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8. 在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=8$，那么$\cos B=$
$\frac{4}{5}$
。答案
8. $\frac{4}{5}$.
解析
【分析】
要计算$\cos B$，需结合锐角余弦的定义求解：余弦是直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，因此首先要构造包含$∠ B$的直角三角形。已知$△ ABC$是等腰三角形，可利用等腰三角形三线合一的性质，过点$A$作$BC$边上的高，即可得到含$∠ B$的直角三角形，进而代入边长计算$\cos B$。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$，垂足为$D$。
$\because AB=AC=5$，$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$BD=DC=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=8$，$\therefore BD=\frac{1}{2}×8=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，根据锐角余弦的定义：
$\cos B=\frac{∠ B\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BD}{AB}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质，锐角余弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解和等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过作高构造出包含所求锐角的直角三角形，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算$\cos B$，需结合锐角余弦的定义求解：余弦是直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，因此首先要构造包含$∠ B$的直角三角形。已知$△ ABC$是等腰三角形，可利用等腰三角形三线合一的性质，过点$A$作$BC$边上的高，即可得到含$∠ B$的直角三角形，进而代入边长计算$\cos B$。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$，垂足为$D$。
$\because AB=AC=5$，$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$BD=DC=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=8$，$\therefore BD=\frac{1}{2}×8=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，根据锐角余弦的定义：
$\cos B=\frac{∠ B\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BD}{AB}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质，锐角余弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解和等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过作高构造出包含所求锐角的直角三角形，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图，$△ ABC$ 的顶点都在格点上，那么 $\sin∠ ABC$ 等于
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
.答案
9. $\frac{\sqrt{5}}{5}$.
解析
【分析】
要计算$\sin∠ABC$，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。我们可以先设定每个小方格的边长为1，构造包含$∠ABC$的直角三角形，再通过勾股定理计算所需边长，最后代入正弦定义求解即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点$A$作$AD⊥BC$，交$BC$的延长线于点$D$，得到直角三角形$ABD$。
观察格点可得：
$AD=2$，
由勾股定理计算$AB$的长度：$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
根据锐角正弦的定义，$\sin∠ABC=\frac{\mathrm{∠ABC的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角正弦的定义，勾股定理，格点三角形计算
【点评】
本题是格点中锐角三角函数的常规计算题，解题的关键是构造出包含所求角的直角三角形，结合勾股定理准确计算边长，再代入三角函数定义计算即可。
【难度系数】
0.7
要计算$\sin∠ABC$，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。我们可以先设定每个小方格的边长为1，构造包含$∠ABC$的直角三角形，再通过勾股定理计算所需边长，最后代入正弦定义求解即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点$A$作$AD⊥BC$，交$BC$的延长线于点$D$，得到直角三角形$ABD$。
观察格点可得：
$AD=2$，
由勾股定理计算$AB$的长度：$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
根据锐角正弦的定义，$\sin∠ABC=\frac{\mathrm{∠ABC的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角正弦的定义，勾股定理，格点三角形计算
【点评】
本题是格点中锐角三角函数的常规计算题，解题的关键是构造出包含所求角的直角三角形，结合勾股定理准确计算边长，再代入三角函数定义计算即可。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在矩形ABCD中，$AB=6$，$AD=10$，点E在边DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，那么$\sin∠ EFC$的值为
$\frac{4}{5}$
。答案
10. $\frac{4}{5}$. 提示：$BF=8$，$CF=2$，设$CE=x$，则$EF=6-x$. 在$\mathrm{Rt}△EFC$中，$2^2+x^2=(6-x)^2$，解得$x=\frac{8}{3}$. 所以，$CE=\frac{8}{3}$，$EF=\frac{10}{3}$，$\sin ∠ EFC=\frac{CE}{EF}=\frac{4}{5}$.
解析
【分析】
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应线段相等、对应角相等，由此可得AF=AD，EF=DE。第一步先在Rt△ABF中，利用已知的AB和AF的长度，通过勾股定理求出BF的长，进而得到CF的长度；第二步设CE的长为x，用含x的代数式表示EF的长，再在Rt△EFC中利用勾股定理列方程，求解得到CE和EF的长度；最后根据锐角正弦的定义，即锐角的对边与斜边的比值，计算出sin∠EFC的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD=6$，$AD=BC=10$，$∠B=∠C=90°$，
由折叠的性质可得：$AF=AD=10$，$EF=DE$，
在Rt△ABF中，根据勾股定理：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∴$CF=BC-BF=10-8=2$，
设$CE=x$，则$DE=CD-CE=6-x$，即$EF=6-x$，
在Rt△EFC中，根据勾股定理：
$CE^2+CF^2=EF^2$，代入得$x^2+2^2=(6-x)^2$，
解得$x=\frac{8}{3}$，
∴$CE=\frac{8}{3}$，$EF=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$，
∴$\sin∠EFC=\frac{CE}{EF}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；锐角正弦的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是通过折叠性质转化相等线段，结合勾股定理建立方程求解未知量，再利用锐角三角函数定义计算结果，能够考查学生对基础几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应线段相等、对应角相等，由此可得AF=AD，EF=DE。第一步先在Rt△ABF中，利用已知的AB和AF的长度，通过勾股定理求出BF的长，进而得到CF的长度；第二步设CE的长为x，用含x的代数式表示EF的长，再在Rt△EFC中利用勾股定理列方程，求解得到CE和EF的长度；最后根据锐角正弦的定义，即锐角的对边与斜边的比值，计算出sin∠EFC的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD=6$，$AD=BC=10$，$∠B=∠C=90°$，
由折叠的性质可得：$AF=AD=10$，$EF=DE$，
在Rt△ABF中，根据勾股定理：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∴$CF=BC-BF=10-8=2$，
设$CE=x$，则$DE=CD-CE=6-x$，即$EF=6-x$，
在Rt△EFC中，根据勾股定理：
$CE^2+CF^2=EF^2$，代入得$x^2+2^2=(6-x)^2$，
解得$x=\frac{8}{3}$，
∴$CE=\frac{8}{3}$，$EF=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$，
∴$\sin∠EFC=\frac{CE}{EF}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；锐角正弦的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是通过折叠性质转化相等线段，结合勾股定理建立方程求解未知量，再利用锐角三角函数定义计算结果，能够考查学生对基础几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC:BC=7:24$. 求$\sin A$、$\sin B$的值.
11. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC:BC=7:24$. 求$\sin A$、$\sin B$的值.
答案
11. $\sin A=\frac{24}{25}$；$\sin B=\frac{7}{25}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边长度与斜边长度的比值。已知直角三角形两条直角边的比例，我们可以通过设参数的方法表示出两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边的长度，最后根据正弦的定义分别计算两个锐角的正弦值即可，参数会在求比值的过程中消去，不影响最终结果。
【解析】
设$AC=7k$，$BC=24k$（$k＞0$），
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(7k)^2+(24k)^2}=\sqrt{49k^2+576k^2}=\sqrt{625k^2}=25k$，
根据锐角正弦的定义：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{24k}{25k}=\frac{24}{25}$，
$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{7k}{25k}=\frac{7}{25}$。
【答案】
$\sin A=\frac{24}{25}$；$\sin B=\frac{7}{25}$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，比例设参
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，核心考查对正弦定义的掌握和勾股定理的应用，设参数求比值是解决已知边长比例求三角函数值类问题的常用方法，掌握基础概念即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边长度与斜边长度的比值。已知直角三角形两条直角边的比例，我们可以通过设参数的方法表示出两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边的长度，最后根据正弦的定义分别计算两个锐角的正弦值即可，参数会在求比值的过程中消去，不影响最终结果。
【解析】
设$AC=7k$，$BC=24k$（$k＞0$），
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(7k)^2+(24k)^2}=\sqrt{49k^2+576k^2}=\sqrt{625k^2}=25k$，
根据锐角正弦的定义：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{24k}{25k}=\frac{24}{25}$，
$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{7k}{25k}=\frac{7}{25}$。
【答案】
$\sin A=\frac{24}{25}$；$\sin B=\frac{7}{25}$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，比例设参
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，核心考查对正弦定义的掌握和勾股定理的应用，设参数求比值是解决已知边长比例求三角函数值类问题的常用方法，掌握基础概念即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$，$AC=8$，$BC=6$. 求$\sin A$与$\cos ∠ BCD$的值. 
答案
12. $\sin A=\frac{3}{5}$；$\cos ∠ BCD=\frac{4}{5}$.
解析
【分析】
解题分两步进行：1. 求$\sin A$：已知$Rt△ ABC$的两条直角边，先通过勾股定理算出斜边$AB$的长度，再根据正弦的定义（角的对边比斜边）即可求出$\sin A$。2. 求$\cos∠ BCD$：观察可得$∠ BCD$和$∠ A$都与$∠ B$互余，根据“同角的余角相等”可知$∠ BCD=∠ A$，因此$\cos∠ BCD$等于$\cos A$，再根据余弦的定义（角的邻边比斜边）计算即可，用等角转换的方法比直接在$Rt△ BCD$中计算更简便。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
根据正弦的定义：
$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB=90°$，
$\therefore ∠ B+∠ BCD=90°$，
又$\because$在$Rt△ ABC$中，$∠ B+∠ A=90°$，
$\therefore ∠ BCD=∠ A$（同角的余角相等）。
根据余弦的定义：
$\cos A=\frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，
$\therefore \cos∠ BCD=\cos A=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\cos∠ BCD=\frac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；余角的性质
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础计算题，核心是熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义，借助角的等量关系可以简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解题分两步进行：1. 求$\sin A$：已知$Rt△ ABC$的两条直角边，先通过勾股定理算出斜边$AB$的长度，再根据正弦的定义（角的对边比斜边）即可求出$\sin A$。2. 求$\cos∠ BCD$：观察可得$∠ BCD$和$∠ A$都与$∠ B$互余，根据“同角的余角相等”可知$∠ BCD=∠ A$，因此$\cos∠ BCD$等于$\cos A$，再根据余弦的定义（角的邻边比斜边）计算即可，用等角转换的方法比直接在$Rt△ BCD$中计算更简便。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
根据正弦的定义：
$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB=90°$，
$\therefore ∠ B+∠ BCD=90°$，
又$\because$在$Rt△ ABC$中，$∠ B+∠ A=90°$，
$\therefore ∠ BCD=∠ A$（同角的余角相等）。
根据余弦的定义：
$\cos A=\frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，
$\therefore \cos∠ BCD=\cos A=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\cos∠ BCD=\frac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；余角的性质
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础计算题，核心是熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义，借助角的等量关系可以简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
