登录
23. 如图，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上。只用无刻度的直尺，在给定的方格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹。
（1）在图(1)中，在线段AB上确定一点E，使$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{3}$。
（2）在图(2)中，在线段AB上确定一点F，使AF=4。
（3）在图(3)中，在线段AB上确定一点P，连接DP，使$△ ABC ∽ △ ADP$。
（1）在图(1)中，在线段AB上确定一点E，使$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{3}$。
（2）在图(2)中，在线段AB上确定一点F，使AF=4。
（3）在图(3)中，在线段AB上确定一点P，连接DP，使$△ ABC ∽ △ ADP$。
答案
23. （1）如图(1)，E即为所求作的点.
（2）如图(2)，F即为所求作的点.
（3）如图(3)，P即为所求作的点.
解析
【分析】
（1）要得到线段AB上满足$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{3}$的点E，可利用平行线分线段成比例定理，在网格中选取合适格点构造平行线，使平行线截AB所得的对应线段比为1:3，交点即为所求E。
（2）先通过勾股定理计算AB的长度：由网格可知AB横向距离为3，纵向距离为4，因此$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，要使AF=4，即$\frac{AF}{FB}=\frac{4}{1}$，同样利用平行线分线段成比例构造对应比例的平行线截AB，交点即为所求F。
（3）要使$△ ABC ∽ △ ADP$，已知$∠ A$是两个三角形的公共角，根据相似三角形的判定定理，只需再构造一组对应角相等即可。结合网格特点构造辅助线，得到的交点P连接DP后即可满足相似条件。
【解析】
（1）在图(1)中选取格点M、N，连接MN，MN与AB的交点即为E。根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{3}$，符合要求。
（2）在图(2)中选取格点N、M，连接NM，NM与AB的交点即为F。此时$AF=4$，符合要求。
（3）在图(3)中选取格点M、N，连接MN，MN与AB的交点即为P，连接DP。此时$∠ A$为公共角，$∠ ADP=∠ ABC$，因此$△ ABC ∽ △ ADP$，符合要求。
【答案】
（1）如图(1)，E即为所求作的点.
（2）如图(2)，F即为所求作的点.
（3）如图(3)，P即为所求作的点.
【知识点】
平行线分线段成比例，勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是网格无刻度直尺作图题，综合考查了比例线段计算、勾股定理、相似三角形判定等知识，需要结合网格的结构特征构造合适的辅助线，对几何性质的灵活应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）要得到线段AB上满足$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{3}$的点E，可利用平行线分线段成比例定理，在网格中选取合适格点构造平行线，使平行线截AB所得的对应线段比为1:3，交点即为所求E。
（2）先通过勾股定理计算AB的长度：由网格可知AB横向距离为3，纵向距离为4，因此$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，要使AF=4，即$\frac{AF}{FB}=\frac{4}{1}$，同样利用平行线分线段成比例构造对应比例的平行线截AB，交点即为所求F。
（3）要使$△ ABC ∽ △ ADP$，已知$∠ A$是两个三角形的公共角，根据相似三角形的判定定理，只需再构造一组对应角相等即可。结合网格特点构造辅助线，得到的交点P连接DP后即可满足相似条件。
【解析】
（1）在图(1)中选取格点M、N，连接MN，MN与AB的交点即为E。根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{3}$，符合要求。
（2）在图(2)中选取格点N、M，连接NM，NM与AB的交点即为F。此时$AF=4$，符合要求。
（3）在图(3)中选取格点M、N，连接MN，MN与AB的交点即为P，连接DP。此时$∠ A$为公共角，$∠ ADP=∠ ABC$，因此$△ ABC ∽ △ ADP$，符合要求。
【答案】
（1）如图(1)，E即为所求作的点.
（2）如图(2)，F即为所求作的点.
（3）如图(3)，P即为所求作的点.
【知识点】
平行线分线段成比例，勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是网格无刻度直尺作图题，综合考查了比例线段计算、勾股定理、相似三角形判定等知识，需要结合网格的结构特征构造合适的辅助线，对几何性质的灵活应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
24. 在梯形ABCD中，$AD// BC$，点E在边AB上，且$AE=\frac{1}{3}AB$.
(1) 如图(1)，已知：点F在边CD上，$DF=\frac{1}{3}CD$，连接EF. 求证：$EF// BC$.
(2) 如图(2)，已知$AD=AE=1$，点M在边BC上，连接EM、DM、EC，DM与EC交于点N. 如果$BC=4$，$CD^2=DM· DN$，$∠ DMC=∠ CEM$，求CD的长.
(1) 如图(1)，已知：点F在边CD上，$DF=\frac{1}{3}CD$，连接EF. 求证：$EF// BC$.
(2) 如图(2)，已知$AD=AE=1$，点M在边BC上，连接EM、DM、EC，DM与EC交于点N. 如果$BC=4$，$CD^2=DM· DN$，$∠ DMC=∠ CEM$，求CD的长.
答案
24. （1）如图(1)，连接DE并延长，交CB的延长线于点G.
∵ $AD// BC$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{DG}$.
∵ $AE=\frac{1}{3}AB$，
∴ $\frac{DE}{DG}=\frac{1}{3}$.
∵ $DF=\frac{1}{3}CD$，
∴ $\frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}$.
∴ $\frac{DE}{DG}=\frac{DF}{DC}$.
∵ $∠EDF=∠GDC$，
∴ $△ DEF∽△ DGC$.
∴ $∠DEF=∠DGC$.
∴ $EF// BC$.
（2）如图(2)，分别延长BA、CD，交于点P.
∵ $AD=AE=1$，
∴ $AB=3AE=3$.
∵ $AD// BC$，$BC=4$，
∴ $\frac{AP}{BP}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{4}$，即$\frac{AP}{AP+AB}=\frac{1}{4}$，解得$AP=1$.
∴ $BE=AB-AE=2$，$PE=AE+AP=2$，$BP=4$.
∴ $BE=PE$.
∵ $CD^2=DM· DN$，
∴ $\frac{CD}{DM}=\frac{DN}{CD}$.
∵ $∠CDN=∠MDC$，
∴ $△ DCN∽△ DMC$.
∴ $∠DCN=∠DMC$.
∵ $∠DMC=∠CEM$，
∴ $∠DCN=∠CEM$.
∴ $EM// CD$.
∴ $\frac{BM}{CM}=\frac{BE}{EP}=1$.
∵ $BC=4$，
∴ $BM=CM=2$.
∵ $BP=4$，
∴ $BP=BC$.
∴ $∠P=∠DCM$.
∵ $∠ECP=∠DMC$，
∴ $△ ECP∽△ DMC$.
∴ $\frac{EP}{DC}=\frac{CP}{MC}$.
设$DP=a$，则$CD=3a$，$CP=4a$.
∴ $\frac{2}{3a}=\frac{4a}{2}$，解得$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$或$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$(舍去).
∴ $CD=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明$EF// BC$，可构造相似三角形，利用同位角相等推导平行。首先延长$DE$交$CB$的延长线于点$G$，结合$AD// BC$的性质，由平行线分线段成比例得到$\frac{DE}{DG}$的比值，再结合已知$\frac{DF}{CD}$的相等比值，证明$△ DEF∽△ DGC$，得到对应同位角相等即可推出$EF// BC$。
(2) 求$CD$的长时，首先延长$BA$、$CD$交于点$P$，利用$AD// BC$的平行线分线段成比例性质，结合已知线段长度求出$AP$、$PE$、$BP$、$BE$的长度；再将等积式$CD^2=DM· DN$转化为比例式，证明$△ DCN∽△ DMC$，结合已知角相等的条件推导出$EM// CD$，得到$M$是$BC$中点；最后通过角的关系证明$△ ECP∽△ DMC$，设未知数列比例式求解即可得到$CD$的长度。
【解析】
(1) 证明：如图(1)，连接$DE$并延长，交$CB$的延长线于点$G$。
$\because AD// BC$，
$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{DE}{DG}$。
$\because AE=\frac{1}{3}AB$，
$\therefore \frac{DE}{DG}=\frac{1}{3}$。
$\because DF=\frac{1}{3}CD$，
$\therefore \frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}$。
$\therefore \frac{DE}{DG}=\frac{DF}{DC}$。
$\because ∠ EDF=∠ GDC$，
$\therefore △ DEF∽△ DGC$。
$\therefore ∠ DEF=∠ DGC$，
$\therefore EF// BC$。
(2) 解：如图(2)，分别延长$BA$、$CD$，交于点$P$。
$\because AD=AE=1$，$AE=\frac{1}{3}AB$，
$\therefore AB=3AE=3$。
$\because AD// BC$，$BC=4$，
$\therefore \frac{AP}{BP}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{4}$，即$\frac{AP}{AP+AB}=\frac{1}{4}$，解得$AP=1$。
$\therefore BE=AB-AE=2$，$PE=AE+AP=2$，$BP=4$，
$\therefore BE=PE$。
$\because CD^2=DM· DN$，
$\therefore \frac{CD}{DM}=\frac{DN}{CD}$。
$\because ∠ CDN=∠ MDC$，
$\therefore △ DCN∽△ DMC$，
$\therefore ∠ DCN=∠ DMC$。
$\because ∠ DMC=∠ CEM$，
$\therefore ∠ DCN=∠ CEM$，
$\therefore EM// CD$。
$\therefore \frac{BM}{CM}=\frac{BE}{EP}=1$。
$\because BC=4$，
$\therefore BM=CM=2$。
$\because BP=4$，
$\therefore BP=BC$，
$\therefore ∠ P=∠ DCM$。
$\because ∠ ECP=∠ DMC$，
$\therefore △ ECP∽△ DMC$，
$\therefore \frac{EP}{DC}=\frac{CP}{MC}$。
设$DP=a$，由$\frac{DP}{CP}=\frac{AP}{BP}=\frac{1}{4}$得$CD=3a$，$CP=4a$。
代入比例式得$\frac{2}{3a}=\frac{4a}{2}$，解得$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$或$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$(舍去)，
$\therefore CD=3a=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $EF// BC$，证明成立；
(2) $CD=\sqrt{3}$。
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，梯形的性质
【点评】
本题第一问较为基础，通过构造辅助线结合平行线和相似的基础性质即可证明；第二问综合性较强，需要多次推导角的关系、判定相似三角形，结合比例设未知数列方程求解，对几何逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.3
(1) 要证明$EF// BC$，可构造相似三角形，利用同位角相等推导平行。首先延长$DE$交$CB$的延长线于点$G$，结合$AD// BC$的性质，由平行线分线段成比例得到$\frac{DE}{DG}$的比值，再结合已知$\frac{DF}{CD}$的相等比值，证明$△ DEF∽△ DGC$，得到对应同位角相等即可推出$EF// BC$。
(2) 求$CD$的长时，首先延长$BA$、$CD$交于点$P$，利用$AD// BC$的平行线分线段成比例性质，结合已知线段长度求出$AP$、$PE$、$BP$、$BE$的长度；再将等积式$CD^2=DM· DN$转化为比例式，证明$△ DCN∽△ DMC$，结合已知角相等的条件推导出$EM// CD$，得到$M$是$BC$中点；最后通过角的关系证明$△ ECP∽△ DMC$，设未知数列比例式求解即可得到$CD$的长度。
【解析】
(1) 证明：如图(1)，连接$DE$并延长，交$CB$的延长线于点$G$。
$\because AD// BC$，
$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{DE}{DG}$。
$\because AE=\frac{1}{3}AB$，
$\therefore \frac{DE}{DG}=\frac{1}{3}$。
$\because DF=\frac{1}{3}CD$，
$\therefore \frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}$。
$\therefore \frac{DE}{DG}=\frac{DF}{DC}$。
$\because ∠ EDF=∠ GDC$，
$\therefore △ DEF∽△ DGC$。
$\therefore ∠ DEF=∠ DGC$，
$\therefore EF// BC$。
(2) 解：如图(2)，分别延长$BA$、$CD$，交于点$P$。
$\because AD=AE=1$，$AE=\frac{1}{3}AB$，
$\therefore AB=3AE=3$。
$\because AD// BC$，$BC=4$，
$\therefore \frac{AP}{BP}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{4}$，即$\frac{AP}{AP+AB}=\frac{1}{4}$，解得$AP=1$。
$\therefore BE=AB-AE=2$，$PE=AE+AP=2$，$BP=4$，
$\therefore BE=PE$。
$\because CD^2=DM· DN$，
$\therefore \frac{CD}{DM}=\frac{DN}{CD}$。
$\because ∠ CDN=∠ MDC$，
$\therefore △ DCN∽△ DMC$，
$\therefore ∠ DCN=∠ DMC$。
$\because ∠ DMC=∠ CEM$，
$\therefore ∠ DCN=∠ CEM$，
$\therefore EM// CD$。
$\therefore \frac{BM}{CM}=\frac{BE}{EP}=1$。
$\because BC=4$，
$\therefore BM=CM=2$。
$\because BP=4$，
$\therefore BP=BC$，
$\therefore ∠ P=∠ DCM$。
$\because ∠ ECP=∠ DMC$，
$\therefore △ ECP∽△ DMC$，
$\therefore \frac{EP}{DC}=\frac{CP}{MC}$。
设$DP=a$，由$\frac{DP}{CP}=\frac{AP}{BP}=\frac{1}{4}$得$CD=3a$，$CP=4a$。
代入比例式得$\frac{2}{3a}=\frac{4a}{2}$，解得$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$或$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$(舍去)，
$\therefore CD=3a=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $EF// BC$，证明成立；
(2) $CD=\sqrt{3}$。
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，梯形的性质
【点评】
本题第一问较为基础，通过构造辅助线结合平行线和相似的基础性质即可证明；第二问综合性较强，需要多次推导角的关系、判定相似三角形，结合比例设未知数列方程求解，对几何逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.3
