2 - k^2}=\sqrt{8k^2}=2\sqrt{2}k$，
根据正切的定义：$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$，
代入边长得：$\tan A=\frac{2\sqrt{2}k}{k}=2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题关键是准确掌握各三角函数对应的边的比例关系，采用设参数的方法计算可以简化运算过程，避免比例运算出错。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确本题是直角三角形中锐角三角函数的计算问题，已知∠B的正弦值，我们可以利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方式表示出三角形的对应边长，再结合勾股定理求出第三条边的长度，最后根据正切的定义计算∠A的正切值即可。设参数法更直观，不易出错，更适合初学者使用。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}$，
设$AC=k$（$k＞0$），则$AB=3k$，
由勾股定理可得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3k)^2 - k^2}=\sqrt{9k^2 - k^2}=\sqrt{8k^2}=2\sqrt{2}k$，
根据正切的定义：$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$，
代入边长得：$\tan A=\frac{2\sqrt{2}k}{k}=2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题关键是准确掌握各三角函数对应的边的比例关系，采用设参数的方法计算可以简化运算过程，避免比例运算出错。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$Rt△ ABC$中，CD是斜边AB上的高，$∠ A≠45°$，那么下列比值中不等于$\tan A$的是（
A.$\frac{CD}{AD}$；
B.$\frac{BD}{CD}$；
C.$\frac{BC}{AC}$；
D.$\frac{CD}{AB}$；
D
）A.$\frac{CD}{AD}$；
B.$\frac{BD}{CD}$；
C.$\frac{BC}{AC}$；
D.$\frac{CD}{AB}$；
答案
2. D.
解析
【分析】
要判断哪个比值不等于$\tan A$，首先回忆正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。本题中Rt△ABC斜边上的高CD将原三角形分成两个小直角三角形，且根据同角的余角相等可推出$∠ A=∠ BCD$，我们只需逐一分析每个选项对应的比值，看是否符合$∠ A$或者和$∠ A$相等的角的正切定义即可。
【解析】
解：已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$，故C选项不符合题意；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{CD}{AD}$，故A选项不符合题意；
3. $\because∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ BCD + ∠ ACD = 90°$，$\therefore∠ A = ∠ BCD$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\tan∠ BCD = \frac{BD}{CD}$，因此$\tan A = \frac{BD}{CD}$，故B选项不符合题意；
4. 选项D中$\frac{CD}{AB}$无法对应任意直角三角形中$∠ A$或与$∠ A$相等的角的对边比邻边，不等于$\tan A$，故D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；同角的余角相等；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角正切的定义，解题关键是先找到图中与$∠ A$相等的角，再结合正切的定义逐一验证每个选项，注意不要混淆不同直角三角形中角的对边和邻边。
【难度系数】
0.8
要判断哪个比值不等于$\tan A$，首先回忆正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。本题中Rt△ABC斜边上的高CD将原三角形分成两个小直角三角形，且根据同角的余角相等可推出$∠ A=∠ BCD$，我们只需逐一分析每个选项对应的比值，看是否符合$∠ A$或者和$∠ A$相等的角的正切定义即可。
【解析】
解：已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$，故C选项不符合题意；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{CD}{AD}$，故A选项不符合题意；
3. $\because∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ BCD + ∠ ACD = 90°$，$\therefore∠ A = ∠ BCD$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\tan∠ BCD = \frac{BD}{CD}$，因此$\tan A = \frac{BD}{CD}$，故B选项不符合题意；
4. 选项D中$\frac{CD}{AB}$无法对应任意直角三角形中$∠ A$或与$∠ A$相等的角的对边比邻边，不等于$\tan A$，故D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；同角的余角相等；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角正切的定义，解题关键是先找到图中与$∠ A$相等的角，再结合正切的定义逐一验证每个选项，注意不要混淆不同直角三角形中角的对边和邻边。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知在平面直角坐标系中有一点$A(1,0)$，过点$A$作$x$轴的垂线$l$，从原点$O(0,0)$往直线$l$引射线，分别交直线$l$于点$B_1$、$B_2$、$B_3$……射线与$x$轴正半轴的对应的夹角记为$α_1$、$α_2$、$α_3$……根据图形可知一个锐角$α$的正切值的取值范围是（
A.$0＜\tanα＜1$；
B.$\frac{1}{2}＜\tanα＜1$；
C.$\tanα＞0$；
D.$\tanα＞1$。
C
）A.$0＜\tanα＜1$；
B.$\frac{1}{2}＜\tanα＜1$；
C.$\tanα＞0$；
D.$\tanα＞1$。
答案
3. C.
解析
【分析】
解题思路：首先回忆锐角正切的定义，在直角三角形中，锐角的正切值等于对边与邻边的比值。结合本题图形，我们可以将锐角α放在直角△OAB中分析，先确定邻边OA的长度，再将tanα转化为线段AB的长度，最后根据α是锐角（范围为0°＜α＜90°），判断AB的取值范围，即可得到tanα的取值范围。
【解析】
解：
∵点A坐标为$(1,0)$，直线$l$过点A且垂直$x$轴，
∴$OA=1$，$∠ OAB=90°$，$△ OAB$为直角三角形。
根据锐角正切的定义，对于射线与$x$轴正半轴的锐角夹角$α$，有：
$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AB}{OA}$
代入$OA=1$，得$\tanα=AB$。
∵$α$是锐角，即$0°＜α＜90°$，
当$α$趋近于$0°$时，$AB$的长度趋近于0；当$α$趋近于$90°$时，$AB$的长度趋近于正无穷，
∴$AB＞0$，即$\tanα＞0$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 锐角正切的定义
2. 直角三角形边角关系
3. 锐角的取值范围
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查锐角三角函数的基础概念，解题的核心是将抽象的三角函数值转化为直观的线段长度进行分析，侧重对基础知识的理解和应用，掌握正切的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆锐角正切的定义，在直角三角形中，锐角的正切值等于对边与邻边的比值。结合本题图形，我们可以将锐角α放在直角△OAB中分析，先确定邻边OA的长度，再将tanα转化为线段AB的长度，最后根据α是锐角（范围为0°＜α＜90°），判断AB的取值范围，即可得到tanα的取值范围。
【解析】
解：
∵点A坐标为$(1,0)$，直线$l$过点A且垂直$x$轴，
∴$OA=1$，$∠ OAB=90°$，$△ OAB$为直角三角形。
根据锐角正切的定义，对于射线与$x$轴正半轴的锐角夹角$α$，有：
$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AB}{OA}$
代入$OA=1$，得$\tanα=AB$。
∵$α$是锐角，即$0°＜α＜90°$，
当$α$趋近于$0°$时，$AB$的长度趋近于0；当$α$趋近于$90°$时，$AB$的长度趋近于正无穷，
∴$AB＞0$，即$\tanα＞0$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 锐角正切的定义
2. 直角三角形边角关系
3. 锐角的取值范围
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查锐角三角函数的基础概念，解题的核心是将抽象的三角函数值转化为直观的线段长度进行分析，侧重对基础知识的理解和应用，掌握正切的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$。
(1) $∠ A$ 的对边是
(2) $∠ B$ 的对边是
(3) $\tan A · \tan B =$
4. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$。
(1) $∠ A$ 的对边是
BC
，它的邻边是AC
，$\tan A=$$\dfrac{BC}{AC}$
。(2) $∠ B$ 的对边是
AC
，它的邻边是BC
，$\tan B=$$\dfrac{AC}{BC}$
。(3) $\tan A · \tan B =$
1
；$\tan A$ =
（填“＞”、“=”或“＜”）$\frac{1}{\tan (90° - ∠ A)}$。答案
4. (1) BC；AC；$\dfrac{BC}{AC}$. (2) AC；BC；$\dfrac{AC}{BC}$. (3) 1；=.
解析
【分析】
解题时首先回忆锐角正切的相关定义，以及直角三角形的性质：1. 确定直角三角形中一个锐角的对边和邻边：对边是不经过该锐角顶点的直角边，邻边是经过该锐角顶点、不是斜边的直角边；2. 锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值；3. 直角三角形两锐角互余，据此推导互余角的正切关系，按照小问顺序依次求解即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边是不经过点A的直角边$BC$，邻边是经过点A的直角边$AC$，根据正切的定义，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$。
(2) 同理，$∠ B$的对边是不经过点B的直角边$AC$，邻边是经过点B的直角边$BC$，因此$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}$。
(3) 把$\tan A=\frac{BC}{AC}$、$\tan B=\frac{AC}{BC}$代入计算：$\tan A · \tan B=\frac{BC}{AC} × \frac{AC}{BC}=1$；
因为直角三角形两锐角互余，所以$90°-∠ A=∠ B$，因此$\frac{1}{\tan(90°-∠ A)}=\frac{1}{\tan B}=\frac{BC}{AC}=\tan A$，故$\tan A=\frac{1}{\tan(90°-∠ A)}$。
【答案】
(1) $BC$；$AC$；$\dfrac{BC}{AC}$
(2) $AC$；$BC$；$\dfrac{AC}{BC}$
(3) $1$；$=$
【知识点】
正切的定义；直角三角形性质；互余角的正切关系
【点评】
本题是锐角正切的基础考查题，重点帮助学生巩固对锐角对边、邻边的区分，以及正切定义的理解，掌握基础概念即可快速解题，是三角函数入门的典型基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆锐角正切的相关定义，以及直角三角形的性质：1. 确定直角三角形中一个锐角的对边和邻边：对边是不经过该锐角顶点的直角边，邻边是经过该锐角顶点、不是斜边的直角边；2. 锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值；3. 直角三角形两锐角互余，据此推导互余角的正切关系，按照小问顺序依次求解即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边是不经过点A的直角边$BC$，邻边是经过点A的直角边$AC$，根据正切的定义，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$。
(2) 同理，$∠ B$的对边是不经过点B的直角边$AC$，邻边是经过点B的直角边$BC$，因此$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}$。
(3) 把$\tan A=\frac{BC}{AC}$、$\tan B=\frac{AC}{BC}$代入计算：$\tan A · \tan B=\frac{BC}{AC} × \frac{AC}{BC}=1$；
因为直角三角形两锐角互余，所以$90°-∠ A=∠ B$，因此$\frac{1}{\tan(90°-∠ A)}=\frac{1}{\tan B}=\frac{BC}{AC}=\tan A$，故$\tan A=\frac{1}{\tan(90°-∠ A)}$。
【答案】
(1) $BC$；$AC$；$\dfrac{BC}{AC}$
(2) $AC$；$BC$；$\dfrac{AC}{BC}$
(3) $1$；$=$
【知识点】
正切的定义；直角三角形性质；互余角的正切关系
【点评】
本题是锐角正切的基础考查题，重点帮助学生巩固对锐角对边、邻边的区分，以及正切定义的理解，掌握基础概念即可快速解题，是三角函数入门的典型基础题。
【难度系数】
0.9
