1. 在$Rt△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$\cos A=\dfrac{3}{4}$，那么$\sin B$的值为（）

A.$\dfrac{3}{4}$；
B.$\dfrac{4}{3}$；
C.$\dfrac{3}{5}$；
D.$\dfrac{4}{5}$。

1. A.

【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数求值问题，解题可从两个角度切入：①利用直角三角形两锐角互余的性质，结合互余角的三角函数关系直接推导；②利用锐角余弦、正弦的定义，通过设边计算结果。首先回忆直角三角形性质：∠C=90°时∠A+∠B=90°，再结合“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”的规律，即可快速得到sinB和cosA的关系；若用定义法，可先根据cosA的值得出邻边与斜边的比例，再明确sinB的对边恰好是∠A的邻边，代入比例即可求解。
【解析】
方法一：利用互余角三角函数关系求解
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$
∴ $∠A + ∠B = 90°$，即$∠B = 90° - ∠A$
根据互余角的三角函数性质：$\sin(90°-α)=\cosα$
∴ $\sin B = \sin(90°-A) = \cos A$
已知$\cos A=\dfrac{3}{4}$，因此$\sin B=\dfrac{3}{4}$。
方法二：利用三角函数定义求解
∵ $\cos A = \dfrac{∠A的邻边}{斜边} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{3}{4}$
设$AC=3k$，$AB=4k$（$k＞0$）
$\sin B = \dfrac{∠B的对边}{斜边} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{3k}{4k} = \dfrac{3}{4}$
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 互余角的三角函数关系
3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数的基本性质和定义，两种解题方法都很直观，熟练掌握互余角的三角函数关系可以大大提升解题速度。
【难度系数】
0.85

2. 在锐角三角形ABC中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么∠A的正弦值、余弦值的变化情况为（）

A.都缩小为原来的$\frac{1}{2}$；
B.都扩大为原来的2倍；
C.都不变；
D.无法确定。

2. C.

【分析】
解题时可从两个角度切入思考：一是回忆锐角三角函数的本质，锐角的正弦值、余弦值是对应两条边的比值，仅和角的大小有关，和边的绝对长度无关；二是结合相似三角形的性质分析，当三角形各边按相同比例扩大时，新三角形与原三角形相似，对应角的大小不变，因此角对应的三角函数值也不会改变。也可直接通过比值的性质验证：比值的分子分母同时扩大相同倍数，最终比值保持不变。
【解析】
解法1：利用相似三角形性质推导
将锐角三角形ABC各边长度都扩大为原来的2倍，得到新三角形$△ A_1B_1C_1$，可得三边对应比为$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}=2$，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可判定$△ A_1B_1C_1 ∽ △ ABC$，因此对应角$∠ A_1=∠ A$。
由于锐角的正弦值、余弦值仅由角的大小决定，$∠ A$的大小没有变化，所以它的正弦值、余弦值都不变。
解法2：利用锐角三角函数定义验证
过点B作$BD⊥ AC$于D，在$Rt△ ABD$中，$\sin A=\frac{BD}{AB}$，$\cos A=\frac{AD}{AB}$。
各边扩大2倍后，新三角形对应高$B_1D_1=2BD$，对应边$A_1B_1=2AB$、$A_1D_1=2AD$，因此新的$\sin A_1=\frac{B_1D_1}{A_1B_1}=\frac{2BD}{2AB}=\sin A$，同理$\cos A_1=\frac{2AD}{2AB}=\cos A$，二者均未发生变化。
【答案】
C
【知识点】
1.锐角三角函数的概念
2.相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是明确锐角三角函数值仅和角的大小有关，与角所在三角形的边长无关，避免走入“边长变化则三角函数值成比例变化”的误区。
【难度系数】
0.8

3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，设$x=\sin A+\cos A$，$y=\sin B+\cos B$，则$x$、$y$的大小关系为 （）

A.$x＞y$；
B.$x=y$；
C.$x＜y$；
D.以上情况都有可能.

3. B.

【分析】
要判断x和y的大小关系，首先结合直角三角形的内角性质分析∠A和∠B的关系：Rt△中∠C=90°，则∠A与∠B互余，再利用互余锐角的三角函数关系，将x的表达式用∠B的三角函数表示，和y对比即可得出结论。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ $∠A + ∠B = 90°$
根据互余锐角的三角函数性质：$\sin A = \cos(90°-A) = \cos B$，$\cos A = \sin(90°-A) = \sin B$
∴ $x = \sin A + \cos A = \cos B + \sin B$
又
∵ $y = \sin B + \cos B$
∴ $x = y$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 互余角的三角函数关系
【点评】
本题考查锐角三角函数的基本应用，解题核心是利用直角三角形两锐角互余的性质完成三角函数的等量转化，掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

二、填空题
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$AB=2\sqrt{5}$，$BC=2$，那么$\sin A=$，$\cos A=$。

4. $\frac{\sqrt{5}}{5}$；$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

【分析】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的求解，解题思路如下：首先明确锐角正弦、余弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值，锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。首先已知∠A的对边BC和斜边AB，可直接代入计算sinA；再利用勾股定理求出∠A的邻边AC的长度，代入余弦定义即可求出cosA，计算最后注意分母有理化得到最简结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 利用勾股定理计算直角边$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4$
2. 计算$\sin A$：根据正弦定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，代入数值得：
$\sin A=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
3. 计算$\cos A$：根据余弦定义，$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，代入数值得：
$\cos A=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$；$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理；锐角正弦与余弦的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题型，核心是掌握锐角正弦、余弦的对应边比例关系，结合勾股定理计算未知边长即可，计算时注意结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8

5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知斜边$AB$等于直角边$AC$的三倍，那么$\sin A=$，$\cos A=$.

5. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$；$\frac{1}{3}$.

【分析】
本题是直角三角形中求锐角三角函数值的基础题，解题思路如下：首先根据斜边为AB确定△ABC的直角为∠C；再结合AB与AC的倍数关系，通过设参数的方式表示出两条已知边的长度；接着利用勾股定理求出∠A的对边BC的长度；最后根据正弦、余弦的定义，将对应边代入作比即可求出结果。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，AB是斜边，
∴$∠ C=90°$。
设$AC=x$，由题意$AB=3AC=3x$，
根据勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(3x)^2 - x^2}=\sqrt{8x^2}=2\sqrt{2}x$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}x}{3x}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；$\frac{1}{3}$
【知识点】
锐角正弦余弦的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角三角函数定义的理解与运用，解题时注意先明确直角，结合边长比例关系设参数计算即可，避免混淆正弦、余弦对应的边的比例关系。
【难度系数】
0.85

6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$∠ A=α$，$AB=2$，那么$BC$的长为.（用含$α$的式子表示）

6. $2\sin α$.

【分析】
本题是直角三角形中已知一锐角和斜边长，求该锐角对边长的基础题，解题核心是运用锐角正弦的定义。首先明确直角三角形中边与角的对应关系：∠A=α的对边是BC，斜边是已知长度的AB，再根据正弦的定义建立等式，变形即可求出BC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
已知$∠ A=α$，$AB=2$，代入上式可得：
$\sinα = \frac{BC}{2}$
等式两边同乘2，解得$BC=2\sinα$。
【答案】
$2\sinα$
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角正弦定义的掌握，解题关键是准确识别锐角对应的对边和斜边，是解直角三角形相关问题的基础。
【难度系数】
0.9

7. 在平面直角坐标系中，已知点$P(-2,0)$、$Q(1,\sqrt{3})$，$PQ$与$x$轴正半轴的夹角为$α$，那么$\cosα=$。

7. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

【分析】
要求$\cosα$的值，首先明确$α$是$PQ$与$x$轴正半轴的锐角夹角，可通过构造直角三角形求解：第一步过点$Q$作$x$轴的垂线，得到包含$α$的直角三角形；第二步根据点的坐标计算直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理求出斜边$PQ$的长度；第三步根据余弦的定义（锐角的余弦等于邻边与斜边的比值），代入对应线段长度计算即可得到结果。
【解析】
解：过点$Q$作$QM ⊥ x$轴，垂足为$M$。
由$Q(1,\sqrt{3})$得$M$的坐标为$(1,0)$。
$\because P(-2,0)$，
$\therefore PM = 1 - (-2) = 3$，$QM = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ PMQ$中，由勾股定理得：
$PQ = \sqrt{PM^2 + QM^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
$\because α$是$PQ$与$x$轴正半轴的夹角，即$α = ∠ QPM$，
根据锐角余弦的定义：$\cosα = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{PM}{PQ}$，
代入数值计算得：$\cosα = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
锐角余弦的定义，勾股定理，平面直角坐标系坐标运算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查锐角三角函数的基础应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，利用坐标特征求出线段长度，再结合三角函数定义计算，是三角函数模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.8