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14 按要求作答.
(1)【填空】由图(1)可得，$\sin^2 A_1 + \sin^2 B_1 =$
(2)【猜想】在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，都有$\sin^2 A + \sin^2 B =$
(3)【证明】如图(4)，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别是$a$、$b$、$c$，利用锐角的正弦、余弦的定义和勾股定理，证明(2)中的猜想.
(4)【应用】在$△ ABC$中，已知$∠ A + ∠ B = 90°$，且$\sin A = \frac{5}{13}$，那么$\sin B =$
(5)【拓展】如果$0° ＜ ∠ A ＜ 90°$，且$\sin A · \cos A = \frac{12}{25}$，求$\sin A + \cos A$的值.
(1)【填空】由图(1)可得，$\sin^2 A_1 + \sin^2 B_1 =$
1
；由图(2)可得，$\sin^2 A_2 + \sin^2 B_2 =$ 1
；由图(3)可得，$\sin^2 A_3 + \sin^2 B_3 =$ 1
.(2)【猜想】在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，都有$\sin^2 A + \sin^2 B =$
1
.(3)【证明】如图(4)，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别是$a$、$b$、$c$，利用锐角的正弦、余弦的定义和勾股定理，证明(2)中的猜想.
(4)【应用】在$△ ABC$中，已知$∠ A + ∠ B = 90°$，且$\sin A = \frac{5}{13}$，那么$\sin B =$
$\frac{12}{13}$
.(5)【拓展】如果$0° ＜ ∠ A ＜ 90°$，且$\sin A · \cos A = \frac{12}{25}$，求$\sin A + \cos A$的值.
答案
14. (1) 1；1；1.
(2) 1.
(3) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，
$\because ∠ C=90°$，$\therefore a^2+b^2=c^2$.
$\because \sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$，$\therefore \sin^2 A+\sin^2 B=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$.
(4) $\frac{12}{13}$.
(5) 已知$\sin A · \cos A=\frac{12}{25}$，又由(3)得，$\sin^2 A+\sin^2(90°-∠ A)=1$，即$\sin^2 A+\cos^2 A=1$.
$(\sin A+\cos A)^2=\sin^2 A+2\sin A · \cos A+\cos^2 A=1+2×\frac{12}{25}=\frac{49}{25}$. 又因为$\sin A＞0$，$\cos A＞0$，故$\sin A+\cos A＞0$，所以$\sin A+\cos A=\frac{7}{5}$.
(2) 1.
(3) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，
$\because ∠ C=90°$，$\therefore a^2+b^2=c^2$.
$\because \sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$，$\therefore \sin^2 A+\sin^2 B=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$.
(4) $\frac{12}{13}$.
(5) 已知$\sin A · \cos A=\frac{12}{25}$，又由(3)得，$\sin^2 A+\sin^2(90°-∠ A)=1$，即$\sin^2 A+\cos^2 A=1$.
$(\sin A+\cos A)^2=\sin^2 A+2\sin A · \cos A+\cos^2 A=1+2×\frac{12}{25}=\frac{49}{25}$. 又因为$\sin A＞0$，$\cos A＞0$，故$\sin A+\cos A＞0$，所以$\sin A+\cos A=\frac{7}{5}$.
解析
【分析】
(1) 按照锐角正弦的定义：直角三角形中锐角的正弦等于其对边与斜边的比值，分别计算三个直角三角形中两个锐角的正弦值，再求平方和即可。
(2) 观察(1)中三个式子的计算结果，归纳得出直角三角形中两个锐角正弦平方和的普遍规律。
(3) 证明时先根据正弦定义写出∠A、∠B的正弦表达式，再结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$代入化简，即可验证猜想。
(4) 已知∠A+∠B=90°，直接应用(2)的结论，代入$\sin A$的值求解，注意锐角正弦值为正，取正根。
(5) 先利用互余角的三角函数关系结合(3)的结论得到$\sin^2 A+\cos^2 A=1$，再将$(\sin A+\cos A)^2$用完全平方公式展开，代入已知条件计算，最后根据锐角三角函数的正负性开方得到结果。
【解析】
(1) 图(1)：$\sin A_1=\frac{1}{2}$，$\sin B_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin^2 A_1 + \sin^2 B_1=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=1$；
图(2)：$\sin A_2=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\sin B_2=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\sin^2 A_2 + \sin^2 B_2=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=1$；
图(3)：$\sin A_3=\frac{3}{5}$，$\sin B_3=\frac{4}{5}$，$\sin^2 A_3 + \sin^2 B_3=(\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=1$。
(2) 观察(1)的结果，可猜想$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$时，$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$。
(3) 证明：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，
∵$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，
由锐角正弦定义得$\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$，
∴$\sin^2 A+\sin^2 B=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$，猜想成立。
(4)
∵$∠ A + ∠ B = 90°$，由(2)结论得$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$，
代入$\sin A = \frac{5}{13}$得：$\sin^2 B=1-(\frac{5}{13})^2=\frac{144}{169}$，
∵∠B为锐角，$\sin B＞0$，
∴$\sin B=\frac{12}{13}$。
(5)
∵$0° ＜ ∠ A ＜ 90°$，$\cos A=\sin(90°-∠A)$，结合(3)的结论得$\sin^2 A+\cos^2 A=1$，
由完全平方公式得：$(\sin A+\cos A)^2=\sin^2 A+2\sin A · \cos A+\cos^2 A$，
代入$\sin^2 A+\cos^2 A=1$、$\sin A · \cos A = \frac{12}{25}$得：
$(\sin A+\cos A)^2=1+2×\frac{12}{25}=\frac{49}{25}$，
∵$0° ＜ ∠ A ＜ 90°$时$\sin A＞0$、$\cos A＞0$，即$\sin A+\cos A＞0$，
∴$\sin A+\cos A=\frac{7}{5}$。
【答案】
(1) $1$；$1$；$1$
(2) $1$
(3) 证明见上述解析
(4) $\frac{12}{13}$
(5) $\frac{7}{5}$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 勾股定理
3. 完全平方公式
【点评】
本题按照“特殊例子探究-规律猜想-严谨证明-拓展应用”的逻辑设置问题，既考查了锐角三角函数的基础概念，也考查了规律归纳能力、公式变形运用能力，难度梯度设置合理，能有效检验对相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 按照锐角正弦的定义：直角三角形中锐角的正弦等于其对边与斜边的比值，分别计算三个直角三角形中两个锐角的正弦值，再求平方和即可。
(2) 观察(1)中三个式子的计算结果，归纳得出直角三角形中两个锐角正弦平方和的普遍规律。
(3) 证明时先根据正弦定义写出∠A、∠B的正弦表达式，再结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$代入化简，即可验证猜想。
(4) 已知∠A+∠B=90°，直接应用(2)的结论，代入$\sin A$的值求解，注意锐角正弦值为正，取正根。
(5) 先利用互余角的三角函数关系结合(3)的结论得到$\sin^2 A+\cos^2 A=1$，再将$(\sin A+\cos A)^2$用完全平方公式展开，代入已知条件计算，最后根据锐角三角函数的正负性开方得到结果。
【解析】
(1) 图(1)：$\sin A_1=\frac{1}{2}$，$\sin B_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin^2 A_1 + \sin^2 B_1=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=1$；
图(2)：$\sin A_2=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\sin B_2=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\sin^2 A_2 + \sin^2 B_2=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=1$；
图(3)：$\sin A_3=\frac{3}{5}$，$\sin B_3=\frac{4}{5}$，$\sin^2 A_3 + \sin^2 B_3=(\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=1$。
(2) 观察(1)的结果，可猜想$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$时，$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$。
(3) 证明：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，
∵$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，
由锐角正弦定义得$\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$，
∴$\sin^2 A+\sin^2 B=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$，猜想成立。
(4)
∵$∠ A + ∠ B = 90°$，由(2)结论得$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$，
代入$\sin A = \frac{5}{13}$得：$\sin^2 B=1-(\frac{5}{13})^2=\frac{144}{169}$，
∵∠B为锐角，$\sin B＞0$，
∴$\sin B=\frac{12}{13}$。
(5)
∵$0° ＜ ∠ A ＜ 90°$，$\cos A=\sin(90°-∠A)$，结合(3)的结论得$\sin^2 A+\cos^2 A=1$，
由完全平方公式得：$(\sin A+\cos A)^2=\sin^2 A+2\sin A · \cos A+\cos^2 A$，
代入$\sin^2 A+\cos^2 A=1$、$\sin A · \cos A = \frac{12}{25}$得：
$(\sin A+\cos A)^2=1+2×\frac{12}{25}=\frac{49}{25}$，
∵$0° ＜ ∠ A ＜ 90°$时$\sin A＞0$、$\cos A＞0$，即$\sin A+\cos A＞0$，
∴$\sin A+\cos A=\frac{7}{5}$。
【答案】
(1) $1$；$1$；$1$
(2) $1$
(3) 证明见上述解析
(4) $\frac{12}{13}$
(5) $\frac{7}{5}$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 勾股定理
3. 完全平方公式
【点评】
本题按照“特殊例子探究-规律猜想-严谨证明-拓展应用”的逻辑设置问题，既考查了锐角三角函数的基础概念，也考查了规律归纳能力、公式变形运用能力，难度梯度设置合理，能有效检验对相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
