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25（1）如图(1)，已知在梯形ABCD中，$BC// AD$，$∠ C=90°$，E为边CD上一点，连接BE、AE，$AB⊥ BE$，$CE=1$，$BC=2$，$CD=6$. 求AD的长.
（2）在数学设计活动中，李老师提出了一个问题：“已知直线a、b，满足$a// b$，C为直线a、b之间一点，只用直尺、圆规在图(2)中作$△ ACB$，使得$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，其中点A在直线a上，点B在直线b上.”小海结合(1)的解题思路，尝试利用尺规完成作图：
第一步：利用直尺和圆规过点C作直线b的垂线EF，分别交直线a、b于点E、F.
第二步：在EF的右边分别确定点A、B的位置——由于$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，因此
第三步：利用圆规，分别在直线a、b上截出AE、BF，连接AB、AC、BC，即可得到所求的三角形.
① 请你根据上述思路，完成第二步中的填空.
② 在图(2)中作出满足条件的$△ ACB$.
③ 结合小海的思路与作法，请你尝试设计：当直线a、b不平行时，只用直尺、圆规在图(3)中作出$△ ACB$，使得$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，其中点A在直线a上，点B在直线b上.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在数学设计活动中，李老师提出了一个问题：“已知直线a、b，满足$a// b$，C为直线a、b之间一点，只用直尺、圆规在图(2)中作$△ ACB$，使得$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，其中点A在直线a上，点B在直线b上.”小海结合(1)的解题思路，尝试利用尺规完成作图：
第一步：利用直尺和圆规过点C作直线b的垂线EF，分别交直线a、b于点E、F.
第二步：在EF的右边分别确定点A、B的位置——由于$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，因此
△AEC
$≌$△CFB
，可得$\frac{CF}{AE}=\frac{FB}{EC}=$1
.第三步：利用圆规，分别在直线a、b上截出AE、BF，连接AB、AC、BC，即可得到所求的三角形.
① 请你根据上述思路，完成第二步中的填空.
② 在图(2)中作出满足条件的$△ ACB$.
③ 结合小海的思路与作法，请你尝试设计：当直线a、b不平行时，只用直尺、圆规在图(3)中作出$△ ACB$，使得$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，其中点A在直线a上，点B在直线b上.（保留作图痕迹，不写作法）
答案
25. （1）5. 提示：如图(1)，过点B作$BF⊥AD$，垂足为F. 设$AD=a$，则$AF=a-2$. 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BE^2=1^2+2^2$；在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AE^2=5^2+a^2$；在$\mathrm{Rt}△ AFB$中，$AB^2=6^2+(a-2)^2$.
所以，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，有$1^2+2^2+6^2+(a-2)^2=5^2+a^2$，解得$a=5$.
所以，$AD=5$.
（2）① $△ AEC$；$△ CFB$；1.（或答案为：$△ CFB$；$△ AEC$；1）
② 如图(2)，$△ ACB$即为所求作的三角形.
③ 如图(3)，$△ ACB$即为所求作的三角形. 提示：过点C作直线b的垂线，交直线b于点D；以点D为圆心、以DC为半径作弧，交直线b于点E；过点E作直线b的垂线，交直线a于点A，以点C为圆心、以AC为半径作弧，交直线b于点B. 连接AC、BC、AB，$△ ACB$即为所求作的三角形.
解析
【分析】
(1) 第(1)问中图形为直角梯形，存在多个垂直关系，我们可以通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用勾股定理分别表示出各个直角三角形的边长关系，再结合Rt△ABE的勾股定理列方程，即可求解AD的长度。
(2) 第(2)问①根据∠ACB=90°、CA=CB的条件，结合所作垂线得到的直角，利用同角的余角相等找到等角，即可判定全等的直角三角形，由全等性质得到线段比值；②③按照给出的作图思路，保留尺规作图痕迹即可完成作图。
【解析】
(1) 过点B作$BF⊥AD$，垂足为F。
∵$BC//AD$，$∠ C=∠ D=90°$，$BF⊥AD$，
∴四边形BCDF是矩形，
∴$BF=CD=6$，$DF=BC=2$。设$AD=a$，则$AF=AD-DF=a-2$。
在$\mathrm{Rt}△BCE$中，由勾股定理得：$BE^2=BC^2+CE^2=2^2+1^2=5$；
∵$CD=6$，$CE=1$，
∴$DE=CD-CE=5$，
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得：$AE^2=AD^2+DE^2=a^2+5^2=a^2+25$；
在$\mathrm{Rt}△ABF$中，由勾股定理得：$AB^2=AF^2+BF^2=(a-2)^2+6^2$；
∵$AB⊥BE$，
∴$△ABE$是直角三角形，由勾股定理得$AE^2=AB^2+BE^2$，
代入各式得：$a^2+25=(a-2)^2+36+5$，
化简得$4a=20$，解得$a=5$。
(2) ①
∵$EF⊥a$，$EF⊥b$，
∴$∠ AEC=∠ CFB=90°$，
∴$∠ EAC+∠ ACE=90°$，又
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ ACE+∠ FCB=90°$，
∴$∠ EAC=∠ FCB$，又
∵$CA=CB$，
∴$△AEC≌△CFB(\mathrm{AAS})$，因此$AE=CF$，$EC=FB$，可得$\frac{CF}{AE}=\frac{FB}{EC}=1$。
②③按尺规作图要求保留作图痕迹即可。
【答案】
（1）$\boxed{5}$
（2）① $\boxed{△AEC}$；$\boxed{△CFB}$；$\boxed{1}$（或$\boxed{△CFB}$；$\boxed{△AEC}$；$\boxed{1}$）
②
③
【知识点】
勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，尺规作图
【点评】
本题综合考查了直角梯形的性质、勾股定理列方程求解、全等三角形的判定以及尺规作图，解题关键是合理构造辅助线，利用直角三角形的边角关系找到等量关系，作图时注意按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.4
(1) 第(1)问中图形为直角梯形，存在多个垂直关系，我们可以通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用勾股定理分别表示出各个直角三角形的边长关系，再结合Rt△ABE的勾股定理列方程，即可求解AD的长度。
(2) 第(2)问①根据∠ACB=90°、CA=CB的条件，结合所作垂线得到的直角，利用同角的余角相等找到等角，即可判定全等的直角三角形，由全等性质得到线段比值；②③按照给出的作图思路，保留尺规作图痕迹即可完成作图。
【解析】
(1) 过点B作$BF⊥AD$，垂足为F。
∵$BC//AD$，$∠ C=∠ D=90°$，$BF⊥AD$，
∴四边形BCDF是矩形，
∴$BF=CD=6$，$DF=BC=2$。设$AD=a$，则$AF=AD-DF=a-2$。
在$\mathrm{Rt}△BCE$中，由勾股定理得：$BE^2=BC^2+CE^2=2^2+1^2=5$；
∵$CD=6$，$CE=1$，
∴$DE=CD-CE=5$，
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得：$AE^2=AD^2+DE^2=a^2+5^2=a^2+25$；
在$\mathrm{Rt}△ABF$中，由勾股定理得：$AB^2=AF^2+BF^2=(a-2)^2+6^2$；
∵$AB⊥BE$，
∴$△ABE$是直角三角形，由勾股定理得$AE^2=AB^2+BE^2$，
代入各式得：$a^2+25=(a-2)^2+36+5$，
化简得$4a=20$，解得$a=5$。
(2) ①
∵$EF⊥a$，$EF⊥b$，
∴$∠ AEC=∠ CFB=90°$，
∴$∠ EAC+∠ ACE=90°$，又
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ ACE+∠ FCB=90°$，
∴$∠ EAC=∠ FCB$，又
∵$CA=CB$，
∴$△AEC≌△CFB(\mathrm{AAS})$，因此$AE=CF$，$EC=FB$，可得$\frac{CF}{AE}=\frac{FB}{EC}=1$。
②③按尺规作图要求保留作图痕迹即可。
【答案】
（1）$\boxed{5}$
（2）① $\boxed{△AEC}$；$\boxed{△CFB}$；$\boxed{1}$（或$\boxed{△CFB}$；$\boxed{△AEC}$；$\boxed{1}$）
②
③
【知识点】
勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，尺规作图
【点评】
本题综合考查了直角梯形的性质、勾股定理列方程求解、全等三角形的判定以及尺规作图，解题关键是合理构造辅助线，利用直角三角形的边角关系找到等量关系，作图时注意按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.4
