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13. 如图，已知$OB⊥OA$，$∠AOP$的一边与$OA$重合，另一边$OP$绕着点$O$按逆时针方向旋转. 在旋转至$OB$的过程中，$OP$分别与以点$O$为圆心、以$R$为半径的圆相交于点$P_1$、$P_2$、$P_3$、……、$P_n$，再分别过点$P_1$、$P_2$、$P_3$、……、$P_n$向$OA$作垂线$P_1Q_1$、$P_2Q_2$、$P_3Q_3$、……、$P_nQ_n$，垂足分别为$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$、……、$Q_n$.
（1）分别用图中两条线段的比表示$∠AOP_1$、$∠AOP_2$、$∠AOP_3$、……、$∠AOP_n$的正弦值. 当$∠AOP$逐渐增大时，它的正弦值是逐渐增大还是逐渐减小？简要说明理由.
（2）分别用图中两条线段的比表示$∠AOP_1$、$∠AOP_2$、$∠AOP_3$、……、$∠AOP_n$的余弦值. 当$∠AOP$逐渐增大时，它的余弦值是逐渐增大还是逐渐减小？简要说明理由.
（1）分别用图中两条线段的比表示$∠AOP_1$、$∠AOP_2$、$∠AOP_3$、……、$∠AOP_n$的正弦值. 当$∠AOP$逐渐增大时，它的正弦值是逐渐增大还是逐渐减小？简要说明理由.
（2）分别用图中两条线段的比表示$∠AOP_1$、$∠AOP_2$、$∠AOP_3$、……、$∠AOP_n$的余弦值. 当$∠AOP$逐渐增大时，它的余弦值是逐渐增大还是逐渐减小？简要说明理由.
答案
13. (1) 在$\mathrm{Rt}△OP_1Q_1$中，$\sin ∠ AOP_1=\frac{P_1Q_1}{OP_1}=\frac{P_1Q_1}{R}$.
同理可得，$\sin ∠ AOP_2=\frac{P_2Q_2}{R}$，$\sin ∠ AOP_3=\frac{P_3Q_3}{R}$，……，$\sin ∠ AOP_n=\frac{P_nQ_n}{R}$.
当$∠ AOP$逐渐增大时，$P_1Q_1＜P_2Q_2＜P_3Q_3＜······$，且分母$R$不变，所以$∠ AOP$的正弦值逐渐增大.
(2) 在$\mathrm{Rt}△OP_1Q_1$中，$\cos ∠ AOP_1=\frac{OQ_1}{OP_1}=\frac{OQ_1}{R}$.
同理可得，$\cos ∠ AOP_2=\frac{OQ_2}{R}$，$\cos ∠ AOP_3=\frac{OQ_3}{R}$，……，$\cos ∠ AOP_n=\frac{OQ_n}{R}$.
当$∠ AOP$逐渐增大时，$OQ_1＞OQ_2＞OQ_3＞······$，且分母$R$不变，所以$∠ AOP$的余弦值逐渐减小.
同理可得，$\sin ∠ AOP_2=\frac{P_2Q_2}{R}$，$\sin ∠ AOP_3=\frac{P_3Q_3}{R}$，……，$\sin ∠ AOP_n=\frac{P_nQ_n}{R}$.
当$∠ AOP$逐渐增大时，$P_1Q_1＜P_2Q_2＜P_3Q_3＜······$，且分母$R$不变，所以$∠ AOP$的正弦值逐渐增大.
(2) 在$\mathrm{Rt}△OP_1Q_1$中，$\cos ∠ AOP_1=\frac{OQ_1}{OP_1}=\frac{OQ_1}{R}$.
同理可得，$\cos ∠ AOP_2=\frac{OQ_2}{R}$，$\cos ∠ AOP_3=\frac{OQ_3}{R}$，……，$\cos ∠ AOP_n=\frac{OQ_n}{R}$.
当$∠ AOP$逐渐增大时，$OQ_1＞OQ_2＞OQ_3＞······$，且分母$R$不变，所以$∠ AOP$的余弦值逐渐减小.
解析
【分析】
解决本题首先回忆锐角正弦、余弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦是其对边与斜边的比值，余弦是其邻边与斜边的比值。观察图形可知，所有P点都在以O为圆心、R为半径的圆上，因此OP₁=OP₂=…=OPₙ=R，即各直角三角形的斜边为定值。对于第(1)问，只需写出各角的对边与斜边的比得到正弦值，再判断角度增大时对边PQ的长度变化，结合分母为定值即可得到正弦的增减规律；第(2)问同理，写出各角的邻边与斜边的比得到余弦值，判断角度增大时邻边OQ的长度变化，即可得到余弦的增减规律。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△OP_1Q_1$中，根据正弦的定义：$\sin ∠ AOP_1=\frac{∠AOP_1\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{P_1Q_1}{OP_1}=\frac{P_1Q_1}{R}$。
同理可得：$\sin ∠ AOP_2=\frac{P_2Q_2}{R}$，$\sin ∠ AOP_3=\frac{P_3Q_3}{R}$，……，$\sin ∠ AOP_n=\frac{P_nQ_n}{R}$。
当$∠AOP$逐渐增大时，点P逐渐向OB靠近，对应垂线段的长度满足$P_1Q_1＜P_2Q_2＜P_3Q_3＜······$，而分母$R$为定值，因此$∠AOP$的正弦值逐渐增大。
(2) 在$\mathrm{Rt}△OP_1Q_1$中，根据余弦的定义：$\cos ∠ AOP_1=\frac{∠AOP_1\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OQ_1}{OP_1}=\frac{OQ_1}{R}$。
同理可得：$\cos ∠ AOP_2=\frac{OQ_2}{R}$，$\cos ∠ AOP_3=\frac{OQ_3}{R}$，……，$\cos ∠ AOP_n=\frac{OQ_n}{R}$。
当$∠AOP$逐渐增大时，点P的垂足Q逐渐靠近点O，对应邻边长度满足$OQ_1＞OQ_2＞OQ_3＞······$，而分母$R$为定值，因此$∠AOP$的余弦值逐渐减小。
【答案】
(1) $\sin∠AOP_1=\frac{P_1Q_1}{R}$，$\sin∠AOP_2=\frac{P_2Q_2}{R}$，$\sin∠AOP_3=\frac{P_3Q_3}{R}$，……，$\sin∠AOP_n=\frac{P_nQ_n}{R}$；当$∠AOP$逐渐增大时，它的正弦值逐渐增大，理由：角度增大时$P_1Q_1＜P_2Q_2＜P_3Q_3＜\dots$，分母$R$不变，故正弦值逐渐增大。
(2) $\cos∠AOP_1=\frac{OQ_1}{R}$，$\cos∠AOP_2=\frac{OQ_2}{R}$，$\cos∠AOP_3=\frac{OQ_3}{R}$，……，$\cos∠AOP_n=\frac{OQ_n}{R}$；当$∠AOP$逐渐增大时，它的余弦值逐渐减小，理由：角度增大时$OQ_1＞OQ_2＞OQ_3＞\dots$，分母$R$不变，故余弦值逐渐减小。
【知识点】
锐角正弦定义、锐角余弦定义、锐角三角函数增减性
【点评】
本题结合圆的性质考查锐角三角函数的定义和增减规律，解题的关键是抓住圆的半径为定值，将三角函数值的变化转化为直角三角形直角边的长度变化，直观易理解，有助于掌握锐角三角函数的基本性质。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆锐角正弦、余弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦是其对边与斜边的比值，余弦是其邻边与斜边的比值。观察图形可知，所有P点都在以O为圆心、R为半径的圆上，因此OP₁=OP₂=…=OPₙ=R，即各直角三角形的斜边为定值。对于第(1)问，只需写出各角的对边与斜边的比得到正弦值，再判断角度增大时对边PQ的长度变化，结合分母为定值即可得到正弦的增减规律；第(2)问同理，写出各角的邻边与斜边的比得到余弦值，判断角度增大时邻边OQ的长度变化，即可得到余弦的增减规律。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△OP_1Q_1$中，根据正弦的定义：$\sin ∠ AOP_1=\frac{∠AOP_1\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{P_1Q_1}{OP_1}=\frac{P_1Q_1}{R}$。
同理可得：$\sin ∠ AOP_2=\frac{P_2Q_2}{R}$，$\sin ∠ AOP_3=\frac{P_3Q_3}{R}$，……，$\sin ∠ AOP_n=\frac{P_nQ_n}{R}$。
当$∠AOP$逐渐增大时，点P逐渐向OB靠近，对应垂线段的长度满足$P_1Q_1＜P_2Q_2＜P_3Q_3＜······$，而分母$R$为定值，因此$∠AOP$的正弦值逐渐增大。
(2) 在$\mathrm{Rt}△OP_1Q_1$中，根据余弦的定义：$\cos ∠ AOP_1=\frac{∠AOP_1\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OQ_1}{OP_1}=\frac{OQ_1}{R}$。
同理可得：$\cos ∠ AOP_2=\frac{OQ_2}{R}$，$\cos ∠ AOP_3=\frac{OQ_3}{R}$，……，$\cos ∠ AOP_n=\frac{OQ_n}{R}$。
当$∠AOP$逐渐增大时，点P的垂足Q逐渐靠近点O，对应邻边长度满足$OQ_1＞OQ_2＞OQ_3＞······$，而分母$R$为定值，因此$∠AOP$的余弦值逐渐减小。
【答案】
(1) $\sin∠AOP_1=\frac{P_1Q_1}{R}$，$\sin∠AOP_2=\frac{P_2Q_2}{R}$，$\sin∠AOP_3=\frac{P_3Q_3}{R}$，……，$\sin∠AOP_n=\frac{P_nQ_n}{R}$；当$∠AOP$逐渐增大时，它的正弦值逐渐增大，理由：角度增大时$P_1Q_1＜P_2Q_2＜P_3Q_3＜\dots$，分母$R$不变，故正弦值逐渐增大。
(2) $\cos∠AOP_1=\frac{OQ_1}{R}$，$\cos∠AOP_2=\frac{OQ_2}{R}$，$\cos∠AOP_3=\frac{OQ_3}{R}$，……，$\cos∠AOP_n=\frac{OQ_n}{R}$；当$∠AOP$逐渐增大时，它的余弦值逐渐减小，理由：角度增大时$OQ_1＞OQ_2＞OQ_3＞\dots$，分母$R$不变，故余弦值逐渐减小。
【知识点】
锐角正弦定义、锐角余弦定义、锐角三角函数增减性
【点评】
本题结合圆的性质考查锐角三角函数的定义和增减规律，解题的关键是抓住圆的半径为定值，将三角函数值的变化转化为直角三角形直角边的长度变化，直观易理解，有助于掌握锐角三角函数的基本性质。
【难度系数】
0.8
